2025年湖北省九年级中考数学模拟题优选题03

2025年数学中考模拟题4月优选题03 一．选择题（共21小题） 1．2024年某省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（　　） A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 6．下列运算结果等于a6的是（　　） A．a3+a3 B．a•a6 C．a8÷a2 D．（﹣a2）3 7．下列几何体中，主视图是如图的是（　　） A． B． C． D． 8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A．53 B．55 C．58 D．64 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 11．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（　　） A． B． C．2 D．2 12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 13．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 14．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 16．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 17．当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 18．如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 19．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 21．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 二．填空题（共17小题） 22．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　 　度． 23．计算的结果为 　 　． 24．若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　 　． 25．分式方程3＝0的解为 　 　． 26．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 　 　. 27．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　 　． 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝　 　． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　 　． 30．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　 　． 31．如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 　 　． 32．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　 　． 33．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　 　°． 34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 　 　． 35．写出满足不等式组的一个整数解 　 　． 36．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　 　． 37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　 　． 38．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　 　． 三．解答题（共21小题） 39．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 40．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 41．（1）计算：2sin60°﹣（π﹣2024）0+|2|； （2）解不等式组：． 42．2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有 　 　人，表中x的值为 　 　； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF． （1）求证：BC•DF＝BF•CE； （2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径． 44．某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为 　 　度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 45．如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上． （不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 46．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 47．（1）计算：2﹣1﹣（）； （2）先化简，再求值：（1），其中a＝1． 48．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上． （1）∠CA1A2＝　 　°，∠CA2A1＝　 　°； （2）求点A1到道路BC的距离； （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？ （结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66） 49．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 50．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 51．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 52．某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 53．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式ax+b的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 54．如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y（x＜0）交于点C（a，2）． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 55．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y（k＜0）图象上． （1）求a，b，m的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值． 56．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 57．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求线段AB的长； （2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值； （3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 58．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 59．一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 2025年数学中考模拟题4月优选题03 一．