数学（广州卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

11 2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共15分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（10分） 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意修改时间和分值 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果把收入8元记作元，那么支出10元记作（    ） A．元 B．10元 C．元 D．元 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤．数据亿用科学记数法表示为（    ） A．13.9082×1011 B．1.39082×1012 C．1.39082×1013 D．0.139082×1013 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．点P的坐标为，那么点P关于y轴对称点N的坐标为（    ）． A． B． C． D． 6．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．下列说法： 有两边对应相等的两个等腰三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个三角形全等．其中错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，已知点G是矩形ABCD的边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，当点P从点B向点C运动2cm时；AB＝6cm，AD＝5cm，则EF的长度为（　　） A．3 B．3 C． D． 9．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．2.5 D．7 10．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ． 12．如图，AB//CD，GH⊥EF于，，则的度数为 ． 13．已知，则的平方根是 ． 14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ． 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 16．如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．计算：． 18．先化简式子，再从0，，中选一个合适的值代入求值． 19．如图，在中，的角平分线相交于点， (1)求的度数； (2)求证：． 20．某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)求n的值并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______； (3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理． 21．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元． （1）求每件甲、乙商品的进货价； （2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？ 22．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 23．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： (1)求该抛物线的解析式． (2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 24．已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 25．【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）《2025年3月27日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C B C D A C 11． （y﹣z）（2a+3b） xy（x+1）（x﹣1） 12．121°/121度 13．±（+1） 14．且 15． 16． 17．解：原式......（4分） ．......（6分） 18．解： = =......（1分） =......（2分） =......（3分） 原分式有意义的条件为x≠0且x≠-1......（4分） 将x=代入， 原式=．......（6分） 19．（1）解：在中，， ∴，......（1分） ∵是的角平分线， ∴，......（2分） ∴， ∴在中，；......（3分） （2）证明：如图所示，在上截取， 由（1）可得，， ∴，......（4分） 在中， ， ∴，......（5分） ∴，， ∴，......（6分） 在中， ， ∴，......（7分） ∴， ∴．......（8分） 20．（1）解：因为在条形统计中时间段A的人数为4，在扇形统计图中时间段A占， 所以，．......（2分） 答：n的值是50．   时间段B的人数为（名）， 时间段E的人数为（名）， 补全图形，如下图： ......（4分） （2）故答案为：，；......（6分） （3）解：不合理．理由如下： 从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到数据的众数，因此，小颖同学的推断不合理．......（8分） 21．解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，......（1分） 依题意，得：，......（2分） 解得：． 答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元．......（3分） （2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品， 依题意，得：，......（4分） 解得：50≤m≤52，......（5分） 又∵m为正整数， ∴m可以取50，51，52，......（6分） ∴共有3种进货方案： 方案1：购进50件甲商品，50件乙商品； 方案2：购进51件甲商品，49件乙商品； 方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；......（8分） 22．（1）证明：分别过作于，于，如图1， ，......（1分） 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形，......（2分） ，......（3分） 在与中， ， ，......（4分） ， 是菱形；......（5分） （2）．......（8分） 23．（1）解：抛物线的解析式为，......（1分） 把代入解析式得：， 解得，......（2分） 抛物线的解析式为；......（3分） （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 当时，；......（4分） 令，则，......（5分） 解得或（舍去），......（6分） ，......（7分） 他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为．......（8分） 24．（1）解：（1）如图①，连接．   四边形内接于，， ，......（1分） 为的直径， ， ．......（2分） 点为中点， ，......（3分） ． 综上可知，．......（4分） （2）解：如图②，连接，连接交于点． 为的直径， ， ，......（5分） 为的切线， ，即，......（6分） 点为中点，为过圆心的线段， ，即，......（7分） ， 四边形是矩形， ．......（8分） ， ，， ，......（9分） ， ， ．......（10分） 25．解：（1）①，90；......（2分） ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ，......（3分） ， ， ， 在和中 ， ，......（4分） ， ， ；......（5分） （2）①；②10；......（7分） （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ，......（8分） ， ， ......（9分） ， ......（10分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23.(8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意修改时间和分值 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果把收入8元记作元，那么支出10元记作（    ） A．元 B．10元 C．元 D．元 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤．数据亿用科学记数法表示为（    ） A．13.9082×1011 B．1.39082×1012 C．1.39082×1013 D．0.139082×1013 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．点P的坐标为，那么点P关于y轴对称点N的坐标为（    ）． A． B． C． D． 6．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．下列说法： 有两边对应相等的两个等腰三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个三角形全等．其中错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，已知点G是矩形ABCD的边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，当点P从点B向点C运动2cm时；AB＝6cm，AD＝5cm，则EF的长度为（　　） A．3 B．3 C． D． 9．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．2.5 D．7 10．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ． 12．如图，AB//CD，GH⊥EF于，，则的度数为 ． 13．