第4章 1 同角三角函数的基本关系(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

第四章 　 三角恒等变换 § ! 同角三角函数的基本关系 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．同角三角函数基本关系式的推导及应用． ２．同角三角函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数 值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论． 通过同角三角函数式的推导及应用，重 点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学 运算素养． )*+,%-.+ 知识点１　 同角三角函数的基本关系式 关系 符号表示 文字表示 平方关系 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于１　 商数关系 ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α 同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切　 知识点２　 同角三角函数基本关系式的变形公式 　 　 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １的变形公式有：ｓｉｎ２α ＝ １ － ｃｏｓ２α；ｃｏｓ２α ＝ １ － ｓｉｎ２α． /012%345 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●678%xJZTQË/Ûjsv 　 　 角度１　 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 １．（１）已知ｓｉｎ α ＝ １５ ，求ｃｏｓ α，ｔａｎ α的值； （２）已知ｃｏｓ α ＝ － ３５ ，求ｓｉｎ α，ｔａｎ α的值． 【分析】　 已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符 号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值 即可． ［归纳提升］ 归纳提升： pLF{w@¿ ｓｉｎ α ＝ ± １ － ｃｏｓ２槡 α和 ｃｏｓ α ＝ ± １ － ｓｉｎ２槡 α '?%G…(O[` [-nB?VG[` [-¢µBj α Óp -.q?ÏÐj α Ó p-.qB˜™-? ôâ§j9:p_e .q-K[gVG[ `[ ÏÐj α Óp -.qBï™-?ô „ … â . q ù ú E‰ ． "*& 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　〉 ABCD １ 　 　 （１）已知α是第三象限的角，ｃｏｓ α ＝ － １２１３，则ｓｉｎ α ＝ （　 　 ） Ａ． ５１３ Ｂ． － ５ １３ Ｃ． ５ １２ Ｄ． － ５ １２ （２）已知ｔａｎ α ＝ ２ ０ ＜ α ＜ π( )２ ，则ｓｉｎ α ＝ （　 　 ） Ａ．槡５５ Ｂ． － 槡 ２ ５ ５ Ｃ． － 槡５ ５ Ｄ． 槡２ ５ ５ 　 　 角度２　 利用弦切互化求值 ２．已知ｔａｎ αｔａｎ α － １ ＝ ２，求下列各式的值： （１）２ｓｉｎ α － ３ｃｏｓ α４ｓｉｎ α － ９ｃｏｓ α； （２）２ｓｉｎ ２α － ３ｃｏｓ２α ４ｓｉｎ２α － ９ｃｏｓ２α ； （３）４ｓｉｎ２α － ３ｓｉｎ αｃｏｓ α － ５ｃｏｓ２α． 【分析】　 所求式子都是关于ｓｉｎ α、ｃｏｓ α的分式齐次式（或可化为分式齐次式），将 其分子、分母同除以ｃｏｓ α的整数次幂，就把所求式子用ｔａｎ α表示，因此可先由已知条 件求ｔａｎ α的值，再求各式的值． ［归纳提升］ 〉 ABCD ２ 　 　 已知ｔａｎ α ＝ － １２ ，求下列各式的值： （１）ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α； （２）ｃｏｓ α － ５ｓｉｎ α３ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α； （３）ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ２α ＋ １ ； （４）２ｓｉｎ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α． 归纳提升： ˜™j α -[‡¥? ‘é ｓｉｎ α和ｃｏｓ α£ X-Z:Ÿ-¥?£ X-Z:ŸP¦Bê ŸØٟʭŸØ ٟ ． １̈ ©žÏ ａｓｉｎ Ì ＋ ｂｃｏｓ Ì ｃｓｉｎ Ì ＋ ｄｃｏｓ Ì -êŸ?]