选择题（共21小题） 1．2024年某省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（　　） A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106 解题过程：解：61.9万＝619000＝6.19×105， 答案为：C． 2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 答案为：A． 3．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：∵每人出钱，会多出4钱， ∴yx﹣4； ∵每人出钱，会差3钱， ∴yx+3． ∴根据题意可列方程组． 答案为：B． 4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图， 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点， 设，， 由BC中点为D，AB＝AC， 在等腰三角形ABC中， ∴BD＝DC＝a﹣b， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由M在反比例函数上得， ∴， 解得：b＝﹣3a， 由题可知，AD∥NE， ∴， 答案为：B． 5．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 解题过程：解：把图形围成立方体如图所示： 设正方体的棱长为1，则AD＝1，AB＝AE，AC， ∵1， ∴与顶点A距离最远的顶点是C， 答案为：B． 6．下列运算结果等于a6的是（　　） A．a3+a3 B．a•a6 C．a8÷a2 D．（﹣a2）3 解题过程：解：a3+a3＝2a3，则A不符合题意； a•a6＝a7，则B不符合题意； a8÷a2＝a6，则C符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意； 答案为：C． 7．下列几何体中，主视图是如图的是（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意； B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意； C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意； D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意； 答案为：D． 8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意得可列方程组． 答案为：D． 9．为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（　　） A．53 B．55 C．58 D．64 解题过程：解：把这组数据从小到大排序后为50，51，55，55，61，64， 所以这组数据的中位数为55． 答案为：B． 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 解题过程：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°，AD＝BC，AD∥BC，， ∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD不一定成立，AC＝BD，一定成立，AB＝AD一定不成立， 答案为：C． 11．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（　　） A． B． C．2 D．2 解题过程：解：如图，连接BD、CD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD， 在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ACD+∠ABD＝180°， ∴△ADC绕D点逆时针旋转90°后得到对应的三角形为△A′DB，则A，B，A'三点共线，如图所示， ∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′， ∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD， ∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°， ∴在等腰直角三角形A′DA中，， ∴． 答案为：A． 12．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 解题过程：解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE， ∴BE＝AB，∠ABE＝90°， ∴AEAB＝6， ∵∠DBC＝90°＝∠EBA， ∴∠DBE＝∠CBA， 又∵BD＝BC，AB＝BE， ∴△DBE≌△CBA（SAS）， ∴DE＝AC＝2， 在△ADE中，AD＜AE+DE， ∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值， ∴AD的最大值＝6+2＝8， 答案为：D． 13．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 解题过程：解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CDB＝60°， ∴∠A＝∠CDB＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， 答案为：A． 14．在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 解题过程：解：由作法得BO平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝AE+DE＝3+2＝5， ∴BC＝5，所以B选项不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠F， ∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意； ∵DE∥BC， ∴，所以D选项符合题意． 答案为：D． 15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 解题过程：解：∵顶点为（1，2）， ∴， ∴b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵a+b+c＝2， ∴c＝2﹣a﹣b＝2﹣a﹣（﹣2a）＝2+a， ∴c无法判断，故①错误； ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵b＝﹣2a，c＝2+a， ∴y＝ax2﹣2ax+2+a， ∵当x＝3时，y＝0， ∴0＝9a﹣6a+2+a， ∴a，故③正确； ∵y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2， ∴将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1+1）2+2﹣2＝ax2，故④错误； 答案为：B． 16．如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（　　） A． B．3 C． D．4 解题过程：解法一： 解：延长DF和AB，交于G点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB即DC∥AG， ∴△DEC∽△GAE ∴， ∵AC＝5，CE＝1， ∴AE＝AC﹣CE＝5﹣1＝4， ∴， 又∵EF＝DE，， ∴， ∵，DC＝AB， ∴， ∴， ∴ ∴AE∥BF， ∴△BGF∽△AGE， ∴， ∵AE＝4， ∴BF＝3． 解法二： 连接BD交AC 于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB， ∵EF＝DE， ∴OE是△BFD的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴BF＝3， 答案为：B． 17．当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为（　　） A．﹣3或0 B．0或1 C．﹣5或﹣3 D．﹣5或1 解题过程：解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴5（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝0，m2＝﹣5（舍去）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6， ∴2（m+1）+m2+1＝6， 解得m1＝﹣3，m2＝1（舍去）， 综上，当2≤x≤5时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值6，则实数m的值为0或﹣3， 答案为：A． 18．如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BCAB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　） A． B． C． D． 解题过程：解：令AB的长为2a， 则BC， 在Rt△ABC中， AC． 因为CD＝CB，AE＝AD， 所以AE， 则AEAB， 所以m的值为． 答案为：A． 19．若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2 解题过程：解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m+1≥3， ∴m≥2． 答案为：B． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 解题过程：解：法一： 在Rt△ABC中， tanB， ∴AC． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD． 在Rt△ACD中， tan∠CAD， ∴CD． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 法二： 当DE⊥AB时，DE最小． ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DE． 令DC＝DE＝x， 则BD＝6﹣x． ∵∠DAB， ∴∠B＝∠DAB， ∴DA＝DB＝6﹣x． 在Rt△DAE中， sin∠DAB， ∴DE， 则x， 解得x＝2， ∴DE＝2． 答案为：C． 21．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．120° 解题过程：解：如图：∵∠1＝∠2＝40°， ∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴∠3＝∠4＝100°， 答案为：C． 二．填空题（共17小题） 22．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　75　度． 解题过程：解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝150°， ∴∠ADC∠AOC＝75°， 答案为：75． 23．计算的结果为 　1　． 解题过程：解：原式 ＝1， 答案为：1． 24．若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　1　． 解题过程：解：∵m，n为实数，且（m+4）20， ∴m+4＝0，n﹣5＝0， 解得m＝﹣4，n＝5， ∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1． 答案为：1． 25．分式方程3＝0的解为 　x＝2　． 解题过程：解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣1＝1≠0， ∴x＝2是原方程的解． 答案为：x＝2． 26．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝120°，则的长为 　4π　. 解题过程：解：的长为4π． 答案为：4π． 27．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　100°　． 解题过程：解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠ACB＝∠CED＝45°， ∵∠D＝35°， ∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°， 答案为：100°． 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝　　． 解题过程：解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC， ∴∠D＝∠DCH， 又∵CD＝CH，DF＝CE， ∴△CDF≌△HCE（SAS）， ∴CF＝EH， ∴AE+CF＝AE+EH， ∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值， 此时：∵CD∥AB， ∴△CEH∽△BAH， ∴， ∴， ∴CE， 答案为：． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 　5　． 解题过程：解：取点O'（0，4），连接O'P，O'A，如图， ∵B（0，2），过点B作y轴的垂线l， ∴点O'（0，4）与点O（0，0）关于直线l对称， ∴PO'＝PO， ∴PO+PA＝PO'+PA≥O'A， 即PO+PA的最小值为O'A的长， 在Rt△O'AO中， ∵OA＝3，OO'＝4， ∴由勾股定理，得O'A5， ∴PO+PA的最小值为5． 答案为：5． 30．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　7　． 解题过程：解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m ∴m+（n﹣2）2 ＝m+（3﹣m）2 ＝m2﹣5m+9 ＝﹣2+9 ＝7． 答案为：7． 31．如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 　22　． 解题过程：解：连接BE交AC于O，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CBA＝∠BAE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE， ∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠CBO＝∠BOC＝72°， ∴CO＝BC＝4， ∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA， ∴△ABO∽△ACB， ∴，即， 解得AC＝22或AC＝22（小于4，舍去）， 经检验，AC＝22符合题意； 答案为：AC＝22． 32．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝　40°　． 解题过程：解：连接OB，如图， ∵∠ACB＝25°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝50°， ∵OA＝OB， ∴， ∵OA∥CB， ∴∠OAC＝∠ACB＝25°， ∴∠CAB＝∠OAB﹣∠OAC＝40°， 答案为：40°． 33．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 　90　°． 解题过程：∵AB是圆的直径， ∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆， ∴， 答案为：90． 34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 　　． 解题过程：解：方法一：以C为原点，建立坐标系，过点D作DG⊥AC 设AP＝a，则CP＝2﹣a， ∴P（0，2﹣a）， ∵∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵PD⊥AB， ∴∠PDA＝90°， ∴∠APD＝30°， ∴， ∵DG⊥AC， ∴∠AGD＝90°， ∴，， ∵DF⊥BC，DG⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形DGCF为矩形， ∴DG＝CF， ∴， ∵E为P，F的中点， ∴， 令， ∴， ∴点E在直线上运动， 当点P与A重合时，a＝0，此时E（0，1）， 当点P与C重合时，a＝2，此时， ∴点E所经过的路径长为：， 方法二：∵P在AC上运动，运动路径为线段，E为PF中点， ∴E的运动路径亦为线段， ∵当P与A重合时，CE＝1，当P与C重合时，CE， ∴点E所经过的路径长为：， 答案为：． 35．写出满足不等式组的一个整数解 　x＝﹣1（答案不唯一）　． 解题过程：解：∵， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴不等式组的一个整数解为：x＝﹣1； 答案为：x＝﹣1． 36．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为 　　． 解题过程：解：过点F作FG⊥BC于点G，FH⊥CD于点H． ∵CF平分∠BCD， ∴HF＝FG． ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD＝AB＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°． 由翻折得，BF＝AB＝2，∠ABE＝∠FBE＝30°， ∴∠FBG＝30°， ∴FGBF＝1， ∴HF＝1，CH＝FG＝1， ∴DH＝CD﹣CH＝1， ∴DF． 答案为：． 37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝　　． 解题过程：解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图： 设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2， ∵∠ACB＝90°，E为AD中点， ∴CE＝AE＝DEAD， ∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC， ∴∠CED＝2∠CAD， ∵BE＝BC， ∴∠ECD＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠EDC， ∵∠ECD＝∠BCE， ∴△ECD∽△BCE， ∴，∠CED＝∠CBE， ∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAB＝2∠CAD， ∴∠CAB＝∠CED， ∴∠CAB＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°＝∠BFE， ∴△ABC∽△BEF， ∴， ∵CE＝DE，EF⊥BC， ∴CF＝DFCD＝1， ∵E为AD中点， ∴AC＝2EF， ∴， ∴2EF2＝（x+1）（x+2）， ∵EF2＝CE2﹣CF2， ∴（2x+4）﹣12， 解得x或x（小于0，舍去）， ∴BD． 答案为：． 38．在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 　m＜1　． 解题过程：解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3， ∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， ∵0＜x1＜1，x2＞4， ∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近， ∴y1＞y2； ∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3， ∴x1＜x2＜x3， ∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2， ∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近， ∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|， ∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4， ∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5， ∴2m+2＜4，且2m+5＞4， 解得m＜1， 答案为：＞，m＜1． 三．解答题（共21小题） 39．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 解题过程：证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． 40．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 解题过程：（1）证明：∵点D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（AAS）； （2）证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC， ∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴BA＝CA， 由（1）可知：△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， ∴BA＝BE． 41．（1）计算：2sin60°﹣（π﹣2024）0+|2|； （2）解不等式组：． 解题过程：解：（1）原式＝4+21+2 ＝41+2 ＝5； （2）解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x＜9， 所以不等式组的解集是﹣2≤x＜9． 42．2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表． 游园线路 人数 国风古韵观赏线 44 世界公园打卡线 x 亲子互动慢游线 48 园艺小清新线 y 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的员工共有 　160　人，表中x的值为 　40　； （2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数； （3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数． 解题过程：解：（1）本次调查的员工共有48÷30%＝160（人）， 表中x的值为16040； 答案为：160，40； （2）360°99°， 答：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为99°； （3）2200385（人）， 答：估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF． （1）求证：BC•DF＝BF•CE； （2）若∠A＝∠CBF，tan∠BFC，AF＝4，求CF的长和⊙O的直径． 解题过程：（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BFD＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠BFD＝∠C， ∵， ∴∠BEC＝∠BDF， ∴△BCE∽△BDF， ∴， ∴BC•DF＝BF•CE； （2）解：连接DE，过E作EH⊥BD于H，如图： ∵∠C＝90°，tan∠BFC， ∴， ∴BCCF， ∵∠A＝∠CBF， ∴90°﹣∠A＝90°﹣∠CBF，即∠ABC＝∠BFC， ∴tan∠ABC＝tan∠BFC， ∴， ∴ACBC（CF）＝5CF， ∵AC﹣CF＝AF＝4， ∴5CF﹣CF＝4， ∴CF， ∴BCCF＝5，AC＝5CF＝5， ∴AB5， 由（1）知△BCE∽△BDF， ∴∠CBE＝∠DBF， ∴∠CBE﹣∠FBE＝∠DBF﹣∠FBE，即∠CBF＝∠EBA， ∵∠A＝∠CBF， ∴∠A＝∠EBA， ∴AE＝BE， ∴BH＝AHAB， ∵∠BEH＝90°﹣∠EBA＝90°﹣∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC， ∴，即， ∴EH， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BED＝90°， ∴∠EDH＝90°﹣∠DEH＝∠BEH， ∴tan∠EDH＝tan∠BEH， ∴，即， ∴DH， ∴BD＝DH+BH3， ∴⊙O的直径为3． 