第4章 三角恒等变换 章末梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

118 章末梳理 知识结构理脉络 rsin'a+cos'a=1 同角三角函数基本关系式 tan a=sin a eos a cos(a+B)=cos acos B-sin asin B cos(a -B)=cos acos B+sin asin B sin(a+B)=sin acos B+cos asin B sin(a-B)=sin acos B-cos asin B 两角和与差的余弦、正弦及正切公式an(c+B)=-nanB tan a+tan B tan(a-B)=+tan atan B tan a-tan B (akm+受Bkm+受a±B≠km+受keZ) tasin a+beos a=√a+bsin(a+p） 辅助角公式 b cos = √a+b [c aw B-cw(a+B)+o(a-B)] sin asin B=-Hes(a+B)-cs(a-B)] 三角恒等变换 sin acos B=sin(a+B)+sin(aB)] asan月=sn(a+g)-sin（a-g] 积化和差与和差化积公式 血g+imy=2anm号分 sm-血y=2asn分 s-sy=-2nn分 2 sin 2a =2sina cos a 二倍角公式 cos 2a cos'a sin'a =2cos'a-1 =1 -2sin'a tan 24= 2tan a 1-tan'a sin 2 =土 1-cos o 2 半角公式{cos 1 cos a 3 a tan 1 cos a sin a 1-cos a 2 1 cos a 1 +cos a sin a e119 考点整合提技能 ●题型一同角三角函数基本关系式的应用 归纳提升： 例1(1)者血4：专则的值为 4 同角三角函戴的基本 关系式的应用主要有 以下几个方面： (2)已知0e(0,m),i血0+s0=5,-1,则m0的值为 (1)已知某角的一个 2 三角函数值，求其余 的三角盖戴值. (3)化简1-2sin20°·c0s20 (2)化简三角函最式 (3)证明三角恒等式 sin160°-/1-sin220 在应用两个基本关系 式时。注意的儿点 ①利用sina+cosa =1可以实现角a的 正弦、余弦的互化 ②利用g=an& cos a 可以实现角α的弦切 互化 3应用公式时注意方 程思想的应用：对于 sina+csa,sinx· csa,sina-c0sa这 三个式子，利用 (sina±cosa)2=1± 2 sin ac0sa,可以知 一求二 ④注意公式逆用及变形 应用：1=sina+%2a, sin'a =1 -cos'a,cos'a 1-sin'o. 归纳提升： 和差角公式的应用 技巧 ◆[归纳提升] (1)要注意公式的正 用、迁用及变形应 ●题型二两角和与差的三角函数公式的应用 用，尤其是公式的逆 用，要求能正确地我 例 2.(1)已知角α：的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按 出所给式子与公式左 右的异同 积板创 造茶件逆用公式 顺时针方向旋转石后经过点(-3,4)，则0sa= (） (2)注意拆角，奏角 的技巧，将未知角 A.33+4 B4-33 c33-4 D.-33+4 已和角表示出来， 使 之能直接运用公式 10 10 10 10 (3)注意常值代换 用某些三角虽数值代 (2)已知0<a<受.-号<B<0,ina=合msB=专，则sim(a+B)的值是 T 5 替某些常最，使之代 换后能运用相关公 式 特别是“1”的代 ( 换。如1=sina+ B.56 65 c.-05 n.治 cos2a,l=sin90°，2 3 cos 60 =sin 60 (3)已知ama和am牙-a是方程ax2+b低+e=0的两个根，则a,6c的关系 2 是 等.再加：0.分.号 22' A.b=a+c B.2b=a+c C.c=6 +a D.c=ab 等均可视为来个特 殊角的三角函薮值。 [归纳提升] 从而将常数换为三角 数使用. 120 ●题型三 积化和差与和差化积公式 归纳提升： 积化和麦与和差化积 例入求下列各式的值： 公式的应用技巧 (1)和差化积公式必 (1)已知cos(a-B)=-2,cos(a+B)=3,求cos ceosB,sin csin B的值： 须是一次同名三角图 数方可花行，若是异 (2)求m40（1+2co402的值 名，则士须用诱导公 2c0s40°+c0s40°-1 式化为同名：若是高 次函数，则出须用降 常公式降为一次. (2)选用公式应从以 下几个方面考虑：运 用公式之后，能否出 现特殊角：运用公式 之后，能否提取公因 式.能否约分，能否 并项或消项：运用公 式之后，能否使三南 函最式结构更加简 单，各种关系更加明 显。从而为下一多选 用公式进行变换创造 茶件. (3)把某些常数当作三 角函数值应用公式 一[归纳提升] ●题型四二倍角公式与半角公式 归纳提升： 半角、倍角公式的应 用技巧 例4()已知ae(号，2sn2a=1-s2a,则um受- (1)对公式进行灵 应用，正用、遵用、 A.-5+3 B5-3 G.1-5 D.-5+1 变形应用都要准痛典 2 2 2 2 鳞。如公式的逆用： 2sin xcos x sin 2x, (2)求解下列问题： sin xcos x=2 sin 2x, ①求证：sin2a= 1+tan'acos 2a=I-tan'a 2tan o I+tan'a cos'x sin'x cos 2x, ②已知ae(,）ma=m号=宁求m(号+p 2tanc=tan2a,再 1-tan'a 扣变形应用0sx= 1 +cos 2x 2 sin'x 1-c02红（停家公 2 式)，1+c0s2x= 2cos'x,I cos 2x 2sinx(升黑公式). (2)二倍角余弦公式 有三种形式在应用 时要注意选择合适的 形式。和 1+cos2.x→1+2eost -1,1-cos2x台1- (1-2sin'x), C052x ●[归纳提升] cosr-sin→ c0s2x-sim2等. cos a-sin x 素养等级测评 请同学们认真完成考案（三）章末梳理 考点整合　 提技能 例１：（１）６或－ ３４ 　 （２） 槡－ ３　 （３）见解析 【解析】　 （１）因为ｓｉｎ Ａ ＝ ４５ ＞ ０，所以Ａ是第一或第二象 限角． 当Ａ是第一象限角时，ｃｏｓ Ａ ＝ １ － ｓｉｎ２槡 Ａ ＝ ３５ ，所以 ５ｓｉｎ Ａ ＋ ８ １５ｃｏｓ Ａ － ７ ＝ ５ × ４５ ＋ ８ １５ × ３５ － ７ ＝ ６； 当Ａ是第二象限角时，ｃｏｓ Ａ ＝ － １ － ｓｉｎ２槡 Ａ ＝ － ３５ ， 所以５ｓｉｎ Ａ ＋ ８１５ｃｏｓ Ａ － ７ ＝ ５ × ４５ ＋ ８ １５ × －( )３５ － ７ ＝ － ３４ ． （２）方法一：将ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝槡３ －１２ 两边平方，得１ ＋２ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ １ －槡３２ ，即ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ －槡 ３ ４ ，易知θ≠ π ２ ． 故ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ｓｉｎ２θ ＋ ｃｏｓ２θ ＝ ｔａｎ θ ｔａｎ２θ ＋ １ ＝ －槡３４ ， 解得ｔａｎ θ 槡＝ － ３或ｔａｎ θ ＝ －槡３３ ． ∵ θ∈（０，π），ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ －槡３４ ＜ ０，∴ θ∈ π ２ ，( )π ，由ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝槡３ － １２ ＞ ０可知ｓｉｎ θ ＞ － ｃｏｓ θ，即｜ ｓｉｎ θ ｜ ＞ ｜ ｃｏｓ θ ｜，故θ ∈ π２ ， ３π( )４ ，则ｔａｎ θ ＜ － １，∴ ｔａｎ θ 槡＝ － ３． 方法二：本题若利用ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ与ｓｉｎ θｃｏｓ θ之间的关系， 则会得到更为简捷的解法． 由ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝槡３ － １２ 　 ①，得ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ －槡 ３ ４ ＜ ０， 又θ∈（０，π），∴ ｓｉｎ θ ＞ ０，ｃｏｓ θ ＜ ０，∴ ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＞ ０． 又（ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ）２ ＝１ －２ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝１ ＋槡３２ ＝ （槡３ ＋１）２ ４ ， ∴ ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝槡３ ＋１２ 　 ②． 联立①②解得ｓｉｎ θ ＝槡３２ ，ｃｏｓ θ ＝ － １ ２ ，∴ ｔａｎ θ 槡＝ － ３． （３）原式＝ ｃｏｓ ２２０° － ２ｓｉｎ ２０°ｃｏｓ ２０° ＋ ｓｉｎ２槡 ２０° ｓｉｎ（１８０° － ２０°）－ ｃｏｓ ２０° ＝ ｜ ｃｏｓ ２０° － ｓｉｎ ２０° ｜ｓｉｎ ２０° － ｃｏｓ ２０° ＝ ｃｏｓ ２０° － ｓｉｎ ２０° ｓｉｎ ２０° － ｃｏｓ ２０° ＝ － １． 例２：（１）Ｄ　 （２）Ｃ　 （３）Ｃ　 （１）由三角函数的定义可知 ｃｏｓ α － π( )６ ＝ － ３（－ ３）２ ＋ ４槡 ２ ＝ － ３ ５ ， ｓｉｎ α － π( )６ ＝ ４（－ ３）２ ＋ ４槡 ２ ＝ ４ ５ ． ∴ ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ α － π( )６ ＋ π[ ]６ ＝ ｃｏｓ α － π( )６ ｃｏｓ π６ － ｓｉｎ α － π( )６ ·ｓｉｎ π６ ＝ －( )３５ ×槡３２ － ４５ × １２ ＝ － 槡３ ３ ＋ ４１０ ． （２）因为０ ＜ α ＜ π２ ，－ π ２ ＜ β ＜ ０，ｓｉｎ α ＝ ５ １３，ｃｏｓ β ＝ ４ ５ ． ∴ ｃｏｓ α ＝ １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ １２１３，ｓｉｎ β ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 β ＝ － ３ ５ ． ∴ ｓｉｎ（α ＋ β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ β ＝ ５１３ × ４ ５ ＋ １２ １３ × －( )３５ ＝ － １６６５ ． （３）ｔａｎ α ＋ ｔａｎ π４ －( )α ＝ － ｂａ ，ｔａｎ αｔａｎ π４ －( )α ＝ ｃａ ． ∴ ｔａｎ π４ ＝ ｔａｎ α ＋ π ４ －( )[ ]α ＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ π４ －( )α １ － ｔａｎ αｔａｎ π４ －( )α ＝ － ｂａ １ － ｃａ ＝ １． ∴ － ｂａ ＝ １ － ｃ ａ ，∴ － ｂ ＝ ａ － ｃ，即ｃ ＝ ａ ＋ ｂ． 例３：（１）ｃｏｓ αｃｏｓ β ＝ １２ ［ｃｏｓ（α ＋ β）＋ ｃｏｓ（α － β）］＝ １ ２ × １ ３ －( )１２ ＝ － １１２， ｓｉｎ αｓｉｎ β ＝ － １２ ［ｃｏｓ（α ＋ β）－ ｃｏｓ（α － β）］＝ － １ ２ × １ ３ ＋( )１２ ＝ － ５１２ ． （２）原式＝ ｓｉｎ ４０° ＋ ２ｓｉｎ ４０°ｃｏｓ ４０° ｃｏｓ ４０° ＋（２ｃｏｓ２４０° － １） ＝ ｓｉｎ ４０° ＋ ｓｉｎ ８０°ｃｏｓ ４０° ＋ ｃｏｓ ８０° ＝ ２ｓｉｎ ６０°ｃｏｓ ２０° ２ｃｏｓ ６０°ｃｏｓ ２０° 槡＝ ｔａｎ ６０° ＝ ３． 