精品解析：天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 一、选择题（共45分） 1. 已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ） A. P(X＝2) B. P(X≤2) C. P(X＝4) D. P(X≤4) 4. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 5. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 6. 设A，B为两个事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5 ，P(B|A)=0.3 ，则P()=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 7. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A B. C. D. 8. 展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 9. 已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（共24分） 10. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 11. 的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则________. 12. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 13. 若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为__________. 14. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 15. 若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________ 三、解答题（共51分） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数． 17. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 18. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． （1）记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 19. 甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. （1）求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. （2）求同学甲选报足球社的概率. （3）若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题 一、选择题（共45分） 1. 已知随机变量X的分布列： x 0 1 P 满足，则a的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解. 【详解】由表可得， 又可得解得， 故选：A 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算公式求得函数的导数，令求出，再令即可求解. 【详解】， 令可得解得， 所以，所以， 故选:B. 3. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（ ） A. P(X＝2) B. P(X≤2) C. P(X＝4) D. P(X≤4) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据超几何分布列式求解即可． 【详解】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4， 故选：C. 4. 已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A. B. 252 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解. 【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故， 展开式中的系数为， 故选：B 5. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】 由随机变量,当,结合,即可求得,根据正态分布的对称性,即可求得答案. 【详解】 随机变量 当 又 ,可得 根据正态分布的对称性可得: 故选:B. 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 6. 设A，B为两个事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5 ，P(B|A)=0.3 ，则P()=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解. 【详解】解：由P(A)=0.5 ，的， 由， 即， 所以. 故选：C. 7. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间． 8. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 9. 已知定义在上的函数的导函数，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】构造函数，因为， 所以，因此函数是增函数， 于是有， 构造函数，因为， 所以，因此是单调递减函数， 于是有， 故选：D 二、填空题（共24分） 10. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 【答案】 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论． 【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种 再排其余4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法， 故答案为：． 11. 的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】分别求得各项系数和与各项的二项式系数和，从而求得的值． 【详解】解：在的展开式中，令可得设各项的系数和为， 而各项的二项式系数和为， ， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 12. 已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回， 设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题， 则，， 所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 故答案为：. 13. 若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在内单调递增，转为化在上恒成立，即可由二次函数的性质求解. 【详解】函数在内单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 所以，即， 故答案为： 14. 若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】由，得， ∵函数有两个极值点， ∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 有极小值也是最小值为， 且当时，恒成立，当时，恒成立， 画出的图象，如下： 要使有两个不等实数根， 则，即，经验证，满足要求. 故的取值范围为． 故答案为：. 15. 若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是_____________ 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，f′（x）=3x2-12 区间（k-1，k+1）上至少有一个实数根， 而f′（x）=3x2-12的根为±2，区间（k-1，k+1）的长度为2， 故区间（k-1，k+1）内必须含有2或-2． ∴k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，∴1＜k＜3 或-3＜k＜-1 三、解答题（共51分） 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用二项展开式的通项求出通项公式，令时的指数为，求出的值；（2）将的值代入通项，令的指数为，求出展开式中含的项的系数． 试题解析：（1）通项公式为 ∵第6项为常数项，∴时，有，即. （2）令，得，∴所求的系数为. 考点：二项式定理的应用． 17. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为． （1）记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】（1）分布列见解析，期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 的所以可能取值有， , , , 所以的分布列为： 0 1 2 3 故 【小问2详解】 表示第一辆车遇到的红灯个数，表示第二辆车遇到的红灯个数， 则 19. 甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团. （1）求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率. （2）求同学甲选报足球社的概率. （3）若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） （3）的分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）由古典概型的概率公式求解即可， （3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望. 【小问1详解】 先从3个同学中选出2个同学，有, 从4个社团中选2个，有种方法，因此每位同学选报社团都有6种方法， 因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 【小问2详解】 同学甲选报足球社的概率为， 小问3详解】 甲报足球的概率为，不报的概率为， 乙丙报足球的概率均为，不报的概率为， 故可取， , 故的分布列为： 0 1 2 3 故. 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求导后，分和讨论即可； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可； 【小问1详解】 由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，由（1）知，函数在上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$