第6章 5.2 平面与平面垂直(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

对点训练２：【证明】　 因为ＳＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＳＡ⊥ＢＣ． 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ⊥ＢＣ． 因为ＳＡ∩ＡＢ ＝ Ａ，所以ＢＣ⊥平面ＳＡＢ． 因为ＡＥ平面ＳＡＢ，所以ＢＣ⊥ＡＥ． 又因为ＡＦ⊥ＳＣ于点Ｆ，ＥＦ⊥ＳＣ交ＳＢ于点Ｅ， 所以ＳＣ⊥平面ＡＥＦ，所以ＳＣ⊥ＡＥ． 又因为ＢＣ∩ＳＣ ＝ Ｃ，所以ＡＥ⊥平面ＳＢＣ． 而ＳＢ平面ＳＢＣ，所以ＡＥ⊥ＳＢ． 例３：（１）∵直线Ａ１Ａ⊥平面ＡＢＣＤ，∴ ∠Ａ１ＣＡ为直线Ａ１Ｃ与 平面ＡＢＣＤ所成的角，设Ａ１Ａ ＝ １，则ＡＣ 槡＝ ２， ∴ ｔａｎ∠Ａ１ＣＡ ＝槡２２ ． （２）连接Ａ１Ｃ１交Ｂ１Ｄ１于Ｏ，在正方形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ａ１Ｃ１⊥Ｂ１Ｄ１， ∵ ＢＢ１⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，Ａ１Ｃ１平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１， ∴ ＢＢ１⊥Ａ１Ｃ１， 又ＢＢ１∩Ｂ１Ｄ１ ＝ Ｂ１，∴ Ａ１Ｃ１⊥平面ＢＤＤ１Ｂ１，垂足为Ｏ． ∴ ∠Ａ１ＢＯ为直线Ａ１Ｂ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角， 在Ｒｔ△Ａ１ＢＯ中，Ａ１Ｏ ＝ １２ Ａ１Ｃ１ ＝ １ ２ Ａ１Ｂ，∴ ∠Ａ１ＢＯ ＝ ３０°． 即Ａ１Ｂ与平面ＢＤＤ１Ｂ１所成的角为３０°． 对点训练３：由题意知Ａ是Ｍ在平面ＡＢＣ上的射影， ∴ ＭＡ⊥平面ＡＢＣ， ∴ ＭＣ在平面ＣＡＢ上的射影为ＡＣ． ∴ ∠ＭＣＡ即为直线ＭＣ与平面ＣＡＢ所成的角． 又∵在Ｒｔ△ＭＢＣ中，ＢＭ ＝ ５，∠ＭＢＣ ＝ ６０°， ∴ ＭＣ ＝ ＢＭｓｉｎ∠ＭＢＣ ＝ ５ｓｉｎ ６０° ＝ ５ ×槡３２ ＝ 槡 ５ ３ ２ ． 在Ｒｔ△ＭＡＢ中，ＭＡ ＝ ＭＢ２ － ＡＢ槡 ２ ＝ ５２ － ４槡 ２ ＝ ３． 在Ｒｔ△ＭＡＣ中，ｓｉｎ∠ＭＣＡ ＝ ＭＡＭＣ ＝ ３ 槡５ ３ ２ ＝ 槡２ ３５ ． 即ＭＣ与平面ＣＡＢ所成角的正弦值为槡２ ３５ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ∵直线ｌ⊥平面α，∴ ｌ与α相交，又∵ ｍα，∴ ｌ与ｍ相交 或异面，由直线与平面垂直的定义，可知ｌ⊥ｍ．故ｌ与ｍ不可 能平行． ２． Ｂ　 对于①，因为ｌ∥ｍ，ｍ∥ｎ，所以ｌ∥ｎ，又ｌ⊥α，所以ｎ⊥α，即 ①正确；对于②，因为ｍ⊥α，ｎ⊥α，所以ｍ∥ｎ，又ｌ∥ｍ，所以 ｌ∥ｎ，即②正确；对于③，因为ｌ∥α，ｌ⊥ｍ，所以ｍ∥α或ｍα 或ｍ⊥α或ｍ与α斜交，即③错误． ３． Ａ　 对于①，当ａ⊥α，ｂ∥α时，ａ，ｂ相交垂直或异面垂直，故①正 确；对于②，当ａ⊥α，ａ⊥ｂ时，ｂ∥α或ｂα，故②错误；对于③，当 ａ∥α，ａ⊥ｂ时，ｂ与α平行或相交或ｂα，故③错误．故选Ａ． ４．槡２６　 Ｐ与墙角Ｂ的距离为３２ ＋ ４２ ＋ １槡 ２ 槡＝ ２６． ５．【证明】　 （１）因为ＳＡ ＝ ＳＣ，Ｄ是ＡＣ的中点，所以ＳＤ⊥ＡＣ．在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＤ ＝ ＢＤ， 由已知ＳＡ ＝ ＳＢ，所以△ＡＤＳ≌△ＢＤＳ， 所以ＳＤ⊥ＢＤ，又ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｄ， 所以ＳＤ⊥平面ＡＢＣ． （２）因为ＡＢ ＝ ＢＣ，Ｄ为ＡＣ的中点， 所以ＢＤ⊥ＡＣ，由（１）知ＳＤ⊥ＢＤ， 又因为ＳＤ∩ＡＣ ＝ Ｄ，所以ＢＤ⊥平面ＳＡＣ． ５． ２　 平面与平面垂直 必备知识　 探新知 知识点１　 半平面　 两个半平面　 棱　 面　 棱　 角 知识点２　 直二面角　 α⊥β　 垂直 关键能力　 攻重难 例１：（１）因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡ⊥ＣＤ．