第6章 6.2 柱、锥、台的体积(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

知识点２　 （１）ｃｈ　 （２）１２ ｃ·ｈ′　 （３） １ ２ （ｃ１ ＋ ｃ２）ｈ′ 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｂ　 （２）２π　 （３）１６８π　 （１）因为过直线Ｏ１Ｏ２ 的 平面截该圆柱所得的截面是面积为８的正方形，所以圆柱的高 为槡２ ２，底面圆的直径为槡２ ２，所以该圆柱的表面积为２ × π × （槡２）２ ＋ ２π 槡 槡× ２ × ２ ２ ＝ １２π． （２）由题意，母线长ｌ ＝ ２，底面半径为１，所以侧面积为π × １ × ２ ＝ ２π． （３）先画轴截面，再利用上、下底面 半径和高的比求解．圆台的轴截面如图 所示，设上底面半径为ｒ，下底面半径为 Ｒ，则它的母线长为ｌ ＝ ｈ２ ＋（Ｒ － ｒ）槡 ２ ＝ （４ｒ）２ ＋（３ｒ）槡 ２ ＝ ５ｒ ＝ １０，所以ｒ ＝ ２，Ｒ ＝ ８． 故Ｓ侧＝ π（Ｒ ＋ ｒ）ｌ ＝ π（８ ＋ ２）× １０ ＝ １００π， Ｓ表＝ Ｓ侧＋ πｒ ２ ＋ πＲ２ ＝ １００π ＋ ４π ＋ ６４π ＝ １６８π． 对点训练１：（１）７　 （２）４πＳ　 （３）１　 （１）设圆台较小的底 面半径为ｒ，那么较大的底面半径为３ｒ，由已知得π（ｒ ＋ ３ｒ）× ３ ＋ πｒ２ ＋ ９πｒ２ ＝ ５７４π，解得ｒ ＝ ７． （２）设圆柱的底面半径为Ｒ， 则Ｓ ＝ πＲ２，Ｒ ＝ Ｓ槡π，底面周长ｃ ＝ ２πＲ． 故圆柱的侧面积为Ｓ圆柱侧＝ ｃ２ ＝（２πＲ）２ ＝ ４π２·Ｓπ ＝ ４πＳ． （３）设圆锥底面半径为ｒ，母线长为ｌ，则 π × ｒ × ｌ ＝ ２π， ２ × π × ｒ ＝ １２ × ２ × π × ｌ { ，解得ｒ ＝ １，ｌ ＝ ２． 例２：如图，设底面对角线ＡＣ ＝ ａ，ＢＤ ＝ ｂ，交点为Ｏ， 体对角线Ａ１Ｃ ＝ １５，Ｂ１Ｄ ＝ ９， ∴ ａ２ ＋ ５２ ＝ １５２，ｂ２ ＋ ５２ ＝ ９２， ∴ ａ２ ＝ ２００，ｂ２ ＝ ５６． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴ ＡＢ２ ＝ ＡＣ( )２ ２ ＋ ＢＤ( )２ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ４ ＝ ２００ ＋ ５６ ４ ＝ ６４， ∴ ＡＢ ＝ ８． ∴直四棱柱的侧面积Ｓ侧＝ ４ × ８ × ５ ＝ １６０． ∴直四棱柱的底面积Ｓ底＝ １２ ＡＣ·ＢＤ 槡＝ ２０ ７． ∴直四棱柱的表面积Ｓ表 槡 槡＝ １６０ ＋ ２ × ２０ ７ ＝ １６０ ＋ ４０ ７． 对点训练２：∵四棱锥Ｓ － ＡＢＣＤ的各棱长均为５， ∴各侧面都是全等的正三角形． 设Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＳＥ，则ＳＥ⊥ＡＢ， ∴ Ｓ侧＝ ４Ｓ△ＳＡＢ ＝ ４ × １ ２ ＡＢ × ＳＥ ＝ ２ × ５ × ５ ２ － ( )５２槡 ２ ＝ 槡２５ ３，Ｓ表＝ Ｓ侧＋ Ｓ底 槡＝ ２５ ３ ＋ ２５ ＝ ２５（槡３ ＋ １）． 例３：因为圆柱形铁管的高为３π，底面半径为１，铁丝在铁 管上缠绕２圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示． 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长２π，长为圆柱的高 ３π，则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的 长度最小值为９π２ ＋ １６π槡 ２ ＝ ５π，即铁丝的最短长度为５π． 