河北省沧州市青县盘古镇中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县盘古镇中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(共12题，共36.0分) 1．(3分)下列汽车标志中，可以看作是由图案中的一个基本图形平移得到的是（　　） A. B. C. D. 2．(3分)有下列各数：，0.34，，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．(3分)如图，在 中， ， 平分 ，则 的度数为 A. B. C. D. 4．(3分)下列语句中，其中真命题是（　　） A. 若a2=b2，则a=b B. 2x+y=5的正整数解有三组 C. 被开方数的小数点向左或向右移动两位，算术平方根的小数点向左或向右移动一位 D. 相等的两个角是对顶角 5．(3分)已知 ， ，则 的度数为 A. B. C. D. 6．(3分)如图，船 在观测站 的北偏东 方向上，在观测站 的北偏西 方向上，那么 度． A. B. C. D. 7．(3分)如图，在△ABC中，BC=8cm.将△ABC沿BC向右平移，得到△DEF（点E在线段BC上），若要使AD=3CE成立，则平移的距离是（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm 8．(3分)如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM=2CM；④AD+CE=AC．其中一定正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9．(3分)已知在四边形ACDB中，AB∥CD，点P在AB，CD之间，E为AB上一点，F为CD上一点，PG平分∠EPF交AC于点G，PH∥CD交AC于点H．下列结论：①∠BEP+∠PFD=2∠EPG，②|∠BEP-∠PFD|=2∠HPG，③∠EPG-∠HPG=∠PFD．其中正确的结论共有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．(3分)如图，AB=4，AC=2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的最小值是（　　） A. B. 4-2 C. 4- D. 4-4 11．(3分)在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C=∠D=60o，AB=6cm,CD=12cm,点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为（　　） A. cm2 B. 21cm2 C. cm2 D. cm2 12．(3分)我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用an表示距离（n为正整数）最近的正整数．例如：a1表示距离最近的正整数，∴a1=1；a2表示距离最近的正整数，∴a2=1；a3表示距离最近的正整数，∴a3=2．…利用这些发现得到以下结论： ①a8=3； ②an=3时，n的值有5个； ③a1-a2+a3-⋯+a11-a12=0； ④； ⑤当时，n的值为2550． 以上结论中正确的结论有（　　）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题(共4题，共12.0分) 13．(3分)已知一个正数的两个平方根分别是1-a和2a-3，则这个正数是 _____． 14．(3分)写出一个比 大且比 小的整数：________. 15．(3分)的平方根是 _____． 16．(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=2α，CD平分∠ACB，∠CAD=30°-α，∠BAD=30°，则∠BDC=_____．（用含α的式子表示） 三、解答题(共8题，共72.0分) 17．(9分) 计算： 先化简，再求值： ，其中 18．(9分)先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求x的值． 解：∵和在实数范围内都有意义， ∴x-1≥0且1-x≥0． 由1-x≥0得：x-1≤0 ∴x-1=0， ∴x=1． 问题，若实数x,y满足，求的值． 19．(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． （1）同位角相等，两直线平行； （2）若a=b,则a2=b2； （3）末位数字是0的数一定能被5整除． 20．(9分)命题：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等，上述命题是一个几何真命题．将其改写成已知、求证的形式，画出图形（如图），请根据该真命题的内容完成下述填空并给出完整的证明过程． 已知：如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE，BC=EF，AM，DN分别为BC边、EF边上的高，_____． 求证：_____． 21．(9分)定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为（n,n+1）．例如：因为12＜3＜22，所以的“共同体区间”为（1，2）．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为_____； （2）若无理数的“共同体区间”为（2，3），求的“共同体区间”； （3）若整数x,y满足关系式：，求的“共同体区间”． 22．