因为四边形 ＡＢＣＤ为正方形， 所以ＣＤ⊥ＡＤ．又ＰＡ∩ＡＤ ＝ Ａ， 所以ＣＤ⊥平面ＰＡＤ． 又ＣＤ平面ＰＣＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＣＤ． 所以二面角Ａ － ＰＤ － Ｃ的平面角的度数为９０°． （２）因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＤ⊥ＰＡ．所以 ∠ＢＡＤ为二面角Ｂ － ＰＡ － Ｄ的平面角．又由题意知∠ＢＡＤ ＝ ９０°， 所以二面角Ｂ － ＰＡ － Ｄ的平面角的度数为９０°． （３）因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＣ⊥ＰＡ．所以 ∠ＢＡＣ为二面角Ｂ － ＰＡ － Ｃ的平面角． 又四边形ＡＢＣＤ为正方形，所以 ∠ＢＡＣ ＝ ４５°． 所以二面角Ｂ － ＰＡ － Ｃ的平面角的 度数为４５°． （４）作ＢＥ⊥ＰＣ于Ｅ，连接ＤＥ，ＢＤ， 且ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ，连接ＥＯ，如图．由 题意知△ＰＢＣ≌△ＰＤＣ，则∠ＢＰＥ ＝∠ＤＰＥ，从而 △ＰＢＥ≌△ＰＤＥ． 所以∠ＤＥＰ ＝∠ＢＥＰ ＝ ９０°， 且ＢＥ ＝ ＤＥ． 所以∠ＢＥＤ为二面角Ｂ － ＰＣ － Ｄ的平面角． 又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡ⊥ＢＣ． 又ＡＢ⊥ＢＣ，ＰＡ∩ＡＢ ＝ Ａ， 所以ＢＣ⊥平面ＰＡＢ．所以ＢＣ⊥ＰＢ． 设ＡＢ ＝ ａ，则ＰＡ ＝ ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ａ， 所以ＰＢ 槡＝ ２ａ，ＰＣ 槡＝ ３ａ，所以ＢＥ ＝ＰＢ·ＢＣＰＣ ＝槡 ６ ３ ａ，ＢＤ 槡＝ ２ａ． 所以ｓｉｎ∠ＢＥＯ ＝ ＢＯＢＥ ＝ 槡２ ２ ａ 槡６ ３ ａ ＝槡３２ ． 因为∠ＢＥＯ∈（０°，９０°）， 所以∠ＢＥＯ ＝ ６０°．所以∠ＢＥＤ ＝ １２０°． 所以二面角Ｂ － ＰＣ － Ｄ的平面角的度数为１２０°． 对点训练１：取Ａ１Ｃ１ 的中点Ｏ，连接Ｂ１Ｏ，ＢＯ．由题意知 Ｂ１Ｏ⊥Ａ１Ｃ１，又ＢＡ１ ＝ ＢＣ１，Ｏ为Ａ１Ｃ１的中点， 所以ＢＯ⊥Ａ１Ｃ１， 所以∠ＢＯＢ１ 即是二面角Ｂ － Ａ１Ｃ１ － Ｂ１的平面角． 因为ＢＢ１⊥平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，ＯＢ１ 平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，所以ＢＢ１⊥ＯＢ１ ． 设正方体的棱长为ａ                                                                      ， —３４３— 则ＯＢ１ ＝槡２２ ａ， 在Ｒｔ△ＢＢ１Ｏ中，ｔａｎ∠ＢＯＢ１ ＝ ＢＢ１ＯＢ１ ＝ ａ 槡２ ２ ａ 槡＝ ２， 所以二面角Ｂ － Ａ１Ｃ１ － Ｂ１的正切值为槡２． 例２：【证明】　 （１）由题意知△ＰＡＤ为正三角形，Ｇ是ＡＤ的 中点， ∴ ＰＧ⊥ＡＤ． 又平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，ＰＧ 平面ＰＡＤ， ∴ ＰＧ⊥平面ＡＢＣＤ，由ＢＧ平面ＡＢＣＤ，∴ ＰＧ⊥ＢＧ． 又∵四边形ＡＢＣＤ是菱形且∠ＤＡＢ ＝ ６０°， ∴ △ＡＢＤ是正三角形，∴ ＢＧ⊥ＡＤ． 又ＡＤ∩ＰＧ ＝ Ｇ，ＡＤ，ＰＧ平面ＰＡＤ，∴ ＢＧ⊥平面ＰＡＤ． （２）由（１）可知ＢＧ⊥ＡＤ，ＰＧ⊥ＡＤ，ＢＧ∩ＰＧ ＝ Ｇ，ＢＧ，ＰＧ平 面ＰＢＧ，所以ＡＤ⊥平面ＰＢＧ， 又ＰＢ平面ＰＢＧ，所以ＡＤ⊥ＰＢ． 对点训练２：【证明】　 （１）在平面ＡＢＤ 内，ＡＢ ⊥ ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＤ． 则ＡＢ∥ＥＦ． ∵ ＡＢ平面ＡＢＣ，ＥＦ平面ＡＢＣ， ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣ． （２）∵ ＢＣ⊥ＢＤ，平面ＡＢＤ∩平面ＢＣＤ ＝ ＢＤ，平面ＡＢＤ⊥平 面ＢＣＤ，ＢＣ平面ＢＣＤ， ∴ ＢＣ⊥平面ＡＢＤ． ∵ ＡＤ平面ＡＢＤ，∴ ＢＣ⊥ＡＤ． ∵ ＡＢ⊥ＡＤ，ＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ，ＢＣ∩ＡＢ ＝ Ｂ， ∴ ＡＤ⊥平面ＡＢＣ，又ＡＣ平面ＡＢＣ，∴ ＡＤ⊥ＡＣ． 