第6章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

则ＯＢ１ ＝槡２２ ａ， 在Ｒｔ△ＢＢ１Ｏ中，ｔａｎ∠ＢＯＢ１ ＝ ＢＢ１ＯＢ１ ＝ ａ 槡２ ２ ａ 槡＝ ２， 所以二面角Ｂ － Ａ１Ｃ１ － Ｂ１的正切值为槡２． 例２：【证明】　 （１）由题意知△ＰＡＤ为正三角形，Ｇ是ＡＤ的 中点， ∴ ＰＧ⊥ＡＤ． 又平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＤ∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ，ＰＧ 平面ＰＡＤ， ∴ ＰＧ⊥平面ＡＢＣＤ，由ＢＧ平面ＡＢＣＤ，∴ ＰＧ⊥ＢＧ． 又∵四边形ＡＢＣＤ是菱形且∠ＤＡＢ ＝ ６０°， ∴ △ＡＢＤ是正三角形，∴ ＢＧ⊥ＡＤ． 又ＡＤ∩ＰＧ ＝ Ｇ，ＡＤ，ＰＧ平面ＰＡＤ，∴ ＢＧ⊥平面ＰＡＤ． （２）由（１）可知ＢＧ⊥ＡＤ，ＰＧ⊥ＡＤ，ＢＧ∩ＰＧ ＝ Ｇ，ＢＧ，ＰＧ平 面ＰＢＧ，所以ＡＤ⊥平面ＰＢＧ， 又ＰＢ平面ＰＢＧ，所以ＡＤ⊥ＰＢ． 对点训练２：【证明】　 （１）在平面ＡＢＤ 内，ＡＢ ⊥ ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＤ． 则ＡＢ∥ＥＦ． ∵ ＡＢ平面ＡＢＣ，ＥＦ平面ＡＢＣ， ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣ． （２）∵ ＢＣ⊥ＢＤ，平面ＡＢＤ∩平面ＢＣＤ ＝ ＢＤ，平面ＡＢＤ⊥平 面ＢＣＤ，ＢＣ平面ＢＣＤ， ∴ ＢＣ⊥平面ＡＢＤ． ∵ ＡＤ平面ＡＢＤ，∴ ＢＣ⊥ＡＤ． ∵ ＡＢ⊥ＡＤ，ＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ，ＢＣ∩ＡＢ ＝ Ｂ， ∴ ＡＤ⊥平面ＡＢＣ，又ＡＣ平面ＡＢＣ，∴ ＡＤ⊥ＡＣ． 例３：【证明】　 （１）因为ＰＤ ＝ ａ，ＤＣ ＝ ａ，ＰＣ 槡＝ ２ａ，所以ＰＣ２ ＝ ＰＤ２ ＋ ＤＣ２，所以ＰＤ⊥ＤＣ． 同理可证ＰＤ⊥ＡＤ，又ＡＤ∩ＤＣ ＝ Ｄ，所以ＰＤ⊥平面ＡＢＣ． 因为ＰＤ平面ＰＡＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＡＢＣＤ． （２）由（１）知ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ， 所以ＰＤ⊥ＡＣ，而四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以ＡＣ⊥ＢＤ，又ＢＤ∩ＰＤ ＝ Ｄ，所以ＡＣ⊥平面ＰＤＢ． 同时，ＡＣ平面ＰＡＣ，所以平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＤ． 对点训练３：【证明】　 证法一：（利用定义证明） 因为∠ＢＳＡ ＝∠ＣＳＡ ＝ ６０°，ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ， 所以△ＡＳＢ和△ＡＳＣ均是等边三角形，则有ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ ＝ ＡＢ ＝ ＡＣ，令其值为ａ， 则△ＡＢＣ和△ＳＢＣ为共底边ＢＣ的等腰三角形． 取ＢＣ的中点Ｄ，如图所示， 连接ＡＤ，ＳＤ，则ＡＤ⊥ＢＣ，ＳＤ⊥ＢＣ， 所以∠ＡＤＳ为二面角Ａ － ＢＣ － Ｓ的 平面角． 在Ｒｔ△ＢＳＣ中，因为ＳＢ ＝ ＳＣ ＝ ａ， 所以ＳＤ ＝槡２２ ａ，ＢＤ ＝ ＢＣ ２ ＝ 槡２ ２ ａ． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＤ ＝槡２２ ａ．在△ＡＤＳ中，因为ＳＤ ２ ＋ ＡＤ２ ＝ ＳＡ２， 所以∠ＡＤＳ ＝ ９０°，即二面角Ａ － ＢＣ － Ｓ为直二面角，故平面 ＡＢＣ⊥平面ＳＢＣ． 证法二：（利用判定定理） 因为ＳＡ ＝ ＳＢ ＝ ＳＣ，且∠ＢＳＡ ＝∠ＣＳＡ ＝ ６０°，所以△ＡＳＢ和 △ＡＳＣ均是等边三角形， 所以ＳＡ ＝ ＡＢ ＝ ＡＣ， 所以点Ａ在平面ＳＢＣ上的射影为△ＳＢＣ的外心．因为 △ＳＢＣ为直角三角形， 所以点Ａ在△ＳＢＣ上的射影Ｄ为斜边ＢＣ的中点，所 以ＡＤ⊥平面ＳＢＣ． 又因为ＡＤ平面ＡＢＣ，所以平面ＡＢＣ⊥平面ＳＢＣ． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ ２． Ｃ　 因为ＢＡ⊥平面ＡＤＤ′Ａ′，又ＡＤ， ＡＤ′平面ＡＤＤ′Ａ′，所以ＡＤ′⊥ＡＢ， ＡＤ⊥ＡＢ，所以∠Ｄ′ ＡＤ即为二面角 Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的平面角，因为∠Ｄ′ＡＤ ＝ ４５°，所以二面角Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的大小 是４５°．故选Ｃ． ３． Ｃ　 ∵ ＡＢ ＝ ＣＢ，且Ｅ是ＡＣ的中点，∴ ＢＥ⊥ＡＣ，同理有ＤＥ⊥ ＡＣ，于是ＡＣ⊥平面ＢＤＥ． ∵ ＡＣ在平面ＡＢＣ内，∴平面ＡＢＣ⊥ 平面ＢＤＥ．又ＡＣ平面ＡＣＤ，∴平面ＡＣＤ⊥平面ＢＤＥ，故 选Ｃ． ４． Ｃ　 经过ｌ的平面都与α垂直，而经过ｌ的平面有无数个，故选Ｃ． ５．【证明】　 如图，在平面ＰＡＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ交ＰＣ于点Ｄ， ∵平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＣ，ＡＤ平面ＰＡＣ，且 ＡＤ⊥ＰＣ，平面ＰＡＣ∩平面ＰＢＣ ＝ ＰＣ， ∴ ＡＤ⊥平面ＰＢＣ， 又∵ ＢＣ平面ＰＢＣ， ∴ ＡＤ⊥ＢＣ． ∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＣ平面ＡＢＣ， ∴ ＰＡ⊥ＢＣ， ∵ ＡＤ∩ＰＡ ＝ Ａ， ∴ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ， ∵ ＡＣ平面ＰＡＣ， ∴ ＢＣ⊥ＡＣ． § ６　 简单几何体的再认识 ６． １　 柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识　 探新知 知识点１　 （１）２πｒｌ　 ２πｒｌ ＋ ２πｒ２ 　 （２）πｒｌ　 πｒｌ ＋ πｒ２ （３）π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ　 π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ ＋ πｒ２１ ＋ πｒ                                                                      ２２ —４４３— 知识点２　 （１）ｃｈ　 （２）１２ ｃ·ｈ′　 （３） １ ２ （ｃ１ ＋ ｃ２）ｈ′ 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｂ　 （２）２π　 （３）１６８π　 （１）因为过直线Ｏ１Ｏ２ 的 平面截该圆柱所得的截面是面积为８的正方形，所以圆柱的高 为槡２ ２，底面圆的直径为槡２ ２，所以该圆柱的表面积为２ × π × （槡２）２ ＋ ２π 槡 槡× ２ × ２ ２ ＝ １２π． （２）由题意，母线长ｌ ＝ ２，底面半径为１，所以侧面积为π × １ × ２ ＝ ２π． （３）先画轴截面，再利用上、下底面 半径和高的比求解．圆台的轴截面如图 所示，设上底面半径为ｒ，下底面半径为 Ｒ，则它的母线长为ｌ ＝ ｈ２ ＋（Ｒ － ｒ）槡 ２ ＝ （４ｒ）２ ＋（３ｒ）槡 ２ ＝ ５ｒ ＝ １０，所以ｒ ＝ ２，Ｒ ＝ ８． 故Ｓ侧＝ π（Ｒ ＋ ｒ）ｌ ＝ π（８ ＋ ２）× １０ ＝ １００π， Ｓ表＝ Ｓ侧＋ πｒ ２ ＋ πＲ２ ＝ １００π ＋ ４π ＋ ６４π ＝ １６８π． 对点训练１：（１）７　 （２）４πＳ　 （３）１　 （１）设圆台较小的底 面半径为ｒ，那么较大的底面半径为３ｒ，由已知得π（ｒ ＋ ３ｒ）× ３ ＋ πｒ２ ＋ ９πｒ２ ＝ ５７４π，解得ｒ ＝ ７． （２）设圆柱的底面半径为Ｒ， 则Ｓ ＝ πＲ２，Ｒ ＝ Ｓ槡π，底面周长ｃ ＝ ２πＲ． 故圆柱的侧面积为Ｓ圆柱侧＝ ｃ２ ＝（２πＲ）２ ＝ ４π２·Ｓπ ＝ ４πＳ． （３）设圆锥底面半径为ｒ，母线长为ｌ，则 π × ｒ × ｌ ＝ ２π， ２ × π × ｒ ＝ １２ × ２ × π × ｌ { ，解得ｒ ＝ １，ｌ ＝ ２． 例２：如图，设底面对角线ＡＣ ＝ ａ，ＢＤ ＝ ｂ，交点为Ｏ， 体对角线Ａ１Ｃ ＝ １５，Ｂ１Ｄ ＝ ９， ∴ ａ２ ＋ ５２ ＝ １５２，ｂ２ ＋ ５２ ＝ ９２， ∴ ａ２ ＝ ２００，ｂ２ ＝ ５６． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴ ＡＢ２ ＝ ＡＣ( )２ ２ ＋ ＢＤ( )２ ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ４ ＝ ２００ ＋ ５６ ４ ＝ ６４， ∴ ＡＢ ＝ ８． ∴直四棱柱的侧面积Ｓ侧＝ ４ × ８ × ５ ＝ １６０． ∴直四棱柱的底面积Ｓ底＝ １２ ＡＣ·ＢＤ 槡＝ ２０ ７． ∴直四棱柱的表面积Ｓ表 槡 槡＝ １６０ ＋ ２ × ２０ ７ ＝ １６０ ＋ ４０ ７． 对点训练２：∵四棱锥Ｓ － ＡＢＣＤ的各棱长均为５， ∴各侧面都是全等的正三角形． 设Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＳＥ，则ＳＥ⊥ＡＢ， ∴ Ｓ侧＝ ４Ｓ△ＳＡＢ ＝ ４ × １ ２ ＡＢ × ＳＥ ＝ ２ × ５ × ５ ２ － ( )５２槡 ２ ＝ 槡２５ ３，Ｓ表＝ Ｓ侧＋ Ｓ底 槡＝ ２５ ３ ＋ ２５ ＝ ２５（槡３ ＋ １）． 例３：因为圆柱形铁管的高为３π，底面半径为１，铁丝在铁 管上缠绕２圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端， 则我们可以得到将圆柱侧面展开后的平面图形，如图所示． 其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长２π，长为圆柱的高 ３π，则大矩形的对角线长即为铁丝的长度的最小值．此时铁丝的 长度最小值为９π２ ＋ １６π槡 ２ ＝ ５π，即铁丝的最短长度为５π． 对点训练３：如图１为棱长为１的正方体礼品盒，先把正方 体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼 成面积较小的正方形，如图２所示，由图知正方形的边长为槡２ ２， 其面积为８． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 本题考查了空间想象能力，圆柱侧面积公式．该圆柱侧面 展开图是长宽分别为１，２π的矩形，面积为Ｓ ＝ ２π． ２． Ａ　 柱体的全面积是侧面积与底面积的和，由题意得Ｓ侧＝ ６ａｈ，两个底面积２Ｓ底 槡＝ ３ ３ａ２，则全面积为６ａｈ 槡＋ ３ ３ａ２ ． ３． Ｃ　 Ｓ侧＝ １ ２ （４ ＋ ８）× ３ ＝ １８．故选Ｃ． ４．槡３　 此四面体的一个面的面积为槡３４ ，故它的表面积为４ ×槡 ３ ４ 槡＝ ３． ５．由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为８ ｃｍ，设底面半径为 ｒ ｃｍ，则２πｒ ＝ π２ × ８，所以ｒ ＝ ２ ｃｍ，所以圆锥的表面积即侧面 积Ｓ侧面积＝ πｒｌ ＝ ２ × ８π ＝ １６π（ｃｍ２）． ６． ２　 柱、锥、台的体积 必备知识　 探新知 知识点　 １． Ｓｈ　 ２． １３ Ｓｈ　 ３． １ ３ （Ｓ上＋ Ｓ下＋ Ｓ上·Ｓ槡 下）ｈ　 １ ３ πｈ（ｒ′ ２ ＋ ｒ′ｒ ＋ ｒ２） 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ａ　 （２）Ｄ　 （３）槡７ ３３ π　 （１）设圆锥的底面半径为 ｒ，母线长为ｌ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形                                                                       ， —５４３— KLMN%OPQ １．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． α∥γ Ｂ． α⊥γ Ｃ． α与γ相交但不垂直 Ｄ．以上都有可能 ２．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，二面角Ｄ′ － ＡＢ － Ｄ的 大小是 （　 　 ） Ａ． ９０° Ｂ． ６０° Ｃ． ４５° Ｄ． ３０° ３．如图，在四面体Ｄ － ＡＢＣ中， 若ＡＢ ＝ ＣＢ，ＡＤ ＝ ＣＤ，Ｅ是ＡＣ 的中点，则下列结论正确的是 （　 　 ） Ａ．平面ＡＢＣ⊥平面ＡＢＤ Ｂ．平面ＡＢＤ⊥平面ＢＤＣ Ｃ．