答：CF的长为，⊙O的直径为3． 44．某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了 　40　名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为 　72　度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 解题过程：（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人）， 补全条形统计图如下： 答案为：40； （2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°72°； 答案为：72； （3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 45．如图，AB与CD相交于点E，EC＝ED，AC∥BD． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上． （不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 解题过程：（1）证明：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， 在△AEC 和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）； （2）如图，四边形DMCN即为所求作的菱形． 46．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若tan∠ABE，求CD和DE的长． 解题过程：（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴∠FOB＝∠FOC， ∴OF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OFB＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵OB＝OA， ∴∠BAF＝∠ABE， ∴tan∠BAF＝tan∠ABE， ∴AF＝2BF， ∵ABBF＝10， ∴BF＝2，AF＝4， ∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4FO， ∴（2）2+FO2＝（4FO）2， 解得FO， ∴OD＝OB＝OA＝4， ∵OB＝OD，BF＝CF， ∴CD＝2FO＝23， ∵cos∠AOE＝cos∠FOB， ∴OE， ∴DE＝OE﹣OD， ∴CD的长是3，DE的长是． 47．（1）计算：2﹣1﹣（）； （2）先化简，再求值：（1），其中a＝1． 解题过程：解：（1）原式； （2）（2）原式 ＝a﹣3； 将a＝1代入，得： 原式＝1﹣3＝﹣2． 48．图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上． （1）∠CA1A2＝　90　°，∠CA2A1＝　76　°； （2）求点A1到道路BC的距离； （3）若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？ （结果精确到0.1km，参考数据，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66） 解题过程：解：（1）∵正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8， ∴外角， ∴∠CA1A2＝45°+45°＝90°，∠CA2A1＝45°+（90°﹣59°）＝76°， 答案为：90；76； （2）过点A1作A1D⊥BC于点D， 在Rt△CA2A1中，，∠CA2A1＝76°， ∴（km）， 在Rt△CA1D中，易知∠CA1D＝45° ∴， 答：点A1到道路BC的距离为2.0千米． （3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC于点F， ∵正八边形的外角均为45°， ∴在Rt△A7A8G中，， ∴， 又∵A8F＝A1D＝CD＝2，， ∴， ∵∠CFA8＝∠B，∠FCA8＝∠BCE， ∴△CA8F∽△CEB， ∴， ∴， ∵， ∴EB＝2.3（km）． 答：小李离点B不超过2.3km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 49．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 解题过程：解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为（132﹣x）元． ∴3x+5（132﹣x）＝540． ∴x＝60． ∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意，∵每件A类特产降价x元， 又每降价1元，每天可多售出10件， ∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）． 答：y＝10x+60（0≤x≤10）． （3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60） ＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840． ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，w有最大值1840． ∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 50．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA． （1）求证：AD是⊙O的切线． （2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． 解题过程：（1）证明：∵， ∴∠ABF＝∠BAE， ∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴AD是⊙O的切线． （2）解：连接AF， ∵，BE＝4，AD＝2， ∴AF＝BE＝4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∴DF2， ∵∠BAD＝∠AFD＝90°， ∴tanD2， ∴ADAB， ∴OAAB＝AD＝2， ∴⊙O的半径长为2． 51．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值． 解题过程：解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0， 解得k＞1． （2）∵1＜k＜5， ∴整数k的值为2，3，4， 当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3， 当k＝3或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，k的值为2． 52．某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题： （1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数． （2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率． 解题过程：解：（1）样本容量为：16÷40%＝40， 参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目人数：40×20%＝8（人）； 在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：（40﹣16﹣4﹣8）÷40×360＝108°． 