(9分)作图题:如图，在边长为l的正方形网格中，△ABC的三个顶点和点D都在小方格的顶点上，请按要求作图． （1）平移△ABC，使点A平移到点D； （2）求△ABC的面积． 23．(9分)在平面直角坐标系中，有点A（a,0），B（0，b），且a,b满足+|b+2|=0，B向上平移k个单位得到线段CD． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF=120°．G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG=∠DEO，∠EGF=80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论． 24．(9分)两条直线相交所形成的较小的角称为这两条直线的夹角．如：直线m、n相交，其夹角为60°，特别的，如果m⊥n,那么其夹角为90°． （1）如图①，MN∥PQ，含45°的直角三角形ABC的三边和两条平行线有4个交点D、E、F、G，若AB和PQ的夹角为65°，求∠CFQ与∠CEN的度数． （2）如图②，MN∥PQ，将一块含45°的直角三角板ABC任意摆放在两条平行线上（三角板足够大），使三角板的三边和两条平行线始终有4个交点．设斜边AB所在直线与MN（或PQ）的夹角为α（0°＜α≤90°），直接写出4个交点处的夹角之和．（结果可以用含α的代数式表示） 试卷答案 1．【答案】D 2．【答案】B 【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 解：， 无理数有，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”），共2个． 故选：B． 3．【答案】B 【解析】解： ， ， ， 平分 ， ， ， ， 故选： 由两直线平行，内错角相等得到 ，由角平分线的定义得到 ，最后根据两直线平行，内错角相等即可得解． 此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 4．【答案】C 【解析】根据平方根的概念、二元一次方程的解、算术平方根、对顶角的概念判断即可． 解：A、若a2=b2，则a=±b,本选项说法是假命题； B、2x+y=5的正整数解有、两组，本选项说法是假命题； C、被开方数的小数点向左或向右移动两位，算术平方根的小数点向左或向右移动一位，本选项说法是真命题； D、相等的两个角不一定是对顶角，本选项说法是假命题； 故选：C． 5．【答案】D 【解析】解：如图． ， ， ， 故选： 先根据邻补角定义求出 ，再根据平行线的性质得出 ，即可得出答案． 本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出 是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 6．【答案】C 【解析】解：如图：过点 作 ， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 过点 作 ，根据题意可得： ， ， ，从而可得 ，然后利用平行线的性质可求出 ， ，进行计算即可解答． 本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握猪脚模型是解题的关键． 7．【答案】C 8．【答案】C 【解析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 解：∵DE∥AC， ∴∠DMA=∠MAC，∠EMC=∠MCA， ∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M， ∴∠DAM=∠MAC，∠ECM=∠MCA， ∴∠DAM=∠DMA，∠EMC=∠ECM， ∴DA=DM，ME=EC， 即△ADM和△CEM都是等腰三角形； 故①正确； ∴DE=DM+EM=AD+CE， ∵AC＞DE， ∴AD+CE＜AC，故④错误； ∴△BDE的周长为：BD+DE+BE=DB+DM+ME+BE=AB+BC；故②正确； 根据已知条件无法证明AM=2CM，故③错误． 故选：C． 9．【答案】C 【解析】根据题意，画出正确的图形，根据平行线的性质、角的和与差推理即可． 解：①∵AB∥CD，PH∥CD， ∴AB∥PH，∠PFD=∠FPH， ∴∠BEP=∠EPH， ∴∠BEP+∠PFD=∠EPH+∠EPH=∠EPF， ∴PG平分∠EPF， ∴∠EPF=2∠EPG， ∴∠BEP+∠PFD=2∠EPG， 故①选项是正确的； ②由①知，∠BEP=∠HPE，∠PFD=∠FPH， ∴|∠BEP-∠PFD|=|∠HPE-∠FPH|， ∵∠HPE=∠GPE-∠HPG， ∠FPH=∠GPF+∠HPG， ∴|∠BEP-∠PFD|=|∠HPE-∠FPH| =|∠GPE-∠HPG-（∠GPF+∠HPG）| =|∠GPE-∠GPF-2∠HPG|， ∵∠GPE=∠GPF， ∴|∠BEP-∠PFD|=|-2∠HPG|=2∠HPG， 故②选项是正确的； ③由①知， ∵∠EPG-∠HPG=∠HPE， ∠HPE=∠BEP， ∴∠EPG-∠HPG=∠BEP≠∠PFD， 故③选项是错误的． 故选：C． 10．【答案】D 【解析】以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM，证明△ABC≌△A′BD，可得AC=A′D=2，从而可得DM是△ABP的中位线，所以PB=2DM，当DM最小时，PB有最小值，根据△AA′B是等边三角形，M是AB中点，可得当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值，然后根据勾股定理即可求出结论． 