例３：【证明】　 （１）因为ＰＤ ＝ ａ，ＤＣ ＝ ａ，ＰＣ 槡＝ ２ａ，所以ＰＣ２ ＝ ＰＤ２ ＋ ＤＣ２，所以ＰＤ⊥ＤＣ． 同理可证ＰＤ⊥ＡＤ，又ＡＤ∩ＤＣ ＝ Ｄ，所以ＰＤ⊥平面ＡＢＣ． 因为ＰＤ平面ＰＡＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ． （２）由（１）知ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ， 所以ＰＤ⊥ＡＣ，而四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＣ⊥ＢＤ，又ＢＤ∩ＰＤ ＝ Ｄ，所以ＡＣ⊥平面ＰＤＢ． 同时，ＡＣ平面ＰＡＣ，所以平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＤ． 对点训练３：【证明】　 证法一：（利用定义证明） 因为∠ＢＳＡ ＝∠ＣＳＡ ＝ ６０°，ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ， 所以△ＡＳＢ和△ＡＳＣ均是等边三角形，则有ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ ＝ ＡＢ ＝ ＡＣ，令其值为ａ， 则△ＡＢＣ和△ＳＢＣ为共底边ＢＣ的等腰三角形． 取ＢＣ的中点Ｄ，如图所示， 连接ＡＤ，ＳＤ，则ＡＤ⊥ＢＣ，ＳＤ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＤＳ为二面角Ａ － ＢＣ － Ｓ的 平面角． 在Ｒｔ△ＢＳＣ中，因为ＳＢ ＝ ＳＣ ＝ ａ， 所以ＳＤ ＝槡２２ ａ，ＢＤ ＝ ＢＣ ２ ＝ 槡２ ２ ａ． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ ＝槡２２ ａ．在△ＡＤＳ中，因为ＳＤ ２ ＋ ＡＤ２ ＝ ＳＡ２， 所以∠ＡＤＳ ＝ ９０°，即二面角Ａ － ＢＣ － Ｓ为直二面角，故平面 ＡＢＣ⊥平面ＳＢＣ． 证法二：（利用判定定理） 因为ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ，且∠ＢＳＡ ＝∠ＣＳＡ ＝ ６０°，所以△ＡＳＢ和 △ＡＳＣ均是等边三角形， 所以ＳＡ ＝ ＡＢ ＝ ＡＣ， 所以点Ａ在平面ＳＢＣ上的射影为△ＳＢＣ的外心．因为 △ＳＢＣ为直角三角形， 所以点Ａ在△ＳＢＣ上的射影Ｄ为斜边ＢＣ的中点，所 以ＡＤ⊥平面ＳＢＣ． 又因为ＡＤ平面ＡＢＣ，所以平面ＡＢＣ⊥平面ＳＢＣ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ ２． Ｃ　 因为ＢＡ⊥平面ＡＤＤ′Ａ′，又ＡＤ， ＡＤ′平面ＡＤＤ′Ａ′，所以ＡＤ′⊥ＡＢ， ＡＤ⊥ＡＢ，所以∠Ｄ′ ＡＤ即为二面角 Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的平面角，因为∠Ｄ′ＡＤ ＝ ４５°，所以二面角Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的大小 是４５°．故选Ｃ． ３． Ｃ　 ∵ ＡＢ ＝ ＣＢ，且Ｅ是ＡＣ的中点，∴ ＢＥ⊥ＡＣ，同理有ＤＥ⊥ ＡＣ，于是ＡＣ⊥平面ＢＤＥ． ∵ ＡＣ在平面ＡＢＣ内，∴平面ＡＢＣ⊥ 平面ＢＤＥ．又ＡＣ平面ＡＣＤ，∴平面ＡＣＤ⊥平面ＢＤＥ，故 选Ｃ． ４． Ｃ　 经过ｌ的平面都与α垂直，而经过ｌ的平面有无数个，故选Ｃ． ５．