Ãêmt êH›'‚^ ｃｏｓ α； žÏ ａｓｉｎ２ Ì ＋ ｂｓｉｎ Ì ｃｏｓ Ì ＋ ｃｃｏｓ２ Ì ｄｓｉｎ２ Ì ＋ ｅｓｉｎ Ì ｃｏｓ Ì ＋ ｆｃｏｓ２ Ì -êŸ?]Ãêmt êH›'‚^ ｃｏｓ２α， Ã[tA@bc0[ ‡?zD‘¥ ． （２） ž Ï ａｓｉｎ２α ＋ ｂｓｉｎ α ｃｏｓ α ＋ ｃｃｏｓ２α -Ÿm?]ÃîÕX êH0 １ -êŸ?¡ à １ Ož0 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α，bc0žÏ ａｓｉｎ２ Ì ＋ ｂｓｉｎ Ì ｃｏｓ Ì ＋ ｃｃｏｓ２ Ì ｓｉｎ２ Ì ＋ ｃｏｓ２ Ì -ꟑh ． "*' 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67E%HTÜGj<g† ３．化简下列各式： （１）槡１ － ２ｓｉｎ １０°ｃｏｓ １０° ｓｉｎ １０° － １ － ｓｉｎ２槡 １０° ； （２） ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α· ｔａｎ α － ｓｉｎ α ｔａｎ α ＋ ｓｉｎ槡 α． 【分析】　 （１）把二次根式中的被开方式化为完全平方式． （２）切化弦，将式子统一成正弦、余弦的表达式，再进一步化简． ［归纳提升］ 〉 ABCD ３ 　 　 化简ｃｏｓ α １ ＋ ｓｉｎ α１ － ｓｉｎ槡α ＋ ｓｉｎ α １ ＋ ｃｏｓ α１ － ｃｏｓ槡 α π ＜ α ＜ ３π( )２ 得 （　 　 ） Ａ． － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α － ２ Ｂ． ２ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α Ｃ． ｓｉｎ α － ｃｏｓ α Ｄ． ｃｏｓ α － ｓｉｎ α 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●67H%HTŒj<Ž ４．求证：ｔａｎ αｓｉｎ αｔａｎ α － ｓｉｎ α ＝ ｔａｎ α ＋ ｓｉｎ α ｔａｎ αｓｉｎ α ． 【分析】　 思路一　 右式分子分母同乘以ｔａｎ α － ｓｉｎ α → 由右式向 左式转化 思路二　 左右两式切化弦→整理化简得证 ［归纳提升］ 归纳提升： §j9:Ÿ-cì& 2X¦F-I １̈ ©c‡0@?6_ 6[@t6A@-9 :QcX[@tA@ 9:?zD:‰9: t/? … d c ì - Â- ． ¨ ２ ©LMVR´[ -?¦_´[¼Ÿm cXIJwŸ?> ´[? … d c ì - Â- ． （３） LMcìVÉÙ -§j9:Ÿ?ÅÅ abM»Ÿêh?Ê £2 ｓｉｎ２ Ì ＋ ｃｏｓ２ Ì ＝ １，̂ ÐÊ9:Ù:? …dcì-Â- ． 归纳提升： ¶F›j§j9:- ¤Ž@¿JK§jw xŸI6¦I?î ’…IRá １̈ ©z}€~êiÊ z~€}êi?% é|dì ． ２̈ ©}~%?6J K}~³{QxM› %eŸm ． ３̈ ©cu0›I?6 ÛLaýrˆ‰#- «u? R Û L € O ž?^‚«u ． ４̈ ©OxyaI?Ï …JK ａ ｂ ＝ ｃ ｄ?]J ａｄ ＝ ｂｃ Ê J ｄ ｂ ＝ ｃ ａx． ５̈ ©š›I?6ýI JK!}{ － ~{ ＝ ０ 3Ê! }{ ~{ ＝ １ 3 ． "*( 〉 ABCD ４ 　 　 求证： ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α· ｃｏｓ αｔａｎ α １ ＋ ｃｏｓ α ＝ １． ●67]%ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θHÝ</۔'Þßà<’J 　 　 ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ三者的关系： （１）对于三角函数式ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ之间的关系，可以通过（ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ）２ ＝ １ ± ２ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ进行转化． （２）若已知ｓｉｎ θ ± ｃｏｓ θ，ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得 ｓｉｎ θ，ｃｏｓ θ的值，从而求出其余的三角函数值． ５．已知ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ １２ （０ ＜ θ ＜ π），求ｓｉｎ θｃｏｓ θ和ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ的值． ［归纳提升］ 归纳提升： ph§j9:`a' …(OaÂX-zV –—?