已知，则的平方根是 ． 14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ． 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 16．如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．计算：． 18．先化简式子，再从0，，中选一个合适的值代入求值． 19．如图，在中，的角平分线相交于点， (1)求的度数； (2)求证：． 20．某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)求n的值并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______； (3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理． 21．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元． （1）求每件甲、乙商品的进货价； （2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？ 22．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 23．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： (1)求该抛物线的解析式． (2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 24．已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 25．【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果把收入8元记作元，那么支出10元记作（    ） A．元 B．10元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键． 根据相反意义的量的意义解答即可． 【详解】解：如果把收入8元记作元，那么支出10元记作元， 故选：A． 2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3．根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到亿斤．数据亿用科学记数法表示为（    ） A．13.9082×1011 B．1.39082×1012 C．1.39082×1013 D．0.139082×1013 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】亿． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算，根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方运算法则逐项判定即可． 【详解】解：A、，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 5．点P的坐标为，那么点P关于y轴对称点N的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的性质，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：∵点P与点N关于y轴对称， ， 故选：C． 6．根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，可确定三角形的形状和大小，即可． 【详解】解：A、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意； B、，，，根据“”可判断是唯一的，符合题意； C、，，，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，，，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 7．下列说法： 有两边对应相等的两个等腰三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个三角形全等．其中错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理，逐一进行判断即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，如果两等腰三角形的两腰对应相等但底不相等，两等腰三角形则不全等，符合题意； 周长相等的两个等边三角形的三边也对应相等，符合，，，，不符合题意； 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，如果直角边和斜边对应相等，那么两个直角三角形不全等，符合题意； 有两条边和一角对应相等的两个三角形，当角是两边的夹角是可以判定这两个三角形全等，当角不是两边的夹角时，就不能判定这两个三角形全等，符合题意； 综上说法错误，共个， 故选：． 8．如图，已知点G是矩形ABCD的边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，当点P从点B向点C运动2cm时；AB＝6cm，AD＝5cm，则EF的长度为（　　） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据四边形是矩形得到，，根据点P从点B向点C运动2cm得到，进而在中，利用勾股定理得出的长度，最后根据三角形的中位线即可求出的长． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，， ， 点P从点B向点C运动2cm时， ， ， 在中， ， 点E，F分别是GD，GP的中点， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及三角形的中位线，掌握相关的定理是解题的关键． 9．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．2.5 D．7 【答案】A 【详解】分析：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，根据两角对应相等的两三角形相似，得到△AOD∽△OCE，再根据相似三角形的性质得到面积比=3，然后根据三角形的面积和反比例函数的系数性质求解即可. 详解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°， ∴CO⊥AB，∠CAB=30°， 则∠AOD+∠COE=90°， ∵∠DAO+∠AOD=90°， ∴∠DAO=∠COE， 又∵∠ADO=∠CEO=90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴=tan60°=，则=3， ∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点， ∴|xy|=AD•DO=×9=， ∴k=EC×EO=， 则EC×EO=3． 故选：A． 点睛：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质；熟练运用相似三角形的判定与性质解决线段相等的问题． 10．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME=MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD=2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立； 【详解】解：延长EM交CD的延长线于G，如图， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠AEM=∠G ∵CE⊥AB ∴CE⊥CD ∵MN垂直平分CE， ∴ME=MC ∴∠MEC=∠MCE ∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90° ∴∠DCM=∠G ∴∠AEM=∠DCM 故①正确； ∵∠DCM=∠G ∴MC=MG ∴ME=MG ∵∠AME=∠DMG ∴△AME≌△DMG（ASA） ∴AM=DM 故②正确； ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC ∵CE⊥AB，MN⊥CE ∴AB∥MN∥CD ∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形 ∴MN=AB ∵AM=MD=AD，AD=2AB ∴MD=CD=MN=NC ∴四边形CDMN是菱形 ∴∠BCD=2∠DCM， 故③正确； 设菱形ABNM的高为h，则S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON=（BE+ON）×h= ON×h ∵OM=（AE+CD） ∴CD＜OM＜AB ∴ON＜CD ∴S四边形BEON＜CD×h=S菱形CDMN， 故④不一定成立； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11．分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ． 【答案】 （y﹣z）（2a+3b） xy（x+1）（x﹣1） 【分析】把变形为：，再提取公因式即可；把提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y） ＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）， x3y﹣xy ＝xy（x2﹣1） ＝xy（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查的是因式分解，同时考查了提公因式法分解因式，综合提公因式与公式法分解因式，掌握以上知识是解题的关键． 12．如图，AB//CD，GH⊥EF于，，则的度数为 ． 【答案】121°/121度 【分析】利用垂直的定义及直角三角形的性质得到∠1+∠4=90°，求出∠4的度数，根据平行线的性质得到∠3=∠4，再根据邻补角的定义求出∠2的度数． 【详解】解：∵GH⊥EF， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠4=90°-∠1=90°-31°=59°， ∵ABCD， ∴∠3=∠4=59°， ∴∠2=180°-∠3=121°， 故答案为：121°． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质求出∠3的度数是解题的关键． 