7.1.2 全概率公式-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7.1　条件概率与全概率公式 7.1.2　全概率公式 第七章　随机变量及其分布 学习单元3 [学习目标]　1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.　2.理解全概率公式,并会利用全概率公式计算概率.　3.了解贝叶斯公式,并会简单应用. 知识点1　全概率公式 内容索引 知识点2　多个事件的全概率问题 课时作业 巩固提升 知识点3　*贝叶斯公式 课堂达标·素养提升 知识点4　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 3 知识点1　全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且 P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=　　　　　　　　.  我们称上面的公式为　　　　　　.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.  P(Ai)P(B|Ai) 全概率公式 [例1]　设某工厂有两个车间生产同种型号的家用电器,一车间的次品率为0.15,二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库.假设一、二车间生产的成品数量比例为2∶3,现有一客户从成品仓库中随机取一台产品,求该产品合格的概率. [分析]　设Ai表示“取出的一台产品是第i车间生产的”,B表示“取出的一台产品是合格品”,分别写出概率,利用B=A1B∪A2B,根据全概率公式即可求解. [解]　设“取出的一台产品是合格品”为事件B,“取出的一台产品是第i车间生产的”为事件Ai,i=1,2,则B=A1B∪A2B. 由题意得P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88. 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868, 所以从成品仓库中随机取一台产品,该产品合格的概率为0.868. 两个事件的全概率问题求解策略 1.拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). 2.计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. 3.求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 思维提升 1.某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05,求: (1)任取一箱,从中任取一个为废品的概率; (2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率. 跟踪训练 解:记事件A,B分别为“甲厂、乙厂的产品”,事件C为“废品”,则Ω=A∪B,且A,B互斥, (1)由题意,得P(A)==,P(B)==,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05, 由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=. (2)P(A)==,P(B)==, P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05, 由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×+×=. 知识点2　多个事件的全概率问题 [例2]　设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线,现有40个该厂生产的电子元件,其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个,且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为,,,. (1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱,现从中任取1箱,再从中任取1个电子元件,求取到的电子元件是次品的概率. (2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中,再从这40个电子元件中任取1个电子元件,求取到的电子元件是次品的概率. [分析]　(1)借助相互独立事件的概率乘法公式与全概率公式计算即可得; (2)借助全概率公式计算即可得. [解]　(1)记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件A1,A2,A3,A4, “取到的电子元件是次品”为事件B, 由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=, 又P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, P(B|A4)=, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =×+×+×+×=. (2)由题意,得P(A1)==,P(A2)=P(A3)==,P(A4)==, 又P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, P(B|A4)=, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =×+×+×+×=. “化整为零”求多个事件的全概率问题 1.如图,P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 2.已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 思维提升 2.有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 跟踪训练 解:由题意,设“任取一件是i厂的产品”为事件Ai,i=1,2,3,“任取一件是次品”为事件B. 由题意可得,P(A1)=0.3,P(A2)=0.5,P(A3)=0.2, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.01. 由全概率公式可得, P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2×0.01=0.013, 故从这批产品中任取一件是次品的概率是0.013. 知识点3　*贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组　　　 　的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)==,i=1,2,…,n.  两两互斥 [例3]　某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法,把合格品判为“合格品”的概率为0.98,把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当用此验收方法判一产品为“合格品”时,求此产品为合格品的概率. [分析]　记事件A=“一产品经验收判为合格品”,事件B=“一产品为合格品”.将已知概率条件用数学符号表示,再利用贝叶斯公式求解. [解]　设“一产品经验收判为合格品”为事件A,“一产品为合格品”为事件B.由题知P(B)=0.96,P(A|B)=0.98,P()=0.04,P(A|)=0.05. 由贝叶斯公式得 P(B|A)= =≈0.997 9. 故此产品为合格品的概率约为0.997 9. 贝叶斯公式的内涵 1.公式P(A1|B)==反映了P(A1B),P(A1),P(B),P(A1|B),P(B|A1)之间的互化关系. 2.P(A1)称为先验概率,P(A1|B)称为后验概率,其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重. 思维提升 3.某人从甲地到乙地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.5,乘轮船迟到的概率为0.2,乘飞机不会迟到.如果这个人迟到了,求他乘轮船迟到的概率. 跟踪训练 解:设事件A表示“乘火车”,事件B表示“乘轮船”,事件C表示“乘飞机”,事件D表示“迟到”,则P(A)=0.2,P(D|A)=0.5,P(B)=0.4,P(D|B)=0.2,P(C)=0.4,P(D|C)=0. 由全概率公式,此人迟到的概率是 P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18. 如果这个人迟到了,由贝叶斯公式得他乘轮船迟到的概率为P(B|D)====. 知识点4　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 如果事件B能且只能在原因A1,A2,…,An下发生,且A1,A2,…,An两两互斥,A1∪A2∪…∪An=Ω,这些原因发生的概率P(Ai)(i=1,2,…,n)以及在原因Ai发生的条件下事件B发生的概率P(B|Ai)都是已知的,或都可求出,则 (1)可使用全概率公式计算事件B发生的概率. (2)如果已知事件B发生,要计算导致结果B发生的原因Ai的可能性大小,即事件Ai的条件概率P(Ai|B)的大小,可采用贝叶斯公式求之. 显然,如果把Ai看成是导致事件B发生的原因,那么全概率公式与贝叶斯公式可分别说出“由因求果”与“执果索因”的概率计算公式. [例4]　某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置,统计以往多场比赛,其出场率与出场时比赛获胜率如表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率. (2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率. [分析]　(1)根据全概率公式即可得到答案. (2)根据第(1)的结果,再结合条件概率公式即可求解. [解]　(1)记 “甲跑第一棒”为事件A1,“甲跑第二棒”为事件A2,“甲跑第三棒”为事件A3,“甲跑第四棒”为事件A4,“运动队获胜”为事件B. 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69, 所以当甲出场比赛时,该运动队获胜的概率为0.69. (2)P(A1|B)====, 所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,甲跑第一棒的概率为. 全概率公式和贝叶斯公式的选择 若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶段的各试验具体结果未知,那么:(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式.类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效. 思维提升 4.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.6;如果三件都不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.9. (1)求仪器的不合格率; (2)如果已发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大. 跟踪训练 解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3,且 P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9, P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504, P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398, P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006, P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092. (1)应用全概率公式,有 P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.140 2. (2)应用贝叶斯公式,有 P(A0|B)=0,P(A1|B)==, P(A2|B)==, P(A3|B)==. 从计算结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大. 〈课堂达标·素养提升〉 1.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为(　　) A.93%　　　　　　　　 B.93.5% C.94% D.94.5% A 解析:设Ai(i=1,2)分别表示产品由甲、乙车间生产;B表示产品为优品,由题可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. 2.某批产品来自A,B两条生产线,A生产线占60%,次品率为5%;B生产线占40%,次品率为4%,现随机抽取一件进行检测,则抽到次品的概率是(　　) A.0.029 B.0.046 C.0.056 D.0.406 B 解析:因为抽到的次品可能来自A,B两条生产线,设A=“抽到的产品来自A生产线”,B=“抽到的产品来自B生产线”,C=“抽到的一件产品是次品”, 则,P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.04 由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.05+0.4×0.04=0.046. 3.已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题,学生小王能完整做对其中5道题,在剩下的3道题中,有2道题有思路,还有1道题完全没有思路,有思路的题做对的概率为,没有思路的题只好从4个选项中随机选一个 答案.小王从这8道题中任选1题,则他做对的概率为　　　　.  解析:设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A,“选到能完整做对的5道题”为事件B,“选到有思路的2道题”为事件C,“选到完全没有思路的1道题”为事件D,则P(B)=,P(C)==,P(D)=,由全概率公式可得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=×1+×+×=. 4.甲袋中有3个白球,2个黑球,乙袋中有4个白球,4个黑球,今从甲袋中任取两球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,则该球是白球的概率为 　　　　.  解析:设A=“从乙袋中取出的是白球”,Bi=“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”, i=0,1,2.则Ω=B1∪B2∪B0,且B1,B2,B0两两互斥. 由全概率公式,得 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×+×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中随机取一个球,该球为红球的概率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 解析:设“取出的是甲袋”为事件A1,“取出的是乙袋”为事件A2,“取出的是丙袋”为事件A3,“该球为红球”为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　) A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, 则由全概率公式,所求概率为 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×= 0.08. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.袋子中装有3个红球和4个蓝球,甲先从袋子中随机摸一个球,摸出的球不再放回,然后乙从袋子中随机摸一个球,若甲、乙两人摸到红球的概率分别为p1,p2,则(　　) A.p1=p2 B.p1<p2 C.p1>p2 D.p1>p2或p1<p2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 解析:设A为“甲摸到红球”,B为“乙摸到红球”,而乙摸到红球可分为甲摸到红球后乙摸到红球、甲摸到蓝球后乙摸到红球,则p1=P(A)=, 而p2=P(B)=P(BA)+P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×==, 故p1=p2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.学校有a,b两个餐厅,如果王同学早餐在a餐厅用餐,那么他午餐也在a餐厅用餐的概率是;如果他早餐在b餐厅用餐,那么他午餐在a餐厅用餐的概率是.若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是,那么他午餐在a餐厅 用餐的概率是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设A1=“早餐在a餐厅用餐”,B1=“早餐在b餐厅用餐”,A2=“午餐在a餐厅用餐”,且P(A1)+P(B1)=1, 根据题意得P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,由全概率公式可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.新高考模式下,“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科,“1”是物理、历史二选一,“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理,剩余的选择历史,选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和,则从该校高二学生中任选 一人,这名学生选择地理的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设选择地理的概率为P,由全概率公式,得P=×+×=, 即从该校高二学生中任选一人,这名学生选择地理的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占40%,35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65,0.70和0.85,求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:设A1:药材来自甲地,A2:药材来自乙地, A3:药材来自丙地,B:抽到优等品. 