7.1.2 全概率公式(课件PPT)-【【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 7.1.2　全概率公式 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 目 录 课前案·自主落实 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课前案·自主落实 01 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 导学 全概率公式 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 谢谢观看 返回目录 第七章　随机变量及其分布 数学•选择性必修　第三册(配RJA版) 1 学业标准 素养目标 1．理解全概率公式及其推导过程．(重点) 2．结合古典概型，利用全概率公式求事件的概率．(重点、难点) 1．通过对全概率公式的推导，培养数学抽象等核心素养． 2．通过全概率公式的应用，加强数学运算、逻辑推理数学建模核心素养的培养. 　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、4个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A为“从甲箱里摸出白球”，B为“从乙箱里摸出白球”． (1)试求P(A), P(AB)，P(Aeq \x\to(B))； [提示]　P(A)＝eq \f(3,5)，P(AB)＝eq \f(3×2,5×6)＝eq \f(1,5)，P(Aeq \x\to(B))＝eq \f(3×4,5×6)＝eq \f(2,5). (2)P(A), P(AB)，P(Aeq \x\to(B))有什么关系？ [提示]　P(A)＝ P(AB)＋P(Aeq \x\to(B))． ◎结论形成 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)． 称上面的公式为全概率公式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))．(　　) (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．(　　) (3)P(A)＝P(A|B1)＋P(A|B2)．(　　) (4)P(A)＝P(AB)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))B)．(　　) 答案　(1)√　 (2)√　(3)×　(4)× 2．若P(B)＝0.5，P(Beq \x\to(A))＝0.02，则P(BA)＝(　　) A．0.52　　　　　　　　 B．0.48 C．0.01 D．0.2 解析　P(BA)＝P(B)－P(Beq \x\to(A))＝0.5－0.02＝0.48. 答案　B 3．已知事件A，B满足P(A)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))，P(B)＝0.3，P(B|eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.4，则P(B|A)＝_______. 解析　因为A，eq \o(A,\s\up16(－))互为对立事件且P(A)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))， 所以P(A)＝P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.5， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \o(A,\s\up16(－)))P(B|eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.5×P(B|A)＋0.5×0.4＝0.3， 所以P(B|A)＝0.2. 答案　0.2 4．已知P(A)＝eq \f(3,5)，P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(eq \o(B,\s\up16(－))|eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(2,3)，则P(B)＝_______. 解析　因为P(A)＝eq \f(3,5)， 所以P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)， 因为P(eq \o(B,\s\up16(－))|eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(2,3)， 所以P(B|eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－P(eq \o(B,\s\up16(－))|eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)， 所以由全概率公式可得 P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|eq \o(A,\s\up16(－)))P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(13,30). 答案　eq \f(13,30) 题型一　全概率公式的简单应用 　(1)已知P(eq \x\to(A))＝0.4，P(eq \x\to(B)|A)＝0.6，求P(AB)； (2)已知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.4，P(B|eq \x\to(A))＝0.1，求P(B)和P(A|B)． [解析]　(1)因为P(eq \x\to(A))＝0.4，所以P(A)＝0.6， P(Aeq \x\to(B))＝P(A)P(eq \x\to(B)|A)＝0.6×0.6＝0.36， P(AB)＝P(A)－P(Aeq \x\to(B))＝0.6－0.36＝0.24. (2)由题意可知，P(eq \x\to(A))＝1－0.8＝0.2， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A)) ＝0.8×0.4＋0.2×0.1＝0.34， P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.4＝0.32， 所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(0.32,0.34)＝eq \f(16,17). 解决此类问题，要熟练应用以下公式并且注意各事件间的关系： (1)P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \x\to(B))； (2)条件概率公式和乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)； (3)全概率公式：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))．　 [触类旁通] 1．已知P(eq \x\to(A))＝0.9，P(B|A)＝0.6，P(B|eq \x\to(A))＝0.4，求P(eq \x\to(B))，P(A|B)． 解析　由题意可得P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝0.1， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))＝0.1×0.6＋0.9×0.4＝0.42. P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.1×0.6＝0.06， 所以P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(0.06,0.42)＝eq \f(1,7). 