精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试卷

2027届高二下学期期中检测数学试卷 一、选择题（共16小题，每题4分，共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的计算逐一判断即可. 【详解】，，，， 故选：C 3. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理即可得解. 【详解】由题意，不同的取法种数为种. 故选：C. 4. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，若图1与图2的相关系数分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1的数据正相关，图2的数据负相关 C. 图1的相关系数小于图2的相关系数 D. 图1的相关系数的绝对值小于图2的相关系数的绝对值 【答案】C 【解析】 【详解】两个图的散点都大致分布在直线附近，因此两组数据都具有线性相关关系，故A正确； 图1中，整体随增大而增大，是正相关，即；图2中，整体随增大而减小，是负相关，即，故B正确； 因为，，正数一定大于负数，因此，故C不正确； 相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，散点越贴近直线. 图2的散点比图1更贴近直线，因此 ，故D正确. 5. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原全称命题“ ”为假命题， 则其否定“ ”为真命题，即方程在 上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数， . 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为 ，即 . 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 7. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，解不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由得，解得或，因为，故， 因为是的真子集，故当时，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 【答案】D 【解析】 【分析】根据与临界值比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”， 故选：D. 9. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率中的缩小样本空间的方法求解即可. 【详解】设事件“三次中至少有一次正面”，事件“三次中恰好有两次正面”， 依题意，正反反，反正反，反反正，正正反，正反正，反正正，正正正， 正正反，正反正，反正正，则正正反，正反正，反正正， 则三次中恰好有两次正面的概率为. 故选：B. 10. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据时，，排除BD，结合函数单调性排除C即可． 【详解】， 当时，，恒成立，排除BD； ， 令得：，此时在单调递增， 其中，排除C； 故当时，取得最大值，故A正确． 故选：A 11. 设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 12. 若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为有三个交点，构造，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解. 【详解】由可得， 记，则， 当或时，，当时，，故 在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极小值，，在处取得极大值，， 而时，恒有成立， 方程恰有三个不相等的实根，即曲线与直线恰有三个不相等的交点， 与直线图象如下， 由图知，当时，曲线与直线恰有三个不相等的实根； 故选：A 13. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. 【详解】设，则， 故为上的增函数， 而可化为即， 故即，所以不等式的解集为， 故选：A. 14. 给出下列说法 （1）若随机变量的概率分布列为，则 （2）若随机变量，若，则 （3）若随机变量，则 （4）在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据分布列的概率和为1可求解；对于②，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于③，根据二项分布的方差公式即可求解；对于④，根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】对于①：， 所以，所以，①正确； 对于②，可得 ，②不正确； 对于③，因为，所以，③正确； 对于④，X服从超几何分布，其中N=10，M=4(次品数)，n=3(抽取数)，，，④正确. 15. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 68 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】用排除法，先求出把5人分到四个小学的方法数，减去小学去了甲，乙，丙中一个或两个的方法即可得． 【详解】先把5人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况（分为小学只去1人是甲，乙，丙中的一个，B小学去了2人，其中1人是甲，乙，丙中的一个，或2人都是甲，乙，丙中的一个），因此方法数为： , 故选：B． 16. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 17. 一元二次不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接解不含参的一元二次不等式即可得解. 【详解】. 故答案为：. 18. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式通项公式，从而得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令得， 故，故的系数为. 故答案为： 19. 条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【解析】 【详解】已知不等式，由于 指数函数是单调递减函数，因此不等式等价于； 又由于对数函数 定义域为，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：. 必要不充分条件的定义为：若原条件为，所求条件为，满足，但，则是的必要不充分条件. 这里 ，取 ，可满足，但. 因此原条件的一个必要不充分条件是.（答案不唯一，符合要求即可） 20. 已知变量x和y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据经验回归直线经过样本中心点求解. 【详解】易知，， 经验回归直线过样本点的中心， 所以，则． 故答案为： 21. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由分布列的性质可得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】随机变量的分布列如表所示， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 22. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知，，三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的20%，35%，45%，不合格率分别为0.01，0.015，0.02．现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为______；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由全概率公式求得该瓶酒是不合格的概率；由条件概率公式求得若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率. 【详解】记事件：任取一瓶芡实酒，该瓶酒不合格. ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，； ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，； ：任取一瓶芡实酒，该瓶酒由厂生产，，. 则. 所以. 故答案为：①；②. 23. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以，解得， 故答案为：. 24. 设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 三、解答题：（共4小题，共54分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据极值点和极值可构造方程组求得，验证可得结论； （2）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程； （3）根据单调性可确定最值点，进而求得最值. 【小问1详解】 ，在处取得极值， ，解得：； 当，时，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 是的极小值点，满足题意； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：，，，， 在点处的切线方程为：，即. 【小问3详解】 由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增； ， 又，，， 在上的最大值为，最小值为. 26. 设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以； 【小问2详解】 ， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 27. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型结合组合数计算即可求解； （2）依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； （3）先求出从袋中任取3个球为一种颜色的事件的概率、从袋中任取3个球都为黑色的事件的概率，再由条件概率定义即可计算求解. 【小问1详解】 设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件， 则； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则， 设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则， 则所求概率． 28. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数的取值范围. （2）已知方程有两个不相等的实数根，且. ①求的取值范围； ②若，证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调可得在上恒成立，即可得，设，求导确定单调性及最值，即可得实数的取值范围； （2）①根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由（1）可得的单调性，结合其取值，即可得实数的取值范围；②由零点得，利用比值代换，设令，，可设，求导确定其单调性，利用单调性即可证明结论. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立. 因为，所以，即. 令，则，令，得 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 由，得，即的取值范围是. 【小问2详解】 ①由题意知关于的方程，有两个不相等的实数根， 即关于的方程有两个不相等的实数根， 即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点. 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又 则当时，，当时，，所以. ②因为所以， 所以 令，因为，所以， 所以. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，所以 【点睛】方法点睛： （1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．； （2）方程的根或函数零点有关的双变量不等式证明，常转化为单变量问题，结合导数确定函数最值，即可证明结论，设，是常见的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下学期期中检测数学试卷 一、选择题（共16小题，每题4分，共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，若图1与图2的相关系数分别为，则下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1的数据正相关，图2的数据负相关 C. 图1的相关系数小于图2的相关系数 D. 图1的相关系数的绝对值小于图2的相关系数的绝对值 5. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 B. 某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 C. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D. 在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 9. 一枚质地均匀的硬币掷出正面与反面的概率均等，将该硬币连续抛掷三次，已知三次中至少有一次正面，则三次中恰好有两次正面的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 11. 设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 14. 给出下列说法 （1）若随机变量的概率分布列为，则 （2）若随机变量，若，则 （3）若随机变量，则 （4）在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 68 D. 80 16. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 17. 一元二次不等式的解集为______. 18. 在的展开式中，的系数为__________． 19. 条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 20. 已知变量x和y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若x，y线性相关，且经验回归方程为分，则_________． 21. 若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为________． 22. 芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知，，三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的20%，35%，45%，不合格率分别为0.01，0.015，0.02．现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为______；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是厂生产的概率为______． 23. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______. 24. 设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 三、解答题：（共4小题，共54分．）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25. 已知函数在处取得极值． （1）求的值； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求函数在上的最值． 26. 设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 27. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 28. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数的取值范围. （2）已知方程有两个不相等的实数根，且. ①求的取值范围； ②若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $