5.2.1等差数列（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.1等差数列 题型一 等差数列的判断 1．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 2．（24-25高二·全国·课堂例题）由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 【答案】C 【分析】结合已知根据等差数列定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列是公差为2d的等差数列. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确. 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义， 因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以， 因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 5．（24-25高二上·新疆·阶段练习）（多选）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，所以是公差为0的等差数列，故A正确； 对于B，当时，，所以是公差为5的等差数列，故B正确； 对于C，当时，，， 所以是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，当时，，所以不是等差数列，故D不正确. 故选：ABC. 题型二 求等差的数列的基本项 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）首项为3的等差数列满足，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列得到关于公差的方程，解得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意可得，，所以，解得． 故选：B. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 由，得，整理得，解得， 因此等差数列的通项公式， 所以. 故选：B 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为等差数列,,则等于（ ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式的推广公式求解即可. 【详解】因为为等差数列，所以, 故． 故选：A． 5．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件计算等差数列的首项和公差，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，，解得， ∴. 故选：B. 题型三 求等差的通项公式 1．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出数列的通项，求出. 【详解】由题意得， 所以. 故选：C, 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义知为首项为5，公差为的等差数列，进而求出通项公式. 【详解】依题意，，所以，即， 所以数列是首项为5，公差为的等差数列，所以. 故选：B 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知等差数列中，，公差，则 . 【答案】 【分析】由等差数列通项公式求出答案. 【详解】. 故答案为： 5．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）若数列中，，且，则其通项公式 . 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的定义及通项公式即可求解. 【详解】因为数列中，，且， 即， 所以数列是以3为首项，以5为公差的等差数列， 则其通项公式. 故答案为：. 题型四 等差中项 1．（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理求出方程的两根，再根据等差中项的定义即可得解. 【详解】设方程的两根为，则， 所以方程的两根的等差中项为. 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】解：因为等差数列的前3项分别为， 所以，解得． 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以 ， 故选：A 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 5．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【分析】由已知结合等差中项公式即可求解. 【详解】因为三个数19，，31成等差数列， 所以 . 故答案为：5 题型五 等差数列的证明 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【详解】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可得证； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得解. 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 3．（24-25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据递推关系可求，； （2）将题设的递推关系整理为后可证明是等差数列，从而可求的通项公式. 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题设递推式写出，； （2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论； （3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式. 【详解】（1）解：由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【详解】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 题型六 等差数列的性质 1．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知在等差数列中，，则（    ） A．8 B．16 C．20 D．17 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得：， 解得， 故选：A． 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，若，，则该数列的公差为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】等差数列中，设公差为， 则， 故. 故选：D 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列通项公式可得答案. 【详解】设公差为d，由题，. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，，则＝ 【答案】78 【分析】利用等差数列的等和性可得可计算. 【详解】在等差数列中，， 则. 故答案为：. 题型七 对称设元法巧解等差数列 1．（20-21高二·全国·课后作业）三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 【答案】 【分析】设三数依次为，为公差，由已知列方程求即可. 【详解】由等差数列，设三数依次为，为公差． 由题意得：，解得． 故答案为： 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 【答案】，2，6或6，2， 【分析】先根据等差数列设出三个数，再根据条件得出方程计算即可. 【详解】 设这三个数分别为．由题意可得 解得或 故所求三个数为，2，6或6，2，． 故答案为：或. 3．（20-21高二·全国·课后作业）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 【答案】三个数为－2，2，6或6，2，－2. 【分析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.列方程组求出这三个数. 【详解】设这三个数分别为a－d，a，a＋d. 