【证明】　 如图，在平面ＰＡＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ交ＰＣ于点Ｄ， ∵平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＣ，ＡＤ平面ＰＡＣ，且 ＡＤ⊥ＰＣ，平面ＰＡＣ∩平面ＰＢＣ ＝ ＰＣ， ∴ ＡＤ⊥平面ＰＢＣ， 又∵ ＢＣ平面ＰＢＣ， ∴ ＡＤ⊥ＢＣ． ∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＣ平面ＡＢＣ， ∴ ＰＡ⊥ＢＣ， ∵ ＡＤ∩ＰＡ ＝ Ａ， ∴ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ， ∵ ＡＣ平面ＰＡＣ， ∴ ＢＣ⊥ＡＣ． § ６　 简单几何体的再认识 ６． １　 柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）２πｒｌ　 ２πｒｌ ＋ ２πｒ２ 　 （２）πｒｌ　 πｒｌ ＋ πｒ２ （３）π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ　 π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ ＋ πｒ２１ ＋ πｒ                                                                      ２２ —４４３— KLMN%OPQ １．直线ｌ⊥平面α，直线ｍα，则ｌ与ｍ不可能（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．平行　 Ｂ．相交　 Ｃ．异面　 　 Ｄ．垂直 ２．已知ｌ，ｍ，ｎ是三条不同的直线，α是一平面．下列命 题中正确的个数为 （　 　 ） ①若ｌ∥ｍ，ｍ∥ｎ，ｌ⊥α，则ｎ⊥α； ②若ｌ∥ｍ，ｍ⊥α，ｎ⊥α，则ｌ∥ｎ； ③若ｌ∥α，ｌ⊥ｍ，则ｍ⊥α． Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ０ ３．若ａ，ｂ表示直线，α表示平面，下列推论中正确的个 数为 （　 　 ） ①ａ⊥α，ｂ∥α，则ａ⊥ｂ； ②ａ⊥α，ａ⊥ｂ，则ｂ∥α； ③ａ∥α，ａ⊥ｂ，则ｂ⊥α． Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ０ ４．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为 ＢＡ，ＢＣ，ＢＤ，教室内一点Ｐ到三墙面α，β，γ的距离分别 为３ ｍ，４ ｍ，１ ｍ，则Ｐ与墙角Ｂ的距离为　 　 　 　 ｍ． ５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，Ｄ是ＡＣ的中点，Ｓ是 △ＡＢＣ所在平面外一点，且ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ． （１）求证：ＳＤ⊥平面ＡＢＣ； （２）若ＡＢ ＝ ＢＣ，求证：ＢＤ⊥平面ＳＡＣ． 请同学们认真完成练案［４７                                       ］ ５． ２　 平面与平面垂直 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小． ２．理解两平面垂直的定义． ３．掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用． ４．掌握平面与平面垂直的判定定理． ５．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化． 通过本节的学习，培养学生的几何直观能力，建 立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探 索解决问题的思路，提升在直观感知，操作确认 的基础上归纳、概括结论的素养． !'* )*+,%-.+ 知识点１　 二面角 有关概念 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面　 ． 从一条直线出发的两个半平面　 所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱　 ， 这两个半平面称为二面角的面　 ． 符号语言 二面角α － ＡＢ － β或α － ｌ － β 图形语言 二面角的 平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱　 的两条射线，这两条射 线所成的角　 称为二面角的平面角．