解：如图，以AB为边构造等边三角形A′AB，连接A′P，取AB的中点M，连接DM， 在等边三角形A′AB和等边三角形BCD中， AB=A′B，BC=BD，∠ABA′=∠CBD=60°， ∴∠ABC=60°-∠ABD，∠A′BD=60°-∠ABD， ∴∠ABC=∠A′BD， 在△ABC和△A′BD中， ， ∴△ABC≌△A′BD（SAS）， ∴AC=A′D=2， ∵AD=PD，AM=BM， ∴DM是△ABP的中位线， ∴PB=2DM， ∴当DM最小时，PB有最小值， ∵△AA′B是等边三角形，M是AB中点， ∴当点A′，D，M在同一条直线上时，DM有最小值， 此时，A′A=4，AM=2，A′M⊥AB， ∴A′M===2， ∴DM=A′M-A′D=2-2， ∴PB的最小值是4-4． 故选：D． 11．【答案】C 【解析】作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F，可求得AD，BC，AE的值，进而求得四边形ABCD的面积；当点Q在AC上时，当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积=18，当点Q在CD上，点P在AP上时，设四边形ABQP的面积为S，求得S=，求得当t=时，S最大=，进一步得出结果． 解：如图1， 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F， ∴∠BFE=∠AEF=90°， ∴AE∥BF， ∵AB∥CD， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴▱AEFB是矩形， ∴EF=AB=6，AE=BF， ∵∠C=∠D， ∴△AED≌△BFC（AAS）， ∴DE=CF=3， ∴AD=BC=2CF=6，AE=BF=3， ∴梯形ABCD的面积S==27， 如图2， 当点Q在BC上时， 当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP=PQ=3， ∴四边形ABQP的面积=27-=18， 如图3， 当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S， ∵==， S△PDQ=， ∴S=27=， ∴当t=时，S最大=， 因为， 故选：C． 12．【答案】C 【解析】本题需要根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 解：①∵a8表示距离最近的正整数， ∴a8=3，所以①正确； ②当an=3时，n为7，8，9，10，11，12一共有6个， 所以②错误； ③∵a1=1，a2=1，a3=2，a4=2，a5=2，a6=2，a7=3，a8=3，a9=3，a10=3，a11=3，a12=3， ∴a1-a2+a3-……+a11-a12=0， 所以③正确； ④由a1=1，a2=1，a3=2，a4=2，a5=2，a6=2，a7=3，a8=3，a9=3，a10=3，a11=3，a12=3……；可得2个1，4个2，6个3，8个4……， 所以=1×2+4×=8； 故④正确； ⑤∵+， ∴n=2+4+6+……+100=， 所以⑤正确； 故选：C． 13．【答案】1 【解析】根据：一个正数的两个平方根的和等于0，可得：1-a+2a-3=0，据此求出a的值是多少，进而求出这个正数是多少即可． 解：有题意可知：1-a+2a-3=0 ∴a=2 ∴这个正数的两个平方根分别是±1， ∴这个正数是1． 故答案为：1． 14．【答案】 或 【解析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出 和 的大小是解答此题的关键．先估算出 和 的大小，再找出符合条件的整数即可． 解： ， ， 比 大且比 小的整数 或 故答案为 或 15．【答案】±2 【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 解：∵=4 ∴的平方根是±2． 故答案为：±2 16．【答案】120°+α 【解析】延长CB到E，使CE=CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD=ED，∠ADC=∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案． 解：如图，延长CB到E，使CE=CA，连接DE，EA， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=， 在△ADC与△EDC中， ， ∴△ADC≌△EDC（SAS）， ∴AD=ED，∠ADC=∠EDC， ∵∠CAD=30°-α，∠ACD=α， ∴∠ADC=180°-（30°-α）-α=150°， ∴∠EDC=∠ADC=150°， ∴∠EDA=360°-150°-150°=60°， ∵ED=AD， ∴△EDA为等边三角形， ∴∠EAD=∠AED=60°， ∵∠BAD=30°， ∴∠EAB=60°-30°=30°， ∴AB是∠EAD的角平分线， ∵AB是ED的垂直平分线， ∴BD=BE， ∴∠BED=∠BDE， ∵∠ACB=2α，∠EAC=∠EAD+∠DAC=60°+30°-α=90°-α， ∴∠AEC=180°-2α-（90°-α）=90°-α， ∴∠EDB=∠AEC-∠AED=90°-α-60°=30°-α， ∴∠EDB=∠BED=30°-α， ∴∠DBC=∠BDE+∠BED=（30°-α）×2=60°-2α， ∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-（60°-2α）-α =120°+α， 故答案为：120°+α． 17．【答案】详情见解析 【解析】 先化简二次根式和绝对值，再计算零次幂，最后加减； 先化简分式，然后将 的值代入求值即可． 