则P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.65,P(B|A2)=0.7, P(B|A3)=0.85,所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3) =0.65×0.4+0.7×0.35+0.85×0.25=0.717 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”. (1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率; (2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为=21, 这2个“青团”馅不同的事件数为=12, 所以这2个“青团”馅不同的概率为P==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”, 事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”, 事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”, 事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”, 则B1,B2,B3彼此互斥. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P===,P===,P===, P=,P=,P=, 所以P=PP+PP+PP=×+×+×=, 所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [B组　关键能力练] 8.(多选)某中药材盒中共有包装相同的10袋药材,其中甲级药材有4袋,乙级药材有6袋,从中不放回地依次抽取2袋,用A表示事件“第一次取到甲级药材”,用B表示事件“第二次取到乙级药材”,则(　 　) A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.事件A,B相互独立 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:对于A,P(A)==,故A正确; 对于B,P(B|A)===,故B正确; 对于C,P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=,故C正确; 对于D,因为P(AB)=,P(A)P(B)=×≠P(AB),所以事件A,B不相互独立,故D错误. 9.(多选)已知有两副相同的扑克牌,分别有数字2,3,4,5,6,7,8,9,10的36张,有字母J,Q,K,A的16张,大小王2张,现将两副扑克牌分别打乱,从其中一副扑克牌中随机取一张,放入另一副扑克牌中,分别以A1,A2,A3表示从此扑克牌抽取的是“数字”“字母”和“大小王”,将其打乱,然后随机取一张,以B表示最后抽取的为数字,则下列结论正确的有(　　 ) A.P(B)= B.P(B|A1)= C.事件B与事件A1是互斥事件 D.A1,A2,A3是两两互斥的事件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABD 解析:由题意知A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1) +P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.故A,B,D正确;事件B与事件A1不是互斥事件.故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4∶3∶3,假设该中学高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.2,0.25,p(0<p<1),若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233,已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率,则p的取值范围是　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [0.2,0.26] 解析:若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生,则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为0.2×+0.25×+p×= 0.155+0.3p≤0.233,解得p≤0.26. 因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率,所以p≥0.2.故p的取值范围是[0.2,0.26]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.任取一个零件,如果取到的零 件是次品,则它是第2台车床加工的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析:设Ai表示“取到的零件是第i台车床加工(i=1,2,3)”,B表示“取到的零件是次品”, 则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.06+0.30×0.05+0.45×0.05=0.052 5, P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=0.30×0.05=0.015, 故P(A2|B)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,三个年级的学生都报名参加公益志愿活动,经过选拔,高一年级有的学生成为公益活动志愿者,高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者. (1)设事件B=“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”;事件Ai=“在三个年级中随机抽取1名学生,该生来自高i年级”(i=1,2,3).请完成表中不同事件的概率并写出演算步骤: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 事件概率 P(A1) P(A2) P(A3) P(B|A1) P(B|A2) P(B|A3) P(B) 概率值             (2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者,根据表中所得数据,求该学生来自高一年级的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解:(1)根据三个年级的人数比值为3∶3∶4,则P(A1)==,P(A2)=,P(A3)==, 由每个年级的抽取比例可知, P(B|A2)=,P(B|A3)=, 由全概率公式,得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 事件概率 P(A1) P(A2) P(A3) P(B|A1) P(B|A2) P(B|A3) P(B) 概率值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)该学生来自高一年级的概率P(A1|B)====. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如表所示. 13 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.3 0.5 0.2 球队胜率 0.8 0.6 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)当甲出场比赛时,求球队输球的概率; (2)当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,求球员甲担当边锋的概率; (3)如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在场上的哪个位置?请说明理由. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)用A1表示“甲出任边锋”,A2表示“甲出任前卫”,A3表示“甲出任中场”,用B表示“球队赢球”. 则甲出场时,球队赢球的概率为 P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.3×0.8+0.5×0.6+0.2×0.7=0.68, 所以甲出场比赛时,球队输球的概率为1-P(B)=1-0.68=0.32. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)因为P(B)=0.68.所以P(A1|B)===. 即当甲出场比赛时,在球队获胜的条件下,球员甲担当边锋的概率为. (3)因为P(A2|B)===, P(A3|B)===. 因为P(A2|B)>P(A1|B)>P(A3|B). 所以如果某场比赛该足球队获胜,那么球员甲最有可能在前卫. 13 $$