平面角是直角的二面角称为直二面角 符号语言 ∠ＡＯＢ是二面角α － ｌ － β的平面角 图形语言 知识点２　 平面与平面垂直的定义 文字语言 （定义） 两个平面相交，如果所成的二面角是直二平面角　 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平 面β垂直 符号语言 α⊥β　 图形语言 两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直　 ．如图所示 知识点３　 平面与平面垂直的性质 文字语言 （定义） 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另 一个平面垂直． 符号语言 α⊥β，α∩β ＝ＭＮ，ＡＢβ，ＡＢ⊥ＭＮ于点ＢＡＢ⊥α 图形语言 !(" 知识点４　 平面与平面垂直的判定 文字语言 （定义） 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言 ｌα，ｌ⊥βα⊥β 图形语言 /012%345 ●678%sEnT<23 １．四边形ＡＢＣＤ是正方形，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，且ＰＡ ＝ ＡＢ． （１）求二面角Ａ － ＰＤ － Ｃ的平面角的度数； （２）求二面角Ｂ － ＰＡ － Ｄ的平面角的度数； （３）求二面角Ｂ － ＰＡ － Ｃ的平面角的度数； （４）求二面角Ｂ － ＰＣ － Ｄ的平面角的度数． 【分析】　 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角， 然后在三角形中求解． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，求二面角Ｂ － Ａ１Ｃ１ － Ｂ１ 的正切值． 归纳提升： １． ‘ è Æ j  Z - Þßá ì/0 !%ºèJ§ ‘3 ． ºwÆj'?% G…(O¾Î-nY ． ２． ºèÆj-wÆj- Iá I%á¨GHI©p èÆj-´°ã%eT WÎ?p³e7wÆf ê ë º ² u M ´ - À¯ ． Ï;ÓÕ?Ñ ＡＯＢ 0è Æj α － ａ － β - w Æj ． Ièᨲ¯I©& èÆj%eÆf%κ ‚%ewÆ-²¯?& ²Uº´-²¯?¶F ¯Æ²u]ãdèÆj -wÆjÊî“j ． Ï;ÓÕ?Ñ ＡＦＥ 0è !(! 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%ÊndÊnÑÒ<€›”IJ ２．如图所示，Ｐ是四边形ＡＢＣＤ所在平面外的一点，四边形 ＡＢＣＤ是∠ＤＡＢ ＝ ６０°且边长为ａ的菱形．侧面ＰＡＤ为正三 角形，其所在平面垂直于底面ＡＢＣＤ． Ｇ为ＡＤ边的中点． 求证： （１）ＢＧ⊥平面ＰＡＤ； （２）ＡＤ⊥ＰＢ． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 如图，在三棱锥Ａ － ＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＤ，ＢＣ⊥ＢＤ，平面 ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ，点Ｅ，Ｆ（Ｅ与Ａ，Ｄ不重合）分别在棱ＡＤ， ＢＤ上，且ＥＦ⊥ＡＤ． 求证：（１）ＥＦ∥平面ＡＢＣ； （２）ＡＤ⊥ＡＣ． Æj Ａ － ＢＣ － Ｄ -w Æj ． I§á¨²ÆI© &´°%κ´-² uwÆ??wÆrè Æj-³e7wÆM N;¯?4³–;¯ ÓX-j?60èÆ j-wÆj ． Ï;ÓÕ?Ñ ＡＯＢ 0 èÆj α － ｌ － β -w Æj ． 归纳提升： LÆƲu->ÍG n-nh （１） GnXÁ-–— R§eá j ³ e w Æ ± š ²u ． ku¯pîX%ew Æf ． ±u¯r³wÆ-; ¯²u ． （２） Gn-·ÍBé ÆƲuѯƲ u?Ä]FgJK¯ Ʋu ． （３） ˜ ™ Æ Æ ² u '?]^¶FØGn bc0¯Æ²u?¡ bc0¯¯²u ． !(# 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%ÊndÊnÑÒ<Î& ３．