题型二　全概率公式的实际应用eq \a\vs4\al(一题多解) 　已知某公司有甲、乙两个分公司，男女员工人数如下表所示： 公司 男员工人数 女员工人数 甲 240 120 乙 100 40 公司按照分层随机抽样的方法抽取了50名员工组成职工委员会，现从该职工委员会中随机抽取一名员工参加上级工会会议，求该员工为女员的概率． [解析]　法一　由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司的男员工有240×eq \f(50,500)＝24人， 女员工有120×eq \f(50,500)＝12人， 乙分公司的男员工有100×eq \f(50,500)＝10人，女员工有40×eq \f(50,500)＝4人， 用A和eq \x\to(A)分别表示该员工来自甲分公司和乙分公司，用B表示该员工为女员工， 则P(A)＝eq \f(12＋24,50)＝eq \f(18,25)， P(eq \x\to(A))＝eq \f(10＋4,50)＝eq \f(7,25)， 且P(B|A)＝eq \f(12,12＋24)＝eq \f(1,3)， P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(4,10＋4)＝eq \f(2,7)， 由全概率公式可得，该员工为女员工的概率为 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(18,25)×eq \f(1,3)＋eq \f(7,25)×eq \f(2,7)＝eq \f(8,25). 法二　由题意可知，该公司的职工委员会中甲分公司的女员工有120×eq \f(50,500)＝12人， 乙分公司的女员工有40×eq \f(50,500)＝4人，所以共有女员工16人， 用B表示该员工为女员工，则该员工为女员工的概率为P(B)＝eq \f(16,50)＝eq \f(8,25). 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂的事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果．用树状图表示如下： 　 [触类旁通] 2．(2024·三明期末)假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有5件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件． (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 解析　(1)设事件Ai＝“从第i箱中取一个零件”(i＝1,2)， 事件B＝“取出的零件是次品”， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥， 则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(1,2)， 所以P(B|A1)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)， P(B|A2)＝eq \f(5,20)＝eq \f(1,4)， 所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(9,40)， 所以取出的零件是次品的概率为eq \f(9,40). (2)取出的是次品是从第一箱取出的概率P(A1|B)＝eq \f(PA1B,PB)＝eq \f(PB|A1PA1,PB)＝eq \f(\f(1,5)×\f(1,2),\f(9,40))＝eq \f(4,9)， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为eq \f(4,9). 题型三　全概率公式与其他知识的交汇的应用 　盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中(新球用后成了旧球)．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率． [解析]　设A表示第二次取出3个球均为新球，Bi为第一次取出3球中有i个新球，i＝0,1,2,3，则 P(B0)＝eq \f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq \f(1,220)，P(B1)＝eq \f(C\o\al(1,9)C\o\al(2,3),C\o\al(3,12))＝eq \f(27,220)， P(B2)＝eq \f(C\o\al(2,9)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq \f(108,220)，P(B3)＝eq \f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,12))＝eq \f(84,220)， P(A|B0)＝eq \f(C\o\al(3,9),C\o\al(3,12))＝eq \f(84,220)，P(A|B1)＝eq \f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,12))＝eq \f(56,220)， P(A|B2)＝eq \f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,12))＝eq \f(35,220)，P(A|B3)＝eq \f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,12))＝eq \f(20,220)， 所以P(A)＝eq \i\su(i＝0,3,P)(Bi)P(A|Bi)＝0.145 8. [素养聚焦] 在应用全概率公式解决实际应用问题时，关键是把实际问题转化为数学问题，即建模，通过解决此类问题着重培养数学建模核心素养. 应用全概率公式计算事件的概率时的注意点 (1)要把所求概率的事件分解为若干个互斥的事件，然后利用互斥事件的性质计算概率； (2)题目没有给出明确概率的大小时，要结合排列组合知识和古典概型计算各事件的概率． (3)注意乘法公式和全概率公式的区别：乘法公式是求“几个事件发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率．　 [触类旁通] 3．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7，飞机被一人击中而击落的概率是0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． 解析　设事件A为飞机被击落，Bi为飞机被i人击落，i＝1,2,3， 所以P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6， P(A|B3)＝1， 且A＝B1A＋B2A＋B3A， 设Hi表示飞机被第i人击落，i＝1,2,3， 可得P(B1)＝P(H1 eq \x\to(H)2 eq \x\to(H)3＋eq \x\to(H)1H2eq \x\to(H)3＋eq \x\to(H)1eq \x\to(H)2H3)＝0.36， P(B2)＝P(H1H2eq \x\to(H)3＋eq \x\to(H)1H2H3＋H1eq \x\to(H)2H3)＝0.41， P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14， 由全概率公式可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458， 即飞机被击落的概率为0.458. 知识落实 技法强化 1．全概率公式． 2．贝叶斯公式. 解题过程中常见出现事件拆分不合理或不全面. $$