7.4.1 二项分布(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A． “依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上”是n重伯努利试验 B．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6) C．某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P) D．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B 解析　A中由于四枚硬币的质地不同，即试验的条件不同，所以该试验不是n重伯努利试验；BC显然满足n重伯努利试验的条件，而D虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义． 答案　BC 2．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝2)＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　P(ξ＝2)＝C24＝. 答案　D 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　) A．C3· B．C2· C．C3· D．C3· 解析　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为P＝C2××＝C3×. 答案　A 4．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为(　　) A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 答案　D 5．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是________． 解析　依题意知，用电单位个数X服从二项分布，且X～B(n，p)，∴E(X)＝np. 答案　np 6．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________. 解析　由E(X)＝30，D(X)＝20，可得 解得p＝. 答案　 7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________． 解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4. 答案　4 8．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 解析　(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜， 则P＝2＋C×××＝. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝. [关键能力·综合提升] 9. (多选题)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　　) A．p＝ B．E(ξ)＝ C．D(η)＝1 D．P(η≥2)＝ 解析　∵P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1， ∴C(1－p)2＋＝1，∴p＝. ∴E(ξ)＝2×＝， D(η)＝3××＝. P(η≥2)＝Cp3＋Cp2(1－p)＝＋＝. 答案　ABD 10．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测：方法一，在10箱中各任意抽查一枚；方法二，在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、方法二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则(　　) A．p1＝p2 B．p1<p2 C．p1>p2 D．以上三种情况都有可能 解析　法一　每箱选中劣币的概率为，则p1＝1－C×0.010×0.9910＝1－10； 法二　所求事件的概率p2＝1－5＝1－5，∴p1<p2. 答案　B 11．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________. 解析　∵X～B(2，p)， ∴P(X＝k)＝Cpk(1－p)2－k，k＝0,1,2. ∴P(X≥1)＝1－P(X＜1)＝1－P(X＝0)＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2， ∴1－(1－p)2＝. 结合0≤p≤1，解之得p＝. 答案　 12．(2024·黔西高二期末)泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k∈N)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．若随机变量X服从二项分布B(n，p)，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即P(X＝k)＝(n∈N*，k∈N)．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则抽到的次品的个数小于2的概率约为__________．参考数据：≈0.37 解析　由已知np＝100×0.01＝1， P(X＝1)＝≈0.37，P(X＝0)＝≈0.37， 所以抽到的次品的个数小于2的概率为P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.37＋0.37＝0.74. 答案　0.74 13．一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是. (1)求这位司机遇到红灯数X的期望与方差； (2)若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y的期望与方差． 解析　(1)易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B， ∴E(X)＝6×＝2， D(X)＝6××＝. (2)由已知Y＝30X， ∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200. [核心价值·探索创新] 14．若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是(　　) A．2 B．3 C．2或3 D．4 解析　P(X＝k)＝Ck6－k＝C6， 又＝＝， 当k<时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)， 当k>时，P(X＝k＋1)<P(X＝k)， ∴当k＝3时，P(X＝k)取得最大值． 答案　B 15．蛟龙号从海底中带回某种生物，甲、乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)若甲、乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率． 解析　 (1)设“甲小组做了三次试验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为P(A)＝C×2×＋C3＝. (2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则 P(B)＝C20C2＋C11·C2＝， 设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则P(C)＝C20·C2＝， 故两个小组试验成功至少3次的概率为 P(B)＋P(C)＝＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$