宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

银川一中2024/2025学年度(下)高一第一次月考 数 学 试 卷 命题教师： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面的另一个基底的向量是 A． B． C． D． 3．在三角形中，，，，则 A． B． C．或 D．或 4．若两个非零向量的夹角为，且满足，则 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 6．在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”. 如图，在白银菱形ABCD中，若，则 A． B． C． D． 7．设△ABC的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线 ，则的最小值为 A． B． C． D．8 8．如图，边长为的等边△ABC，动点在以为直径的半圆上.若 ，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知，则 A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 10．若△ABC的内角A，B，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是 A．角一定为锐角 B． C． D．的最小值为 11．对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是 A．若，则 B．若，则符合条件的△ABC有两个 C．若点为△ABC所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过△ABC的垂心 D．已知是△ABC内一点，若分别表示的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数，则其共轭复数的虚部为 . 13．已知△ABC的三个内角分别为、、，，则的值为 ． 14．已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 在△ABC中，角的对边分别是，已知. (1)求； (2)若，且△ABC的周长为，求. 16．(本小题15分) 如图，在△ABC中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点. (1)求； (2)求的余弦值. 17．(本小题15分) 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 18．(本小题17分) 位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 19．(本小题17分) △ABC是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）． (1)求的值； (2)若是线段的等分点， ，其中，， ，求的值； (3)为边上一动点，当取最小值时， 求的长． 试卷第1页，共3页 高一第一次月考数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川一中2024/2025学年度(下)高一第一次月考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．C. 3．B 4．A. 5．B. 6．C 7．D. 8. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9． ABC. 10．BC 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．． 13． 14. . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．在△ABC中，角的对边分别是，已知. (1)求； (2)若，且△ABC的周长为，求. 【详解】（1）在△ABC中，由及正弦定理得，而， 则，又， 所以或. （2）由△ABC的周长为，，得， 在△ABC中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 16．【详解】（1）由题可知为△ABC的重心，则， 所以， 所以. （2）因为为的中点，所以. 又， 所以 . 又， 所以. 又与的夹角相等， 所以，所以的余弦值为. 17．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果； （2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案. 【详解】（1）已知， 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以． （2）由余弦定理可得， 又， 则， 由正弦定理可得， 所以，， 所以， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以中线CD长的取值范围为． 18．【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 (3)当或25分钟时，h最大值为45米 【分析】（1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，，因为是边长为1的正三角形， 所以，， 因为为线段的四等分点， 所以，同理可得， 所以 ． （2）根据题意可知是线段的2022等分点， 仿照（1）推导过程可知，， 所以 所以 ， 则. （3）设，则， 所以 整理得． 当时，取最小值，此时， 则， 所以的长为． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$