Ža\B*+ ,FÙw@¿?1 2‘+ ｓｉｎ θ·ｃｏｓ θ ? L`aÑh ． 〉 ABCD ５ 　 　 已知ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α ＝ｍ，求ｓｉｎ３α ＋ ｃｏｓ３α的值． "*) KLMN%OPQ １．已知ｔａｎ α ＝ ３，α∈ ０，π( )２ ，则ｃｏｓ α ＋ π( )２ 的值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． － ３槡１０１０ Ｂ． ３槡１０ １０ Ｃ． －槡１０１０ Ｄ．槡 １０ １０ ２．已知ｔａｎ α ＝ － ３，则ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ （　 　 ） Ａ． ５２ Ｂ． １ ４ Ｃ． － ５４ Ｄ． － ７ ２ ３．已知ｓｉｎ α ＝ － ３５ ，α为第四象限角，则ｔａｎ α ＝ （　 　 ） Ａ． － ４３ Ｂ． ４ ３ Ｃ． － ３４ Ｄ． ３ ４ ４．化简１ － ｓｉｎ２槡 ４４０° ＝ 　 　 　 　 ． ５．求证：２（１ － ｓｉｎ α）（１ ＋ ｃｏｓ α）＝（１ － ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）２ ． 请同学们认真完成练案［２８                               ］ § # 两角和与差的三角函数公式 ２． １　 两角和与差的余弦公式及其应用 !"#$%&'( 课标要求 核心素养 １．能利用三角函数的定义和向量知识推导出两角和与差的余弦 公式． ２．熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式 进行求值、计算． 在熟知两角和与差的余弦公式的基础 上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理 素养． )*+,%-.+ 知识点　 两角和与差的余弦公式 简记符号 公式 适用条件 Ｃα － β ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β　 Ｃα ＋ β ｃｏｓ（α ＋ β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β　 α，β都是任意角 "** 第四章　 三角恒等变换 § １　 同角三角函数的基本关系 必备知识　 探新知 知识点１　 １　 正切 关键能力　 攻重难 例１：（１）∵ ｓｉｎ α ＝ １５ ＞ ０，∴ α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，ｃｏｓ α ＝ １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ １ － １槡２５ ＝ 槡２ ６ ５ ，ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝槡６１２； 当α为第二象限角时，ｃｏｓ α ＝ － 槡２ ６５ ，ｔａｎ α ＝ －槡 ６ １２ ． （２）∵ ｃｏｓ α ＝ － ３５ ＜ ０，∴ α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，ｓｉｎ α ＞ ０，ｔａｎ α ＜ ０， ∴ ｓｉｎ α ＝ １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ １ － －( )３５槡 ２ ＝ ４５ ，ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － ４３ ； 当α是第三象限角时，ｓｉｎ α ＜ ０，ｔａｎ α ＞ ０， ∴ ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １ － －( )３５槡 ２ ＝ － ４５ ，ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ４３ ． 对点训练１：（１）Ｂ　 （２）Ｄ　 （１）∵ α是第三象限的角， ∴ ｓｉｎ α ＝ － １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ － １ － － １２( )１３槡 ２ ＝ － ５１３ ．故选Ｂ． （２）由ｔａｎ α ＝ ２，则ｓｉｎ α ＝ ２ｃｏｓ α，又ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １， 结合０ ＜ α ＜ π２ ，可得ｓｉｎ α ＝ 槡 ２ ５ ５ ．故选Ｄ． 例２：由ｔａｎ αｔａｎ α － １ ＝ ２，得ｔａｎ α ＝ ２． （１）２ｓｉｎ α － ３ｃｏｓ α４ｓｉｎ α － ９ｃｏｓ α ＝ ２ｔａｎ α － ３ ４ｔａｎ α － ９ ． ∵ ｔａｎ α ＝ ２，∴原式＝ ２ × ２ － ３４ × ２ － ９ ＝ － １． （２）２ｓｉｎ ２α － ３ｃｏｓ２α ４ｓｉｎ２α － ９ｃｏｓ２α ＝ ２ｔａｎ ２α － ３ ４ｔａｎ２α － ９ ． ∵ ｔａｎ α ＝ ２，∴原式＝ ２ × ４ － ３４ × ４ － ９ ＝ ５ ７ ． （３）４ｓｉｎ２α － ３ｓｉｎ αｃｏｓ α － ５ｃｏｓ２α ＝ ４ｓｉｎ ２α － ３ｓｉｎ αｃｏｓ α － ５ｃｏｓ２α １ ＝ ４ｓｉｎ ２α － ３ｓｉｎ αｃｏｓ α － ５ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ４ｔａｎ ２α － ３ｔａｎ α － ５ ｔａｎ２α ＋ １ ． ∵ ｔａｎ α ＝ ２，∴原式＝ ４ × ４ － ３ × ２ － ５４ ＋ １ ＝ １． 对点训练２：（１）ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ － １ ２ ， ∴ ｃｏｓ α ＝ － ２ｓｉｎ α． 又ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １，∴ ｓｉｎ２α ＋ ４ｓｉｎ２α ＝ １， ∴ ｓｉｎ２α ＝ １５ ，∴ ｓｉｎ α ＝ ±槡 ５ ５ ． ∵ ｔａｎ α ＝ － １２ ＜ ０，∴ α为第二，四象限角 当α为第二象限角时，ｓｉｎ α ＝槡５５ ，ｃｏｓ α ＝ － 槡 ２ ５ ５ ， ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ － 槡３ ５５ ， 当α为第四象限角时，ｓｉｎ α ＝ －槡５５ ，ｃｏｓ α ＝ 槡 ２ ５ ５ ， ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α ＝ 槡３ ５５ ． （２）ｃｏｓ α － ５ｓｉｎ α３ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α ＝ １ － ５ｔａｎ α ３ ＋ ｔａｎ α ＝ １ － ５ × －( )１２ ３ － １２ ＝ ７５ ． （３）ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ２α ＋ １ ＝ ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α － ３ｃｏｓ２α ５ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ２ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ ｔａｎ ２α － ｔａｎ α － ３ ２ｔａｎ２α ＋ ５ｔａｎ α ＋ １ ＝ －( )１２ ２ － －( )１２ － ３ ２ × －( )１２ ２ ＋ ５ × －( )１２ ＋ １ ＝ ９４ ． （４）２ｓｉｎ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α ＝２ｓｉｎ ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝２ｔａｎ ２α － ｔａｎ α ＋１ ｔａｎ２α ＋１ ＝ ８５ ． 例３：（１）原式＝ （ｃｏｓ １０° － ｓｉｎ １０°）槡 ２ ｓｉｎ １０° － ｃｏｓ２槡１０° ＝ ｜ ｃｏｓ １０° － ｓｉｎ １０° ｜ｓｉｎ １０° － ｃｏｓ １０° ＝ ｃｏｓ １０° － ｓｉｎ １０° ｓｉｎ １０° － ｃｏｓ １０° ＝ － １． （２）原式＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α· ｓｉｎ α ｃｏｓ α － ｓｉｎ α ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ槡 α ＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α ·１ － ｃｏｓ α１ ＋ ｃｏｓ槡α ＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α ·（１ － ｃｏｓ α） ２ １ － ｃｏｓ２槡 α ＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α ·１ － ｃｏｓ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＝ ± １． 