高二数学期中模拟卷（天津专用，测试范围：导数+计数原理+概率统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章—选择性必修第三册第六章+第七章。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为随机变量服从正态分布，， 所以根据正态分布的性质，可得，解得. 故选D. 2．已知函数，则（    ） A． B．15 C．28 D． 【答案】B 【解析】函数，则，所以. 故选B. 3．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 【答案】A 【解析】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选A 4．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选A. 5．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选D 6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束．已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为， 则，，， 所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率. 故选D 7．的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选B. 8．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选C. 9．对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，即． 因为均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B，令，即． 由于均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误； 对于C，由，得， 易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，单调递减，且； 当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点． 所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误； 对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点， 即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确． 故选D. 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．若，则正整数x的值是 . 【答案】5或7 【解析】，可得或， 解得或，经检验，这两个数都符合要求. 故答案为：5或7. 11．五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 【答案】/0.104 【解析】依题意，旅客人数超过1100人的概率不低于0.2，即， 所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最少为 . 故答案为： 12．已知随机变量的分布列如下，则 . 【答案】9 【解析】， ， 所以. 故答案为：. 13．如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， . 【答案】 【解析】由题可知，在1步后蚂蚁位于、、、点的概率分别为0，，， 故经过 2 步回到点 的概率， ，， 数列是公比为的等比数列， 又，，即， 故答案为：；. 14．已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】 【解析】由求导得，令，解得， 得与直线平行的直线切曲线的切点， 由，解得，因此， 函数的图象在点处的切线的方程为， 直线交于点，交轴于点， 所以切线与坐标轴所围三角形面积为. 故答案为：； 15．已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为 . 【答案】 【解析】当，中两元素之差的绝对值均为1时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为2时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为3时，的个数为； 当，中两元素之差的绝对值均为4时，的个数为； 故满足条件的共有（个）； 故其概率为. 故答案为： 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 若． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1）∵， 令，可得， 令，可得， ∴． （2）∵， 令，可得①， 令，可得②， 结合①②可得， ． 17．（15分） “青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： (1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 【解析】（1）设事件“取出青团是蛋黄馅”，. （2）设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，. （3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”. 设事件分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，             18．（15分） 已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【解析】（1），则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. （2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. （3）令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 19．（15分） 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： (1)二项式系数最大的项 (2)系数绝对值最大的是第几项 (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 【解析】（1）根据展开式的通项可得 令，解得 即时，常数项， 解得 所以二项式系数最大的项 （2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项； 设第项系数最大， 则 即，又， 所以， 即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大. （3）令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种． 20．（16分） 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【解析】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率. （2）（I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，且极大值为. （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为， 则， ， ， ， 所以， 令，即，整理得， 因为， 易知，所以，即， 又，所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章—选择性必修第三册第六章+第七章。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．15 C．28 D． 3．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 4．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束．已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（    ） A． B． C． D． 7．的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 8．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 9．对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．若，则正整数x的值是 . 11．五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 12．已知随机变量的分布列如下，则 . 13．如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， . 14．已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 15．已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 若． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分） “青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： (1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 18．（15分） 已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 19．（15分） 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： (1)二项式系数最大的项 (2)系数绝对值最大的是第几项 (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 20．（16分） 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章—选择性必修第三册第六章+第七章。 5．难度系数：0.68。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B．15 C．28 D． 3．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 4．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A． B．2 C． D．4 6．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束．已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（    ） A． B． C． D． 7．的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 8．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 9．对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．若，则正整数x的值是 . 11．五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为 ． 12．已知随机变量的分布列如下，则 . 13．如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， . 14．已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 15．已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 若． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分） “青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”.问： (1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？ (2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； (3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率. 18．（15分） 已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 19．（15分） 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： (1)二项式系数最大的项 (2)系数绝对值最大的是第几项 (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 20．（16分） 2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （Ⅰ）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （Ⅱ）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B A A D D B C D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 5或7. 11． /0.104 12． 9 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 【解析】（1）∵， 令，可得，（2分） 令，可得，（4分） ∴．（6分） （2）∵， 令，可得①，（8分） 令，可得②，（10分） 结合①②可得，（12分） （13分） ．（14分） 17．（15分） 【解析】（1）设事件“取出青团是蛋黄馅”，.（3分） （2）设事件“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件“取出第二个青团是肉馅”，（4分） .（8分） （3）设事件 “从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”. 设事件分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”，（10分）          （13分）   （15分） 18．（15分） 【解析】（1），则，（1分） 因函数在处取得极值， 则，得，（3分） 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故.（5分） 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，（6分） 而， 则在区间上的最大值为和最小值.（8分） （3）令，则，（10分） 则与单调性相同，（11分） 因方程有三个不同的实数根， 则，（13分） 得，（14分） 则实数的取值范围为.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）根据展开式的通项可得（2分） 令，解得（3分） 即时，常数项，（4分） 解得（5分） 所以二项式系数最大的项（6分） （2）系数绝对值最大的项等价于系数最大的项；（7分） 设第项系数最大， 则（9分） 即，又，（10分） 所以，（11分） 即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大.（12分） （3）令，，解得，（13分） 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项；（14分） 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种；（15分） 20．（16分） 【解析】（1）记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.（3分） （2）（I）由题意知，，， 则，令，得或1（舍），（4分） 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，（5分） 所以当时，有极大值，且极大值为.（6分） （II）设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为，（7分） 则， ， ， ，（9分） 所以，（10分） 令，即，整理得，（11分） 因为，（13分） 易知，所以，即，（14分） 又，所以的取值范围为.（15分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$