对点训练３：如图１为棱长为１的正方体礼品盒，先把正方 体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼 成面积较小的正方形，如图２所示，由图知正方形的边长为槡２ ２， 其面积为８． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面 展开图是长宽分别为１，２π的矩形，面积为Ｓ ＝ ２π． ２． Ａ　 柱体的全面积是侧面积与底面积的和，由题意得Ｓ侧＝ ６ａｈ，两个底面积２Ｓ底 槡＝ ３ ３ａ２，则全面积为６ａｈ 槡＋ ３ ３ａ２ ． ３． Ｃ　 Ｓ侧＝ １ ２ （４ ＋ ８）× ３ ＝ １８．故选Ｃ． ４．槡３　 此四面体的一个面的面积为槡３４ ，故它的表面积为４ ×槡 ３ ４ 槡＝ ３． ５．由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为８ ｃｍ，设底面半径为 ｒ ｃｍ，则２πｒ ＝ π２ × ８，所以ｒ ＝ ２ ｃｍ，所以圆锥的表面积即侧面 积Ｓ侧面积＝ πｒｌ ＝ ２ × ８π ＝ １６π（ｃｍ２）． ６． ２　 柱、锥、台的体积 必备知识　 探新知 知识点　 １． Ｓｈ　 ２． １３ Ｓｈ　 ３． １ ３ （Ｓ上＋ Ｓ下＋ Ｓ上·Ｓ槡 下）ｈ　 １ ３ πｈ（ｒ′ ２ ＋ ｒ′ｒ ＋ ｒ２） 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ａ　 （２）Ｄ　 （３）槡７ ３３ π　 （１）设圆锥的底面半径为 ｒ，母线长为ｌ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形                                                                       ， —５４３— ∴ ２ｒ ＝ ｌ２ ＋ ｌ槡 ２，即ｌ 槡＝ ２ｒ， 由题意得，侧面积Ｓ侧＝ πｒ·ｌ 槡＝ ２πｒ２ 槡＝ １６ ２π， ∴ ｒ ＝ ４． ∴ ｌ 槡＝ ４ ２，高ｈ ＝ ｌ２ － ｒ槡 ２ ＝ ４． ∴圆锥的体积Ｖ ＝ １３ Ｓｈ ＝ １ ３ π × ４ ２ × ４ ＝ ６４３ π，故选Ａ． （２）用一个完全相同的几何体把题中几何体 补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π × ２２ × ５ ＝ ２０π，故所求几何体的体积为１０π． （３）设圆台的上、下底面半径分别为ｒ和Ｒ，母 线长为ｌ，高为ｈ，则Ｓ上＝ πｒ２ ＝ π，Ｓ下＝ πＲ２ ＝ ４π， ∴ ｒ ＝ １，Ｒ ＝ ２，Ｓ侧＝ π（ｒ ＋ Ｒ）ｌ ＝ ６π， ∴ ｌ ＝ ２， ∴ ｈ 槡＝ ３， ∴ Ｖ ＝ １３ π（１ ２ ＋ ２２ ＋ １ × ２） 槡× ３ ＝ 槡７ ３３ π． 对点训练１：（１）Ｂ　 （２）１２π 　 （１）由 图可得，圆台的高为 ３２ －（２ － １）槡 ２ ＝ 槡２ ２， 故圆台的体积为Ｖ ＝ １３ 槡× ２ ２ ×（π × １２ ＋ π × ２２ ＋ π × １２ × π × ２槡 ２）＝ 槡１４ ２３ π．故选Ｂ． （２）易知圆锥的高ｈ ＝ ４，所以Ｖ圆锥＝ １３ π × ３ ２ × ４ ＝ １２π． 例２：（１）Ｄ　 （２）见解析 【解析】　 （１）设三棱锥Ｂ１ － ＡＢＣ的高为ｈ，则Ｖ三棱锥Ｂ１ － ＡＢＣ ＝ １ ３ Ｓ△ＡＢＣｈ ＝ １ ３ × 槡３ ４ ×３ ＝ 槡３ ４ ． （２）正四棱台的大致图形如 图所示，其中Ａ１Ｂ１ ＝ １０ ｃｍ，ＡＢ ＝ ２０ ｃｍ，取Ａ１Ｂ１的中点Ｅ１，ＡＢ的中 点Ｅ，则Ｅ１Ｅ为斜高．