例４：（１）Ｄ　 （２）见解析 【解析】　 （１）由２ｓｉｎ ２α ＝ １ － ｃｏｓ ２α 得４ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２ｓｉｎ２α， 又因为α∈ π，３π( )２ ，所以ｓｉｎ α≠０，ｃｏｓ α≠０， 所以ｓｉｎ α ＝ ２ｃｏｓ α， 又ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，联立得 ｓｉｎ α ＝ － 槡２ ５５ ， ｃｏｓ α ＝ －槡５５ { ． 所以ｔａｎ α２ ＝ ｓｉｎ α２ ｃｏｓ α２ ＝ ｓｉｎ α２ ｃｏｓ α ２ ｃｏｓ２ α２ ＝ １ ２ ｓｉｎ α １ ＋ ｃｏｓ α ２ ＝ ｓｉｎ α１ ＋ ｃｏｓ α ＝ －槡５ ＋ １２ ． （２）①证明：ｓｉｎ ２α ＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ２ｔａｎ α １ ＋ ｔａｎ２α ， ｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ２α － ｓｉｎ２α ＝ ｃｏｓ ２α － ｓｉｎ２α ｃｏｓ２α ＋ ｓｉｎ２α ＝ １ － ｔａｎ ２α １ ＋ ｔａｎ２α ． ②α∈ π，３π( )２ ，则α２ ∈ π２ ，３π( )４ ，由ｃｏｓ α ＝ ２ｃｏｓ２ α２                                                                       － １ ＝ —９２３— － ５１３，解得ｃｏｓ α ２ ＝ － ２ 槡１３ ， 所以ｓｉｎ α２ ＝ １ － ｃｏｓ ２ α槡 ２ ＝ ３槡１３， 因为ｔａｎ β２ ＝ １ ２ ， 由①得ｓｉｎ β ＝ ２ｔａｎ β２ １ ＋ ｔａｎ２ β２ ＝ １ １ ＋ １４ ＝ ４５ ，ｃｏｓ β ＝ １ － ｔａｎ２ β２ １ ＋ ｔａｎ２ β２ ＝ ３５ ， 所以ｃｏｓ α２ ＋( )β ＝ ｃｏｓ α２ ｃｏｓ β － ｓｉｎ α２ ｓｉｎ β ＝ － ２槡１３ × ３ ５ － ３ 槡１３ × ４５ ＝ － １８ 槡５ １３ ＝ － 槡１８ １３６５ ． 第五章　 复数 § １　 复数的概念及其几何意义 １． １　 复数的概念 必备知识　 探新知 知识点１　 ２．实数（ｂ ＝ ０）　 知识点２　 １． ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ 关键能力　 攻重难 例１：（１）Ｂ　 （２） 槡± ２，５　 （３）见解析 【解析】　 （１）对于①，当ｚ∈Ｒ时，ｚ２≥０成立，否则不成立， 如ｚ ＝ ｉ，ｚ２ ＝ － １ ＜ ０，所以①为假命题； 对于②，２ｉ － １ ＝ － １ ＋ ２ｉ，其虚部为２，不是２ｉ，所以②为假命 题； 对于③，２ｉ ＝ ０ ＋ ２ｉ，其实部是０，所以③为真命题． （２）由题意得：ａ２ ＝ ２，－（２ － ｂ）＝ ３， 所以ａ 槡＝ ± ２，ｂ ＝ ５． （３）①由于ｘ，ｙ都是复数，故ｘ ＋ ｙｉ不一定是代数形式，因此 不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题． ②当ａ ＝ ０时，ａｉ ＝ ０为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 对点训练１：③　 ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中 又分为纯虚数和非纯虚数． ②错，只有当ｍ，ｎ∈Ｒ时，才能说复数ｚ ＝ ３ｍ ＋ ２ｎｉ的实部与 虚部分别为３ｍ，２ｎ． ③正确，复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）为纯虚数的条件是ｘ ＝ ０且 ｙ≠０，只要ｘ≠０，则复数ｚ一定不是纯虚数． ④错，只有当ａ∈Ｒ，且ａ≠ － ３时，（ａ ＋ ３）ｉ才是纯虚数． 例２：（１）当ｚ是实数时，应有ｍ ２ － ２ｍ － ８ ｍ ＝ ０， 即ｍ ２ － ２ｍ － ８ ＝ ０， ｍ≠０{ ， 解得ｍ ＝ ４或－ ２． （２）当ｚ是虚数时，应满足ｍ ２ － ２ｍ － ８ ｍ ≠０， 即ｍ ２ － ２ｍ － ８≠０， ｍ≠０{ ， 因此ｍ≠４，且ｍ≠ － ２，且ｍ≠０． （３）当ｚ是纯虚数时，应满足 ｍ２ － ２ｍ ＝ ０， ｍ２ － ２ｍ － ８ ｍ ≠０ { ， 解得ｍ ＝ ２． 