平面ＡＢＣ⊥平面ＢＤＥ，且平面ＡＤＣ⊥平面ＢＤＥ Ｄ．平面ＡＢＣ⊥平面ＡＤＣ，且平面ＡＤＣ⊥平面ＢＤＥ ４．已知直线ｌ⊥平面α，则经过ｌ且和α垂直的平面（　 　 ） Ａ．有１个 Ｂ．有２个 Ｃ．有无数个 Ｄ．不存在 ５．如图所示，在三棱锥Ｐ － ＡＢＣ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，平面 ＰＡＣ⊥平面ＰＢＣ． 求证：ＢＣ⊥ＡＣ． 请同学们认真完成练案［４８                                   ］ § ' 简单几何体的再认识 ６． １　 柱、锥、台的侧面展开与面积 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．借助生活中的实物进行演示，理解柱、锥、台的侧面展开， 理解面积的求法． ２．掌握柱、锥、台的表面积的求法． 通过本节的学习，培养学生借助几何直观和空间 想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别 是图形，理解和解决数学问题的素养． )*+,%-.+ 知识点１　 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 　 　 （１）圆柱的底面半径为ｒ，母线长为ｌ，侧面展开图是矩形．如图１： 圆柱的侧面积和表面积公式：Ｓ圆柱侧＝ ２πｒｌ　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ圆柱侧＋ ２Ｓ底面积＝ ２πｒｌ ＋ ２πｒ２　 ． !(% 图１ 　 　 　 　 　 图２ 　 　 　 　 　 图３ （２）圆锥的底面半径为ｒ，母线长为ｌ，侧面展开图是扇形．如图２： 圆锥的侧面积和表面积公式：Ｓ圆锥侧＝ πｒｌ　 　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ圆锥侧＋ Ｓ底面积＝ πｒｌ ＋ πｒ２　 ． （３）圆台的上底面半径为ｒ１，下底面半径为ｒ２，母线长为ｌ，侧面展开图是扇环．如图３： 圆台的侧面积和表面积公式：Ｓ圆台侧＝ π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ　 ，Ｓ表面积＝Ｓ圆台侧＋Ｓ上底面积＋Ｓ下底面积＝ π（ｒ１ ＋ ｒ２）ｌ ＋πｒ２１ ＋πｒ２２　 ． 知识点２　 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 　 　 （１）直棱柱的底面周长为ｃ，高为ｈ．直棱柱的侧面展开图是一些矩形．如图１： 直棱柱的侧面积和表面积公式：Ｓ直棱柱侧＝ ｃｈ　 　 　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ直棱柱侧＋ ２Ｓ底面积． 图１ 　 　 　 　 　 图２ 　 　 　 　 　 图３ （２）正棱锥的底面周长为ｃ，斜高为ｈ′．正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形．如图２： 正棱锥的侧面积和表面积公式：Ｓ正棱锥侧＝ 　 　 　 　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ正棱锥侧＋ Ｓ底面积． （３）正棱台的上底面周长为ｃ１，下底面周长为ｃ２，斜高为ｈ′．正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．如 图３： 正棱台的侧面积和表面积公式：Ｓ正棱台侧＝ 　 　 　 　 ，Ｓ表面积＝ Ｓ正棱台侧＋ Ｓ上底面积＋ Ｓ下底面积． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%r÷z rúz rû<ÿnok`no １．