对点训练３：Ａ　 ∵ π ＜ α ＜ ３π２ ，∴ ｓｉｎ α ＜ ０，ｃｏｓ α ＜ ０，ｃｏｓ α １ ＋ ｓｉｎ α １ － ｓｉｎ槡α ＋ ｓｉｎ α １ ＋ ｃｏｓ α１ － ｃｏｓ槡α ＝ｃｏｓ α （１ ＋ｓｉｎ α） ２ （１ ＋ｓｉｎ α）（１ －ｓｉｎ α槡 ）＋ｓｉｎ α （１ ＋ｃｏｓ α）２（１ ＋ｃｏｓ α）（１ －ｃｏｓ α槡 ） ＝ ｃｏｓ α （１ ＋ ｓｉｎ α） ２ １ － ｓｉｎ２槡 α ＋ ｓｉｎ α （１ ＋ ｃｏｓ α）２１ － ｃｏｓ２槡 α ＝ ｃｏｓ α· １ ＋ ｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ α·１ ＋ ｃｏｓ α－ ｓｉｎ α ＝ － ｓｉｎ α － １ － ｃｏｓ α － １ ＝ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ α － ２，故选Ａ． 例４：【证明】　 证法一：∵右边＝ ｔａｎ ２α － ｓｉｎ２α （ｔａｎ α － ｓｉｎ α）ｔａｎ αｓｉｎ α ＝ ｔａｎ ２α － ｔａｎ２αｃｏｓ２α （ｔａｎ α － ｓｉｎ α）ｔａｎ αｓｉｎ α ＝ ｔａｎ ２α（１ － ｃｏｓ２α） （ｔａｎ α － ｓｉｎ α）ｔａｎ αｓｉｎ                                                                       α —０２３— ＝ ｔａｎ ２αｓｉｎ２α （ｔａｎ α － ｓｉｎ α）ｔａｎ αｓｉｎ α ＝ ｔａｎ αｓｉｎ α ｔａｎ α － ｓｉｎ α ＝左边， ∴原等式成立． 证法二：∵左边＝ ｔａｎ αｓｉｎ αｔａｎ α － ｔａｎ αｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ α １ － ｃｏｓ α ， 右边＝ ｔａｎ α ＋ ｔａｎ αｃｏｓ αｔａｎ αｓｉｎ α ＝ １ ＋ ｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ １ － ｃｏｓ ２α ｓｉｎ α（１ － ｃｏｓ α）＝ ｓｉｎ２α ｓｉｎ α（１ － ｃｏｓ α）＝ ｓｉｎ α １ － ｃｏｓ α ， ∴左边＝右边，原等式成立． 对点训练４：【证明】　 ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α· ｃｏｓ αｔａｎ α １ ＋ ｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α · ｃｏｓ α·ｓｉｎ αｃｏｓ α １ ＋ ｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ α１ － ｃｏｓ α ·ｓｉｎ α１ ＋ ｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ２α １ － ｃｏｓ２α ＝ ｓｉｎ ２α ｓｉｎ２α ＝１． 例５：因为ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ ＝ １２ （０ ＜ θ ＜ π）， 所以（ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ ＝ １４ ， 即ｓｉｎ２θ ＋ ２ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＋ ｃｏｓ２θ ＝ １４ ， 所以ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＝ － ３８ ． 由上知，θ为第二象限角， 所以ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＞ ０，所以ｓｉｎ θ － ｃｏｓ θ ＝ （ｓｉｎ θ ＋ ｃｏｓ θ）２ － ４ｓｉｎ θｃｏｓ槡 θ ＝ ( )１２ ２ － ４ × －( )槡 ３８ ＝槡７２ ． 对点训练５：由ｓｉｎα ＋ ｃｏｓα ＝ ｍ可得ｓｉｎαｃｏｓα ＝ ｍ ２ － １ ２ ， ∴ ｓｉｎ３α ＋ ｃｏｓ３α ＝ （ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）（ｓｉｎ２α － ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ｃｏｓ２α）＝ ｍ·１ － ｍ ２ － １( )２ ＝ ｍ（３ － ｍ ２） ２ ． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 因为ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ ３， ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ { ，所以ｓｉｎ２α ＝ ９１０，ｃｏｓ２α ＝ １１０，又因 为α∈ ０，π( )２ ，所以ｓｉｎ α ＝ 槡３ １０１０ ，ｃｏｓ α ＝ 槡１０１０ ，所以 ｃｏｓ α ＋ π( )２ ＝ － ｓｉｎ α ＝ － 槡３ １０１０ ，故选Ａ． ２． Ｂ　 由题意ｔａｎ α ＝ － ３，可知ｃｏｓ α≠０，则ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ αｓｉｎ α － ｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α ＋ ２ ｔａｎ α － １ ＝ － ３ ＋ ２－ ３ － １ ＝ １ ４ ，故选Ｂ． ３． Ｃ 　 由于α为第四象限角，所以ｃｏｓ α ＞ ０，从而ｃｏｓ α ＝ １ － ｓｉｎ２槡 α ＝ ４５ ，所以ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ － ３４ ，故选Ｃ． ４． ｃｏｓ ８０° 　 原式＝ １ － ｓｉｎ２（３６０° ＋ ８０°槡 ）＝ １ － ｓｉｎ２槡 ８０° ＝ ｃｏｓ２槡８０° ＝ ｜ ｃｏｓ ８０° ｜ ＝ ｃｏｓ ８０°． ５．【证明】　 证法一：左边＝ ２ － ２ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α － ２ｓｉｎ α ｃｏｓ α ＝ １ ＋ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＋ ２（ｃｏｓ α － ｓｉｎ α）＝ １ ＋ ２（ｃｏｓ α － ｓｉｎ α）＋（ｃｏｓ α － ｓｉｎ α）２ ＝（１ － ｓｉｎ α ＋ ｃｏｓ α）２ ＝右边． 所以原式成立． 证法二：左边＝ ２ － ２ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α， 右边＝ １ ＋ ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α － ２ｓｉｎ α ＋ ２ｃｏｓ α － ２ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ２ －２ｓｉｎ α ＋２ｃｏｓ α －２ｓｉｎ αｃｏｓ α．故左边＝右边．所以原式成立． 证法三：令１ － ｓｉｎ α ＝ ｘ，ｃｏｓ α ＝ ｙ，则（ｘ － １）２ ＋ ｙ２ ＝ １，即ｘ２ ＋ ｙ２ ＝２ｘ． 故左边＝２ｘ（１ ＋ ｙ）＝２ｘ ＋２ｘｙ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ２ｘｙ ＝（ｘ ＋ ｙ）２ ＝右边．所 以原式成立． §２　 两角和与差的三角函数公式 ２．１　 两角和与差的余弦公式及其应用 必备知识　 探新知 知识点　 ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β　 ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β 关键能力　 攻重难 例１：（１）槡槡６ － ２４ 　 （２） １ ２ 　 （３） １ ２ 　 （１）ｃｏｓ ７５° ＝ ｃｏｓ（４５° ＋ ３０°）＝ ｃｏｓ ４５°·ｃｏｓ ３０° － ｓｉｎ ４５°·ｓｉｎ ３０° ＝槡２２ ×槡 ３ ２ － 槡２ ２ × １ ２ ＝槡槡６ － ２４ ． （２）原式＝ ｃｏｓ ８３°ｃｏｓ ２３° ＋ ｓｉｎ ８３°ｓｉｎ ２３° ＝ ｃｏｓ（８３° － ２３°） ＝ ｃｏｓ ６０° ＝ １２ ． （３）原式＝ ｃｏｓ ［（α － ３５°）－ （２５° ＋ α）］＝ ｃｏｓ（－ ６０°）＝ ｃｏｓ ６０° ＝ １２ ． 对点训练１：（１）原式＝ ｃｏｓ（４０° ＋ ２０°）＝ ｃｏｓ ６０° ＝ １２ ． （２）原式＝ ｃｏｓ ２π ＋ π( )３ ｃｏｓ ２π － π( )６ (＋ ｓｉｎ π － π )３ ｓｉｎ π － π( )６ ＝ ｃｏｓ π３ ｃｏｓ π ６ ＋ ｓｉｎ π ３ ｓｉｎ π ６ ＝ ｃｏｓ π ３ － π( )６ ＝ ｃｏｓ π６ ＝ 槡３ ２ ． 例２：（１）１６６５ 　 （２）见解析 【解析】　 （１）∵ １８０° ＜ α ＜ ２７０°，∴ ｃｏｓ α ＝ － ３５ ； 又∵ ９０° ＜ β ＜ １８０°，∴ ｃｏｓ β ＝ － １２１３； ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β ＝ －( )３５ × － １２( )１３ ＋ －( )４５ × ５１３ ＝ １６６５ ． （２）∵ π４ ＜ α ＜ ３π ４ ，∴ π ２ ＜ α ＋ π ４ ＜ π， ∴ ｃｏｓ α ＋ π( )４ ＝ － ３５ ， ｃｏｓ α ＝ ｃｏｓ α ＋ π( )４ － π[ ]４ ＝ ｃｏｓ α ＋ π( )４ ·ｃｏｓ π４ (＋ ｓｉｎ α ＋ π )４ ｓｉｎ π４ ＝ － ３５ × 槡２ ２ ＋ ４ ５ × 槡２ ２ ＝ 槡２ １０                                                                      ． —１２３—