设Ｏ１，Ｏ分别 是上、下底面的中心，则四边形 ＥＯＯ１Ｅ１为直角梯形． ∵ Ｓ侧＝ ４ × １ ２ ×（１０ ＋ ２０）× ＥＥ１ ＝ ７８０（ｃｍ２）， ∴ ＥＥ１ ＝ １３ ｃｍ． 在直角梯形ＥＯＯ１Ｅ１中， Ｏ１Ｅ１ ＝ １ ２ Ａ１Ｂ１ ＝ ５ ｃｍ，ＯＥ ＝ １ ２ ＡＢ ＝ １０ ｃｍ， ∴ Ｏ１Ｏ ＝ １３ ２ －（１０ － ５）槡 ２ ＝ １２（ｃｍ）． 故该正四棱台的体积为 Ｖ ＝ １３ × １２ ×（１０ ２ ＋ ２０２ ＋ １０ × ２０）＝ ２ ８００（ｃｍ３）． 对点训练２：１３ 　 由题意可知四棱锥Ａ１ － ＢＢ１Ｄ１Ｄ的底面是 矩形，边长为１和槡２，四棱锥的高为１２ Ａ１Ｃ１ ＝槡 ２ ２ ，则四棱锥Ａ１ － ＢＢ１Ｄ１Ｄ的体积为Ｖ ＝ １３ 槡× １ × ２ ×槡 ２ ２ ＝ １ ３ ． 例３：（１）圆锥的底面半径Ｒ与高ｈ均为２，则圆锥的母线长 为ｌ 槡＝２ ２，所以圆锥的侧面积为Ｓ圆锥侧＝πＲｌ ＝π 槡槡×２ ×２ ２ ＝４ ２π． （２）设圆柱的半径为ｒ， 则ｒ２ ＝ ２ － ｘ ２ ，解得ｒ ＝ ２ － ｘ，且０ ＜ ｘ ＜ ２； 所以圆柱的侧面积为Ｓ圆柱侧＝ ２πｒｘ ＝ ２π（２ － ｘ）ｘ ＝ － ２πｘ２ ＋ ４πｘ（０ ＜ ｘ ＜ ２）． （３）Ｓ圆柱侧＝ － ２πｘ２ ＋ ４πｘ ＝ ２π［－（ｘ － １）２ ＋ １］，０ ＜ ｘ ＜ ２； 当ｘ ＝ １时，Ｓ圆柱侧取得最大值为２π，此时ｒ ＝ １，圆柱的体积 为Ｖ圆柱＝ πｒ２ｘ ＝ π·１２·１ ＝ π． 对点训练３： 槡１２ ３ － π( )２ 　 正六棱柱体积为６ ×槡３４ × ２２ × ２ 槡＝ １２ ３，圆柱体积为π( )１２ ２ ·２ ＝ π２ ，所求几何体体积为槡１２ ３ － π２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 设正方体的棱长为ａ，则６ａ２ ＝ ９６，解得ａ ＝ ４，故Ｖ ＝ ａ３ ＝ ４３ ＝ ６４． ２． Ｂ　 设正方体的棱长为１，已知截去的每一个角都是一个三棱 锥，且每个三棱锥的体积都等于１６ ，因此截去的四个三棱锥的 体积为２３ ，则剩余的四面体的体积为 １ ３ ． ３． １６ 　 Ｖ三棱锥Ａ － ＤＥＤ１ ＝ Ｖ三棱锥Ｅ － ＤＤ１Ａ ＝ １ ３ × １ ２ × １ × １ × １ ＝ １ ６ ． ４． ２６８π ｃｍ３ 　 如图所示， 圆台的轴截面是等腰梯形ＡＢＣＤ， 由上、下底面面积分别为４π ｃｍ２，４９π ｃｍ２得， 上底半径Ｏ１Ａ ＝ ２ ｃｍ，下底半径ＯＢ ＝ ７ ｃｍ， 又因为腰长为１３ ｃｍ， 所以圆台的高ＡＭ ＝ １３２ －（７ － ２）槡 ２ ＝ １２（ｃｍ）， 所以圆台的体积Ｖ台＝ １３ （Ｓ上＋ Ｓ上·Ｓ槡 下＋ Ｓ下）ｈ ＝ １３ （４π ＋ ４π·４９槡 π ＋ ４９π）× １２ ＝ ２６８π（ｃｍ ３）． ５． ∵ ＶＭ是棱锥的高， ∴ ＶＭ⊥ＭＣ． 在Ｒｔ△ＶＭＣ中， ＭＣ ＝ ＶＣ２ － ＶＭ槡 ２ ＝ ５２ － ４槡 ２ ＝ ３（ｃｍ）， ∴ ＡＣ ＝ ２ＭＣ ＝ ６（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝ ＡＣ２ － ＡＢ槡 ２ ＝ ６２ － ４槡 ２ 槡＝ ２ ５（ｃｍ）                                                                       ． —６４３— Ｓ底＝ ＡＢ·ＢＣ 槡 槡＝ ４ × ２ ５ ＝ ８ ５（ｃｍ２）， ∴ Ｖ锥＝ １ ３ Ｓ底ｈ ＝ １ ３ 槡× ８ ５ × ４ ＝ 槡 ３２ ５ ３ （ｃｍ ３）． ∴棱锥的体积为槡３２ ５３ ｃｍ ３ ． ６． ３　 球的表面积和体积 必备知识　 探新知 知识点１　 球心　 球心　 交点　 相等 关键能力　 攻重难 例１：①当球心在两个截面同侧时，如右 图，设ＯＤ ＝ ｘ，由题意知π·ＣＡ２ ＝ ４９π， ∴ ＣＡ ＝ ７（ｃｍ）．