（１）已知圆柱的上、下底面的中心分别为Ｏ１，Ｏ２，过直线Ｏ１Ｏ２ 的平面截该圆柱 所得的截面是面积为８的正方形，则该圆柱的表面积为 （　 　 ） Ａ． １２槡２π Ｂ． １２π Ｃ． ８槡２π Ｄ． １０π （２）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为槡３，则这个圆锥的侧面积为 　 　 　 　 ． （３）圆台的上、下底面半径和高的比为１４４，若母线长为１０，则圆台的表面 积为　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 ABCD １ 　 　 （１）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的３倍，母线长为３，圆台的表面积为 ５７４π，则圆台较小的底面半径为　 　 　 　 ． （２）一个圆柱的底面面积是Ｓ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为 　 　 　 　 ． （３）已知圆锥的侧面积（单位：ｃｍ２）为２π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆 锥的底面半径（单位：ｃｍ）是　 　 　 　 ． 归纳提升： ‘~b»ÔÆ0- …Î １̈ ©»0¾ÄÆv¿ €H¯t#Æ78t Éxžv?»Ømn W¾ÄÆX{j@¿ Bha-@A ． ２̈ ©LM:¹`a? …)7!!¹0º3 -56I ． ３̈ ©pCü:µt: ºt:¹-¿Æ0Ê ÔÆ0'?´µ˜ ™–—œCü+%û -H¯å#Æ:78- .?D‘h4«ï™" ¦¦„…12 ． !(& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%ö÷z öúz öû<ÿnok`no ２．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为９和１５，高是５，求该直四 棱柱的侧面积、表面积． 【分析】　 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 已知棱长均为５，底面为正方形的四棱锥Ｓ － ＡＢＣＤ如图所示， 求它的侧面积、表面积． 归纳提升： ´µt´ºt´¹- ÔÆ0‘I １̈ ©IÆ»-ÔÆ0 B_eÆ-Æ0ªå ． ２̈ ©´µt´ºt´ ¹-ÔÆ0xM%û -¿Æ0r_N#Æ 0-å ． !(' 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%÷z úz û<ÿn!"d`no<­®IJ ３．有一根高为３π，底面半径为１的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁 管上缠绕２圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两 端，求铁丝的最短长度． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 用一张正方形的纸把一个棱长为１的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需 纸的最小面积． 归纳提升： YÁ9¯-‘h59 ‘^+»¿Æ°³Î #˳-YZ¥B% •¦ë-`a?¦¶ F¿ÆS{;bc0 wÆ°³Î#¯&Y Á`a?‘h'?( O;žTý?¦£2 uj§jž?¶FÒ ÓGnx™´?4[ BÃb#^+`ab c0wÆ^+`a- », ． KLMN%OPQ １．以边长为１的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该 正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ２π Ｂ． π Ｃ． ２ Ｄ． １ ２．已知正六棱柱的高为ｈ，底面边长为ａ，则它的全面积 为 （　 　 ） Ａ． ３槡３ａ２ ＋ ６ａｈ Ｂ．槡３ａ２ ＋ ６ａｈ Ｃ． ４槡３ａ２ ＋ ６ａｈ Ｄ． ３槡３２ ａ ２ ＋ ６ａｈ ３．若正四棱台的上、下底面边长分别为１，２，斜高为３， 则该正四棱台的侧面积的和为 （　 　 ） Ａ． ５ Ｂ． ７ Ｃ． １８ Ｄ． ３６ ４．已知棱长为１，各面都是正三角形的四面体，则它的 表面积是　 　 　 　 ． ５．已知一块正方形薄铁片的边长为８ ｃｍ，以它的一个顶 点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形 （如图），若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则 这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？ 请同学们认真完成练案［４９                       ］ !((