答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 108°； （2）喜爱D类研学项目的4名学生分别记为：男1，男2，女1，女2．列表如下： 第2位第1位 男1 男2 女1 女2 男1 ﹣ 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 ﹣ 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 ﹣ 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ﹣ 由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能． ∴， 答：抽中一名男生和一名女生的概率为 ． 53．如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式ax+b的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 解题过程：解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n， 解得：k＝4，n＝﹣4， 即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣4，﹣1）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：y＝x+3； （2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b成立； （3）设点C的坐标为：（m，），点D（x，0）， 当AB为对角线时， 由中点坐标公式得：4﹣1， 解得：m，则点C（，3）； 当AC或AD为对角线时， 同理可得：41或41， 解得：m＝±， 则点C（，﹣5）或（，5）， 综上，点C的坐标为：（，3）或（，﹣5）或（，5）． 54．如图，直线y＝kx+b经过A（0，﹣2），B（﹣1，0）两点，与双曲线y（x＜0）交于点C（a，2）． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标． 解题过程：解：（1）∵点A（0，﹣2），B（﹣1，0）在直线y＝kx+b上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：y＝﹣2x﹣2； ∵点C（a，2）在直线y＝﹣2x﹣2上， ∴﹣2a﹣2＝2， ∴a＝﹣2，即点C为（﹣2，2）； ∵双曲线 过点C（﹣2，2）， ∴m＝﹣4， ∴双曲线解析式为：； （2）∵CD⊥x轴，C（﹣2，2）， ∴D（﹣2，0），CD＝2， ∵B（﹣1，0）， ∴BD＝1， ∵A（0，﹣2）， ∴OA＝2， 若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，OP＝1或4， ∵点P在x轴上， ∴点P坐标为（﹣4，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（4，0）． 55．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m与直线y＝2x相交于点A（2，a），与x轴交于点B（b，0），点C在反比例函数y（k＜0）图象上． （1）求a，b，m的值； （2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； （3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值． 解题过程：解：（1）把A（2，a）代入y＝2x得：a＝2×2＝4， ∴A（2，4）， 把A（2，4）代入y＝﹣x+m得：4＝﹣2+m， ∴m＝6； ∴直线y＝﹣x+m为y＝﹣x+6， 把B（b，0）代入y＝﹣x+6得：0＝﹣b+6， ∴b＝6， ∴a的值为4，m的值为6，b的值为6； （2）设C（t，）， 由（1）知A（2，4），B（6，0），而O（0，0）， ①当AC，BO为对角线时，AC，BO的中点重合， ∴， 解得， 经检验，t＝4，k＝﹣16符合题意， 此时点C的坐标为（4，﹣4）； ②当CB，AO为对角线时，CB，AO的中点重合， ∴， 解得， 经检验，t＝﹣4，k＝﹣16符合题意， 此时点C的坐标为（﹣4，4）； ③当CO，AB为对角线时，CO，AB的中点重合， ∴， 解得， ∵k＝32＞0， ∴这种情况不符合题意； 综上所述，C的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4），k的值为﹣16； （3）如图： 设直线AC解析式为y＝px+q，把A（2，4）代入得：4＝2p+q， ∴q＝4﹣2p， ∴直线AC解析式为y＝px+4﹣2p， 在y＝px+4﹣2p中，令y＝0得x， ∴D（，0）， ∵E与点D关于y轴对称， ∴E（，0）， ∵B（6，0）， ∴BE＝6，BD＝6， ∵△ABD与△ABE相似， ∴E只能在B左侧， ∴∠ABE＝∠DBA， 故△ABD与△ABE相似，只需即可，即BE•BD＝AB2， ∵A（2，4），B（6，0）， ∴AB2＝32， ∴32， 解得p＝1， 经检验，p＝1满足题意， ∴直线AC的解析式为y＝x+2， ∵有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似， ∴直线AC与反比例函数y（k＜0）图象只有一个交点， ∴x+2只有一个解， 即x2+2x﹣k＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即22+4k＝0， 解得k＝﹣1， ∴k的值为﹣1． 56．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°． 【初步感知】 （1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由． 解题过程：解：（1）∵AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ADE≌△ABC（SAS），AC＝AE5， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC 即∠CAE＝∠BAD， ∵1， ∴△ADB∽△AEC， ∴， ∵AB＝3，AC＝5， ∴； （2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于P，延长EF交BC于N，如图： 同（1）得△ADB∽△AEC， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵BM是中线， ∴BM＝AM＝CMAC， ∴∠MBC＝∠MCB， ∵∠ABD+∠MBC＝90°， ∴∠ACE+∠MCB＝90°，即∠BCE＝90°， ∴AB∥CE， ∴∠BAM＝∠QCM，∠ABM＝∠CQM， 又AM＝CM， ∴△BAM≌△QCM（AAS）， ∴BM＝QM， ∴四边形ABCQ是平行四边形， ∵∠ABC＝90° ∴四边形ABCQ矩形， ∴AB＝CQ＝3，BC＝AQ＝4，∠AQC＝90°，PQ∥CN， ∴EQ3， ∴EQ＝CQ， ∴PQ是△CEN的中位线， ∴PQCN， 设PQ＝x，则CN＝2x，AP＝4﹣x， ∵∠EPQ＝∠APD，∠EQP＝90°＝∠ADP，EQ＝AD＝3， ∴△EQP≌△ADP（AAS）， ∴EP＝AP＝4﹣x， ∵EP2＝PQ2+EQ2， ∴（4﹣x）2＝x2+32， 解得：x， ∴AP＝4﹣x，CN＝2x， ∵PQ∥CN， ∴△APF∽△CNF， ∴， ∴， ∵AC＝5， ∴， ∴CF； 方法2： ∵BM是Rt△ABC斜边AC上的中线， ∴AM＝BM＝CMAC， ∴∠ABM＝∠BAM， ∵AB＝AD， ∴∠ABM＝∠ADB， ∴∠BAM＝∠ADB， ∵∠ABM＝∠DBA， ∴△ABM∽△DBA， ∴，即， ∴BD， ∴DM＝BD﹣BM， ∵∠EAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠ADB， ∴DM∥AE， ∴△FDM∽△FEA， ∴，即， 解得FM， ∴CF＝CM﹣FM； （3）C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当AD在AC上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDECD•DE（5﹣3）×4＝4； ②当AD在CA的延长线上时，DE⊥AC，此时△CDE是直角三角形，如图， ∴S△CDECD•DE（5+3）×4＝16； ③当DE⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，如图， ∵AQ⊥EC，DE⊥EC，DE⊥AD， ∴四边形ADEQ是矩形， ∴AD＝EQ＝3，AQ＝DE＝4， ∵AE＝AC＝5， ∴EQ＝CQCE， ∴CE＝3， ∴CE＝6， ∴S△CDEAQ•CE4×6＝12； ④当DC⊥EC时，△CDE是直角三角形，过点A作AQ⊥EC于点Q，交DE于点N，如图， ∵DC⊥EC，AQ⊥EC， ∴AQ∥DC， ∵AC＝AE，AQ⊥EC， ∴EQ＝CQ， ∴NQ是△CDE的中位线， ∴ND＝NEDE＝2，CD＝2NQ， ∵∠AND＝∠ENQ，∠ADN＝∠EQN＝90°， ∴∠DAN＝∠QEN， ∴tan∠DAN＝tan∠QEN， ∴， ∴， ∴NQEQ， ∵NQ2+EQ2＝NE2， ∴（EQ）2+EQ2＝22， 解得EQ， ∴CE＝2EQ，NQEQ， ∴CD＝2NQ， ∴S△CDECD•CE． 