同理可得ＢＤ ＝ ２０（ｃｍ）． 设球半径为Ｒ，则依题意，得 （ＣＤ ＋ ＯＤ）２ ＋ ＣＡ２ ＝ Ｒ２ ＝ ＯＤ２ ＋ ＢＤ２， 即（９ ＋ ｘ）２ ＋ ７２ ＝ ｘ２ ＋ ２０２，解之得ｘ ＝ １５． ∴ Ｒ ＝ ２５，故Ｓ球＝ ４πＲ２ ＝ ２ ５００π（ｃｍ２）． ②当球心在两个截面之间时，如图． 设ＯＤ ＝ ｘｃｍ，则ＯＣ ＝（９ － ｘ）ｃｍ， 由题意得π·ＣＡ２ ＝ ４９π， ∴ ＣＡ ＝ ７（ｃｍ）．同理可得ＢＤ ＝ ２０ ｃｍ． 设球半径为Ｒ，则依题意，知ｘ２ ＋ ２０２ ＝（９ － ｘ）２ ＋ ７２ ＝ Ｒ２， 即ｘ２ ＋４００ ＝（９ － ｘ）２ ＋４９，此方程无正数解，故此情况不可能． 综上可知，所求球的表面积为２ ５００π ｃｍ２ ． 对点训练１：Ｃ　 设最小的一个半径为ｒ，则另两个半径为 ２ｒ，３ｒ，所以各球的表面积分别为４πｒ２，１６πｒ２，３６πｒ２， ３６πｒ２ ４πｒ２ ＋ １６πｒ２ ＝ ９５ ． 例２：设空心钢球的内径为２ｘ ｃｍ，那么钢球质量为 ７． ９ × ４３ π × ( )５２ ３ － ４３ πｘ[ ]３ ＝ １４２．解得ｘ３ ＝ ( )５２ ３ － １４２ × ３ ７． ９ × ４π≈ １１． ３， 由计算器得ｘ≈２． ２４，∴ ２ｘ≈４． ５（ｃｍ）． ∴空心钢球的内径约为４． ５ ｃｍ． 对点训练２：５００π３ 　 如图所示， 由已知：Ｏ１Ａ ＝ ３，ＯＯ１ ＝ ４， 从而Ｒ ＝ ＯＡ ＝ ５． ∴ Ｖ球＝ ４π３ × ５ ３ ＝ ５００π３ ｃｍ ３ ． 例３：４３ π　 ∵底面是正六边形，周长 为３， ∴边长为１２ ． ∴ ＡＤ ＝ １． ＡＤ１为球直径，其长度为槡３ ＋ １ ＝ ２， ∴ Ｒ ＝ １． ∴ Ｖ ＝ ４３ πＲ ３ ＝ ４π３ ． 对点训练３：Ｂ　 由于长方体的长、宽、高分别为２ａ，ａ，ａ，则 长方体的体对角线长为（２ａ）２ ＋ ａ２ ＋ ａ槡 ２ 槡＝ ６ａ．又长方体外接 球的直径２Ｒ等于长方体的对角线长， ∴ ２Ｒ 槡＝ ６ａ． ∴ Ｓ球＝ ４πＲ ２ ＝ ６πａ２ ． 例４：设正方体的棱长为ａ，这三个球的半径分别为ｒ１，ｒ２， ｒ３，球的表面积分别为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３ ．作出截面图，分别求出三个球的 半径． （１）正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面 的中心，经过四个切点及球心作截面，如图（１）所示，有２ｒ１ ＝ ａ， 所以ｒ１ ＝ ａ２ ，所以Ｓ１ ＝ ４πｒ ２ １ ＝ πａ ２ ． （２）球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，过球心作 正方体的对角面得截面，如图（２）所示，有２ｒ２ 槡＝ ２ａ，所以ｒ２ ＝ 槡２ ２ ａ，所以Ｓ２ ＝ ４πｒ ２ ２ ＝ ２πａ ２ ． （３）正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角 面得截面，如图（３）所示，有２ｒ３ 槡＝ ３ａ，所以ｒ３ ＝槡３２ ａ，所以Ｓ３ ＝ ４πｒ２３ ＝ ３πａ ２ ． 综上可得Ｓ１Ｓ２Ｓ３ ＝ １２３． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 ∵球的直径为２，∴球的半径为１，∴球的表面积Ｓ ＝ ４πＲ２ ＝ ４π． ２． Ｃ　 设球的半径为Ｒ，则截面圆的半径为Ｒ２槡－ １，∴截面圆的 面积为Ｓ ＝ π（ Ｒ２槡－ １）２ ＝（Ｒ２ － １）π ＝ π，∴ Ｒ２ ＝ ２，∴球的表 面积Ｓ ＝ ４πＲ２ ＝ ８π． ３．槡３　 设正方体的棱长为ａ，球的半径为Ｒ，则４３ πＲ ３ ＝ ９π２ ，∴ Ｒ ＝ ３２ ，又ａ ２ ＋ ａ２ ＋ ａ槡 ２ ＝ ２Ｒ，槡∴ ３ａ ＝ ３，∴ ａ 槡＝ ３． ４． ８　 ４　 球的半径为Ｒ时，球的体积为Ｖ１ ＝ ４３ πＲ ３，表面积为Ｓ                                                                      １ —７４３— ６． ２　 柱、锥、台的体积 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．掌握柱、锥、台的体积计算公式． ２．会利用柱、锥、台的体积公式求有关几何体的体积． 通过本节的学习，培养学生借助空间形式认识 事物的位置关系，利用图形描述、分析数学问 题，培养转化与化归与空间想象等素养． )*+,%-.+ 知识点　 柱、锥、台的体积公式 　 　 １．棱柱和圆柱的体积 棱柱和圆柱的体积的计算公式：Ｖ柱体＝ Ｓｈ　 ．其中Ｓ为柱体的底面积，ｈ为柱体的高． 特别地，Ｖ圆柱＝ πｒ２ｈ（ｒ是圆柱的底面半径，ｈ是圆柱的高）． ２．棱锥和圆锥的体积 棱锥和圆锥的体积的计算公式：Ｖ锥体＝ 　 　 　 　 ．其中Ｓ为锥体的底面积，ｈ为锥体的高． 特别地，Ｖ圆锥＝ １３ πｒ ２ｈ（ｒ是圆锥的底面半径，ｈ是圆锥的高）． ３．棱台和圆台的体积 棱台和圆台的体积的计算公式： Ｖ台体＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． Ｓ上，Ｓ下分别为棱台的上、下底面面积，ｈ为棱台的高．特别地， Ｖ圆台＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ｒ′，ｒ分别是上、下底面半径，ｈ是高）． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%r÷z rúz rû<þo １．（１）圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是１６槡２π，则圆锥的体积是（　 　 ） Ａ． ６４π３ Ｂ． １２８π ３ Ｃ． ６４π Ｄ． １２８槡２π （２）如图，一个底面半径为２的圆柱被一平面所截，截得的几 何体的最短和最长母线长分别为２和３，则该几何体的体积 为 （　 　 ） Ａ． ５π Ｂ． ６π Ｃ． ２０π Ｄ． １０π （３）已知某圆台的上、下底面面积分别是π，４π，侧面积是６π，则这个圆台的体 积是　 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）已知圆台上下底面的半径分别为１和２，母线长为３，则圆台的体积为（　 　 ） Ａ． ７π３ Ｂ． １４槡２π ３ Ｃ． ７π Ｄ． １４槡２π （２）若圆锥的底面半径为３，母线长为５，则圆锥的体积是　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘:µt:ºt:¹ -»0-@AB‘î #ÆÆ0åÉ?îX É%¶F^+»- ¾ÄƑÑ?%B éH¯tÉt783 X-uj§jžX1 +2g‘h ． %« Œ®ô^+»»0] ^¶FԓI ． !