本题考查了实数的混合运算与分式的化简求值，掌握二次根式的性质和零次幂的意义是解决本题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 解：（1）| |+ = -1+2 -1 = =-2； （2） = [ ] = = =- ， 当x= ．原式= = ． 18．【解析】根据二次根式有意义得到2x-4=0，解得x=2，再求出，再代入进行解答即可． 解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， ∴2x-4≥0且4-2x≥0， 由4-2x≥0得到2x-4≤0， ∴2x-4=0， 解得x=2， ∴， ∴． 19．【解析】（1）写出逆命题，判定真假命题； （2）写出逆命题，判定真假命题； （3）写出逆命题，判定真假命题． 解：（1）逆命题为：两直线平行，同位角相等． 是真命题； （2）逆命题为：若a2=b2，则a=b. 是假命题； （3）逆命题为：能被5整除的数末位数字一定是0． 是假命题． 20．【答案】(1)AM=DN;(2)△ABC≌△DEF; 【解析】根据题意写出已知和求证，利用HL定理证明Rt△ABM≌Rt△DEN，根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DEF，利用SAS定理证明△ABC≌△DEF． 已知：如图，在△ABC与△DEF中，AB=DE，BC=EF，AM，DN分别为BC边、EF边上的高，AM=DN． 求证：△ABC≌△DEF． 证明：∵AM，DN分别为BC边、EF边上的高， ∴∠AMB=∠ANE=90°． 在Rt△ABM与Rt△DEN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△DEN（HL）． ∴∠ABC=∠DEF． 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 21．【答案】（5，6） 【解析】（1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出a+6的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 解：（1）∵52＜26＜62， ∴的“共同体区间”是（5，6）， 故答案为：（5，6）； （2）∵无理数的“共同体区间”为（2，3）， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∴10＜a+6＜15， ∴32＜a+6＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）； （3）∵， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当x=4，y=4时，x（y+1）=20， ∵42＜20＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）； 当x=3，y=5时，x（y+1）=18， ∵42＜18＜52， ∴的“共同体区间”为（4，5）； 当x=3，y=3时，x（y+1）=12， ∵32＜12＜42， ∴的“共同体区间”为（3，4）； 综上，的“共同体区间”为（4，5）或（3，4）． 22．【答案】（1）见解析（2）7 【解析】（1）根据平移变换的性质可得；（2）利用分割法求三角形面积. 解：（1）如图所示：△DEF即为所求； （2）△ABC的面积=矩形面积减去三个直角三角形的面积, 所以△ABC=. 【点睛】本题主要考查平移变换和分割法求格点三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质和分割法求面积． 23．【解析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质可求a,b的值，即可求解； （2）延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，设∠DEG=α，∠GFA=β，由平行线的性质可得∠ENG=∠GFA=β，∠DEO+∠EHF=180°，再由外角性质可得∠OFH=3α-60°，α+β=80°，可求∠GFO=180°-∠OFH-∠GFA=240°-3α-β=2β，即可得出结论． 解：（1）∵+|b+2|=0， ∴a=4，b=-2， ∴点A（4，0），点B（0，-2）； （2）∠AFG=∠GFO，理由如下： 延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，如图所示： 设∠DEG=α，∠GFA=β， ∵∠DEG=∠DEO， 则∠DEO=3α， ∵CD∥AB， ∴∠ENG=∠GFA=β，∠DEO+∠EHF=180°， ∴∠EHF=180°-3α， ∵∠EOF=∠EHF+∠OFH=120°，∠EGF=∠GEN+∠ENF=80°， ∴∠OFH=120°-∠EHF=120°-180°+3α=3α-60°，α+β=80°， ∵∠GFO=180°-∠OFH-∠GFA=180°-3α+60°-β=240°-3α-β=240°-80°-2α=2（80°-α）=2β， ∴∠AFG=∠GFO． 24．【解析】（1）如图①中，过C作CH∥PQ，则CH∥MN，利用平行线的性质解决问题即可． （2）分6种情形，分别画出图形求解即可． 解：（1）如图①中，过C作CH∥PQ，∴CH∥MN， ∵∠BGQ=∠A+∠AFG， ∴∠AFG=∠BGQ-∠A=65°-45°=20°， ∴∠CFQ=∠AFG=20°， ∴∠HCF=∠CFQ=20°，∠NEC=∠ECH， ∵∠ACB=90°， ∴∠NEC=∠ECH=70°． （2）共有6种情形，如图所示，4个交点处的夹角之和分别为：90°+2α或4α-90°或270°或4α+90°或135°+2α或180°． 学科网（北京）股份有限公司 $$