对点训练２：（１）ｚ ＝（ｍ２ － ｍ － ６）＋（ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）ｉ是实数， 则ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０，解得ｍ ＝ － ２或ｍ ＝ － ３． （２）ｚ ＝ （ｍ２ － ｍ － ６）＋ （ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６）ｉ是纯虚数，则 ｍ２ － ｍ － ６ ＝ ０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６≠０{ ，解得ｍ ＝ ３． 例３：设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ且ｂ≠０）代入（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ， 整理得（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｂｉ － ３ｉ， 由复数相等的充要条件得３ｘ － １０ ＝ ０， １ ＝ ｂ － ３{ ，解得ｘ ＝ １０ ３ ， ｂ ＝ ４ { ， ∴ ｘ ＝ １０３ ，ｙ ＝ ４ｉ． 对点训练３：（１）Ｃ　 （２）－ １　 （１）易知４ － ３ａ ＝ ａ ２， － ａ２ ＝ ４ａ{ ，解得ａ ＝ － ４． （２）∵ ｚ ＝ ０，∴ ａ ＋ １ ＝ ０， ａ２ － １ ＝ ０{ ，解得ａ ＝ － １． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 （ 槡１ ＋ ３）ｉ可看作０ ＋（ 槡１ ＋ ３）ｉ ＝ ａ ＋ ｂｉ， 所以实部ａ ＝ ０，虚部ｂ 槡＝ １ ＋ ３． ２． Ｃ 　 因为复数ｚ ＝ ａ２ － ４ ＋ （ａ － ２）ｉ 为纯虚数，则有 ａ２ － ４ ＝ ０， ａ － ２≠０{ ，解得ａ ＝ － ２，所以实数ａ的值为－ ２．故选Ｃ． ３． － ２３ 　 由条件知 ｍ（ｍ ＋ ４） ｍ － １ ＝ ｍ ＋ ２，∴ ｍ ２ ＋ ４ｍ ＝ ｍ２ ＋ ｍ － ２， ∴ ｍ ＝ － ２３ ． ４． － ３　 ∵ ｚ ＜ ０，∴ ｍ ２ － ９ ＝ ０ ｍ{ ＋ １ ＜ ０ ，∴ ｍ ＝ － ３． ５．由ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０得，ｍ ＝ － ２或ｍ ＝ － ３，由ｍ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０ 得ｍ ＝ ５或ｍ ＝ － ３． （１）当ｍ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０时，复数ｚ为实数，∴ ｍ ＝ ５或－ ３． （２）当ｍ２ － ２ｍ － １５≠０时，复数ｚ为虚数， ∴ ｍ≠５且ｍ≠ － ３． （３）当ｍ ２ － ２ｍ － １５≠０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０{ ． 时，复数ｚ是纯虚数，∴ ｍ ＝ － ２． （４）当ｍ ２ － ２ｍ － １５ ＝ ０， ｍ２ ＋ ５ｍ ＋ ６ ＝ ０{ ． 时，复数ｚ是０，∴ ｍ ＝ － ３． １． ２　 复数的几何意义 必备知识　 探新知 知识点１　 实轴　 虚轴 知识点２　 一一对应　 一一对应　 （ａ，ｂ） 知识点３　 （１）模　 （２） ａ２ ＋ ｂ槡 ２ 知识点４　 相等　 相反数　 ａ － ｂｉ 关键能力　 攻重难 例１：（１）由题意得复数ｚ满足ｍ ２ － ５ｍ ＋ ６ ＝ ０， ｍ２ － ３ｍ{ ＋ ２ ＝ ０ 时，                                                                       表示的 —０３３—