() 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%ö÷z öúz öû<þo ２．（１）已知高为３的三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的底面是边长为１的 正三角形，如图所示，则三棱锥Ｂ１ － ＡＢＣ的体积为 （　 　 ） Ａ． １４ Ｂ． １ ２ Ｃ．槡３６ Ｄ．槡 ３ ４ （２）正四棱台两底面边长分别为２０ ｃｍ和１０ ｃｍ，侧面面积为７８０ ｃｍ２，求其 体积． 【分析】　 利用体积公式计算求解． 〉 ABCD ２ 　 　 如图，已知正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，则四棱锥Ａ１ － ＢＢ１Ｄ１Ｄ的体积为　 　 　 　 ． ●67H%÷z úz ûþo<­®IJ ３．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为２，且在这个圆锥 中有一个高为ｘ的圆柱． （１）求出此圆锥的侧面积； （２）用ｘ表示此圆柱的侧面积表达式； （３）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积． ［归纳提升］ 归纳提升： ‘rY¥R@-»0 åÔÆ0?…û0 ÊÔÆ0ÔÕXš@ "-9:?¶F9: -Y¥VGB¥?ù D‘Y¥ ． !(* 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD ３ 　 　 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为２ ｃｍ，高 为２ ｃｍ，内孔半径为０ ． ５ ｃｍ，则此六角螺帽毛坯的体积是　 　 　 　 　 ｃｍ３ ． KLMN%OPQ １．若正方体的表面积为９６，则正方体的体积为（　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ４８槡６ Ｂ． ６４ Ｃ． １６ Ｄ． ９６ ２．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四 面体的体积是原正方体体积的 （　 　 ） Ａ． １２ Ｂ． １ ３ Ｃ． ２３ Ｄ． １ ４ ３．如图所示，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｅ为 线段Ｂ１Ｃ上的一点，则三棱锥Ａ － ＤＥＤ１的体积为 　 　 　 　 ． ４．已知圆台的母线长为１３ ｃｍ，两底面面积分别为 ４π ｃｍ２和４９π ｃｍ２，则该圆台的体积为　 　 　 　 ． ５．如图，棱锥的底面ＡＢＣＤ是一个矩形，ＡＣ与ＢＤ交于 点Ｍ，ＶＭ是棱锥的高．若ＶＭ ＝ ４ ｃｍ，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，ＶＣ ＝ ５ ｃｍ，求锥体的体积． 请同学们认真完成练案［５０                                   ］ ６． ３　 球的表面积和体积 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．了解球的体积、表面积的推导过程． ２．能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题． ３．能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切” 等几何体问题． 通过本节的学习，培养学生借助空间形式认 识事物的位置关系、形态变化；利用图形描 述、分析数学问题的素养． !)"