如图所示，在四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ中，底面是边长为ａ的正方 形，侧棱ＰＤ ＝ ａ，ＰＡ ＝ ＰＣ ＝槡２ａ， （１）求证：平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ． （２）求证：平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＤ． 【分析】　 （１）根据已知的线段长度，证明ＰＤ⊥ＤＣ，ＰＤ⊥ＡＤ，即 可得到ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，然后利用面面垂直的判定定理证得结论． （２）根据（１）问得到ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，从而有ＰＤ⊥ＡＣ，然后结合底面ＡＢＣＤ为正方形得 到ＡＣ⊥ＢＤ，从而找出平面ＰＤＢ的垂线ＡＣ，最后利用判定定理证得结论． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 如图所示，在四面体Ａ － ＢＣＳ中，已知∠ＢＳＣ ＝ ９０°，∠ＢＳＡ ＝ ∠ＣＳＡ ＝ ６０°，又ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ． 求证：平面ＡＢＣ⊥平面ＳＢＣ． 归纳提升： JKwÆrwƲu -Iá １̈ ©GHIá´µÆ Æ²u-GH<G³ wƲu·Í°B_ `abc0‘èÆj -wÆj0uj ． ２̈ ©<GGná<G GnBJKÆƲu -¦FI?6…J ÆƲu\…bc0 J¯Æ²u?î@A BpîX%ewÆf >ã%–u¯r‚% ewƲu ． ¨ ３ ©>ÍIá¶F !³ewúwÆX- %e²uMà§ew Æ?ô‚%e'²u Mà§ewÆ3 ． !($ KLMN%OPQ １．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． α∥γ Ｂ． α⊥γ Ｃ． α与γ相交但不垂直 Ｄ．以上都有可能 ２．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，二面角Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的 大小是 （　 　 ） Ａ． ９０° Ｂ． ６０° Ｃ． ４５° Ｄ． ３０° ３．如图，在四面体Ｄ － ＡＢＣ中， 若ＡＢ ＝ ＣＢ，ＡＤ ＝ ＣＤ，Ｅ是ＡＣ 的中点，则下列结论正确的是 （　 　 ） Ａ．平面ＡＢＣ⊥平面ＡＢＤ Ｂ．平面ＡＢＤ⊥平面ＢＤＣ Ｃ．平面ＡＢＣ⊥平面ＢＤＥ，且平面ＡＤＣ⊥平面ＢＤＥ Ｄ．平面ＡＢＣ⊥平面ＡＤＣ，且平面ＡＤＣ⊥平面ＢＤＥ ４．已知直线ｌ⊥平面α，则经过ｌ且和α垂直的平面（　 　 ） Ａ．有１个 Ｂ．有２个 Ｃ．有无数个 Ｄ．不存在 ５．如图所示，在三棱锥Ｐ － ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，平面 ＰＡＣ⊥平面ＰＢＣ． 求证：ＢＣ⊥ＡＣ． 请同学们认真完成练案［４８                                   ］ § ' 简单几何体的再认识 ６． １　 柱、锥、台的侧面展开与面积 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开， 理解面积的求法． ２．掌握柱、锥、台的表面积的求法． 通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间 想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别 是图形，理解和解决数学问题的素养． )*+,%-.+ 知识点１　 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 　 　 （１）圆柱的底面半径为ｒ，母线长为ｌ，侧面展开图是矩形．如图１： 圆柱的侧面积和表面积公式：Ｓ圆柱侧＝ ２πｒｌ　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ圆柱侧＋ ２Ｓ底面积＝ ２πｒｌ ＋ ２πｒ２　 ． !(%