综上所述，直角三角形CDE的面积为4或16或12或． 57．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． （1）求线段AB的长； （2）当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值； （3）延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′．将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 解题过程：解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴a（x﹣3）（x+1）＝0， ∵a＞0， ∴x＝3或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4； （2）当a＝1时，过D作DM∥y轴交x轴于M，DN∥x轴交AC于N，如图： ∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴C（1，﹣4）， 由A（﹣1，0），C（1，﹣4）得直线AC解析式为y＝﹣2x﹣2， 设 D（n，n2﹣2n﹣3），（0＜n＜3）， 在y＝﹣2x﹣2中，令y＝n2﹣2n﹣3得x， ∴N（，n2﹣2n﹣3）， ∴DN＝n， ∴S△ACDDN•|yA﹣yC|4＝n2﹣1； ∵△ACD的面积与△ABD的面积相等， 而S△ABDAB•|yD|4×（﹣n2+2n+3）＝﹣2n2+4n+6， ∴n2﹣1＝﹣2n2+4n+6， 解得n＝﹣1（舍去）或n， ∴D（，）， ∴BM＝3，DM， ∴tan∠ABD； ∴tan∠ABD的值为； （3）抛物线L′与L交于定点，理由如下： 过D作DM⊥x轴于M，如图： 设D（m，am2﹣2am﹣3a），则AM＝m+1，DM＝﹣am2+2am+3a， ∵AD＝DE， ∴EM＝AM＝m+1， 将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移（m+1）个单位，再向上平移|am2﹣2am﹣3a|个单位， 又A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣4a）， ∴A'（m，﹣am2+2am+3a），B'（m+4，﹣am2+2am+3a），C'（m+2，﹣am2+2am﹣a）， ∴抛物线L'的对称轴为直线x＝m+2， ∴抛物线L'解析式为y＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0）， 由ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣m﹣2）2﹣am2+2am﹣a（a＞0）， 解得：x＝3， ∴抛物线L′与L交于定点（3，0）． 58．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围． 解题过程：解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4； ∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x）2， ∴抛物线顶点D的坐标为（，）； （2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下： 作D（，）关于y轴的对称点D'（，），连接BD'交y轴于M，如图： 在y＝x2﹣3x﹣4中，令y＝0得0＝x2﹣3x﹣4， 解得x＝4或x＝﹣1， ∴B（4，0）， ∴BD， ∴△BDM的周长最小，只需DM+BM最小， ∵DM＝D'M， ∴DM+BM＝D'M+BM， ∴B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小； 由B（4，0），D'（，）得直线BD'解析式为yx， 令x＝0得y， ∴M的坐标为（0，）； （3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图： 由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2）， ∵△AEF，△APQ是等边三角形， ∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°， ∴∠EAP＝∠FAQ， ∴△EAP≌△FAQ（SAS）， ∴PE＝QF＝1， ∴F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆， ∵B（4，0）， ∴BQ， 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF1； 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF1； ∴BF的范围时1≤BF1． 59．一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1． （1）求证：BM＝EN； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P． ①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形； ②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系． 解题过程：（1）证明：设AC＝DE＝a， ∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∵BM⊥AC， ∴， ∵∠EDF＝30°，EN⊥DF， ∴， ∴BM＝EN； （2）①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF， ∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°， ∵α＝∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝90°， ∵BM⊥AC， ∴∠PMC＝∠BMC＝90°， ∴四边形PMCN为矩形， ∵BM＝EN，即BM＝CN， 而BM＝CM， ∴CM＝CN， ∴四边形PMCN是正方形； ②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下： 如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴MP+DP＝PN+DP＝DN， ∵∠D＝30°， ∴cosDcos30°， ∴； 如图2，当60°＜α＜120°时，连接CP， 由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°， ∵CP＝CP， ∴Rt△PMC≌Rt△PNC（HL）， ∴PM＝PN， ∴DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP， ∵∠CDF＝30°， ∴cos∠CDFcos30°， ∴， 综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为． 学科网（北京）股份有限公司 $$