13．已知，则的平方根是 ． 【答案】±（+1） 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可. 【详解】解：根据题意得 =0，且b+1=0， 解得：a=，b=-1， 则（a-b）2=，则平方根是：±（+1）． 故答案是：±（+1）． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 14．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式的知识，掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可得：，解得， ∵方程有实数根， ∴，解得：， ∴实数a的取值范围是且． 故答案为：且． 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，y随x增大而增大，即可求解． 【详解】解：， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16．如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，解直角三角形，连接，交于点，由垂径定理推出，且，再由圆周角定理推出，从而根据直角三角形的性质进行求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，交于点， ∵点是弧中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ， 即的半径等于， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算零次幂、开方、绝对值和特殊角的三角函数值，然后计算加减．关键是能准确确定运算方法，并能进行正确地计算． 【详解】解：原式 ． 18．先化简式子，再从0，，中选一个合适的值代入求值． 【答案】，当x=时，原式= 【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后代入一个使原分式有意义的x的值即可． 【详解】解： = = = = 原分式有意义的条件为x≠0且x≠-1 将x=代入， 原式=． 【点睛】此题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件及二次根式的运算，掌握分式的各个运算法则、分式有意义的条件和分母有理化是解题关键． 19．如图，在中，的角平分线相交于点， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，由此即可求解； （2）如图所示，在上截取，可证，可得，，再证，由此即可求证． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴在中，； （2）证明：如图所示，在上截取， 由（1）可得，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 20．某校在调查八年级学生平均每天完成作业所用时间的情况时，从全校八年级学生中随机抽取了n名学生，把每名学生平均每天完成作业的时间t（分钟）分成五个时间段进行统计：A．，B．，C．，D．，E．，并制成如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)求n的值并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，时间段C所占的百分比为________，时间段D所对应的圆心角的度数等于______； (3)小颖同学经过分析得出一个推断：这组数据的众数落在时间段C．请你分析她的推断是否合理． 【答案】(1)n的值是50．条形统计图见解析 (2)， (3)不合理．理由见解析 【分析】（1）用时间段A的人数除以时间段A所求的百分比，可得n的值，再分别求出时间段B的人数，时间段D的人数，即可求解； （2）用时间段C的人数除以总人数可得时间段C所占的百分比；用时间段D所占的百分比乘以360°，可得时间段D所对应的圆心角的度数，即可求解； （3）根据从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，即可求解． 【详解】（1）解：因为在条形统计中时间段A的人数为4，在扇形统计图中时间段A占， 所以，． 答：n的值是50．   时间段B的人数为（名）， 时间段E的人数为（名）， 补全图形，如下图： （2）解：时间段C所占的百分比， 时间段D所对应的圆心角的度数等于， 故答案为：，； （3）解：不合理．理由如下： 从条形统计图中不能得到每名学生平均每天完成作业的时间，所以无法得到数据的众数，因此，小颖同学的推断不合理． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键． 21．某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元． （1）求每件甲、乙商品的进货价； （2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？ （3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元． 【分析】（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于8080元，且两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元． （2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品， 依题意，得：， 解得：50≤m≤52， 又∵m为正整数， ∴m可以取50，51，52， ∴共有3种进货方案： 方案1：购进50件甲商品，50件乙商品； 方案2：购进51件甲商品，49件乙商品； 方案3：购进52件甲商品，48件乙商品； （3）设获得的总利润为w元，则w＝100×10%m+60×25%（100﹣m）＝﹣5m+1500， ∵﹣5＜0， ∴w随m值的增大而减小， ∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣5×50+1500＝1250． 答：方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系与不等关系，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组以及利用一次函数的性质，解决最值问题． 22．将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键． （1）由题意可得，，，所以四边形时平行四边形，所以，分别过作于，于，则，可以证明，得到，所以是菱形； （2）菱形的面积为，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1， ， 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）解：∵是菱形， ， ， 当越大时，菱形的面积越大， 旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 23．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： (1)求该抛物线的解析式． (2)当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为 【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可； （2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 当时，； 令，则， 解得或（舍去）， ， 他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 24．已知四边形内接于，为的直径，，连接． (1)如图①，若D 为弧的中点，求，求和的大小： (2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求 的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出； （2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图①，连接．   四边形内接于，， ， 为的直径， ， ． 点为中点， ， ． 综上可知，． （2）解：如图②，连接，连接交于点． 为的直径， ， ， 为的切线， ，即， 点为中点，为过圆心的线段， ，即， ， 四边形是矩形， ． ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理及其推论，勾股定理，矩形的判定与性质，圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导． 25．【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 【答案】（1）①；90；②他的发现正确，理由见解析 （2）①，②10；（3） 【分析】（1）①根据图形可直接得到结论； ②首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转中线段的相等关系进行等量代换即可得到结论； （2）①由（1）得再求解即可； ②过作于，交延长线于，先根据有一组邻边相等的矩形是正方形证四边形是正方形．再设，利用（1）中②的结论，在中利用勾股定理可求出； （3）连接，过点H作，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再由三角函数求出得出，最后求解即可． 【详解】解：（1）①经过旋转后得到， 旋转中心是点；旋转角度最少是90度； 故答案为：，90； ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）①由（1）得 的周长， 故答案为：； ②如图，过作于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 是的中点， , ，由（1）中②的结论可得， 设，则， ， 在中，， ， 即， 故答案为：10； （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了图形的旋转、折叠问题，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形及勾股定理，是一道不错的综合题熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$