由题意可得 解得或 ∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2. 4．（22-23高二下·全国·课后作业）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数. 【答案】 【分析】方法一：设这四个数为（公差为2d），列出方程，求出公差和，得到答案； 方法二：设这四个数为（公差为d），列出方程，求出公差和，得到答案. 【详解】方法一：设这四个数为（公差为2d）， 依题意，，且， 解得， 又四个数成递增等差数列，所以， ∴，故所求的四个数为. 方法二：若设这四个数为（公差为d）， 依题意，，且， 把代入， 得，解得或. 又四个数成递增等差数列，所以， 所以，. 故所求的四个数为. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【答案】11，8，5，2 【分析】设出成等差数列的4个数，再根据给定条件列出方程组求解即得. 【详解】设这四个数为，，，（公差为2d）， 依题意，得，解得或， 又四个数成递减的等差数列，即，因此． 所以所求的四个数为11，8，5，2. 题型八 等差数列的单调性 1．（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【分析】写出的通项公式，结合各项写出的通项公式，利用所得通项公式对应函数性质判断单调性、等差数列的通项公式判断等差数列. 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 4．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据可判断A；举反例可判断B，C；结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 5．（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 题型九 等差数列的实际应用 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，其中是桁，是脊，是相等的步，相邻桁的脊步之比分别为，已知成公差为0.2的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】C 【分析】根据题意将题目转化为等差数列，按照等差数列性质计算即可. 【详解】设，则， 由题意得，， 解得， 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东揭阳·期末）“营老爷”是潮汕地区一项传统民俗活动.年，潮汕某地举行了历史悠久的三年一度“营老爷”大巡游，按照这“三年一度”的规律，该地有可能进行“营老爷”大巡游的时间是（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】由题意可知，该地有可能进行“营老爷”大巡游的年份为，逐项判断即可. 【详解】由题意可知，该地有可能进行“营老爷”大巡游的年份为， 对于A选项，，且不是的倍数，A不合乎题意； 对于B选项，，且不是的倍数，B不合乎题意； 对于C选项，，且不是的倍数，C不合乎题意； 对于D选项，，且是的倍数，D合乎题意. 故选：D. 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 . 【答案】135 【分析】根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列通项公式结合范围计算求解可得结果． 【详解】被3除余2且被5除余4的数构成首项为14， 公差为15的等差数列，记为， 则， 令 ，解得． ∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列，则该数列的项数是135． 故答案为：135． 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了如下图所示的“正方形筛子”，又称森德拉姆筛. 10 13 16 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … (1)试求这个“筛子”中的第8行第6列的数及第行第列的数； (2)这个正方形筛子的奥妙在于：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数；如果某个自然数没有出现在表中，那么肯定是质数.证明：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数） 【答案】(1)， (2)根据即可求解. 【分析】（1）利用表中数阵给出的信息，第行的等差数列的公差为，第列的等差数列的公差等于，即可求解，进而求解. （2）根据即可求解. 【详解】（1）根据表中数据可知：第行的等差数列的公差为，第列的等差数列的公差等于， 因为第6列的数构成了以19为首项，13为公差的等差数列，所以， 第一列是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以第行的第一个数是， 第一行的公差为3，第二行的公差为5，第三行的公差为7，……第行的公差为， 所以第行的第个数是， （2）由（1）知， 若某个自然数出现在表中，则存在正整数使得， 故， 由于位正整数，故大于1的正整数，因此肯定不是质数. 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知等差数列，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】设等差数列的公差为，则. 当时，， ∴由可得. 当时，，恒成立，不能得到， ∴由不能得到， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知数列的首项，且满足．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推关系变形，可得出是等差数列，据此可得解. 【详解】因为，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列， 则， 故，所以． 故选：C 5．（24-25高二上·陕西安康·期末）设数列满足，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知再写出，相减得出数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6，因此等价于，解之可得结论． 【详解】，则， 两式相减得， 所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6， 所以等价于， 又，，， 所以，解得， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.1等差数列 题型一 等差数列的判断 1．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（24-25高二·全国·课堂例题）由公差的等差数列组成一个新的数列，下列说法正确的是（   ） A．新数列不是等差数列 B．新数列是公差为d的等差数列 C．新数列是公差为2d的等差数列 D．新数列是公差为3d的等差数列 3．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 4．（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 5．（24-25高二上·新疆·阶段练习）（多选）已知下列数列的通项公式，其中是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求等差的数列的基本项 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）首项为3的等差数列满足，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）若公差为的等差数列满足，，则n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为等差数列,,则等于（ ） A．9 B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 求等差的通项公式 1．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）数列是以2为首项，3为公差的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知等差数列中，，公差，则 . 5．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）若数列中，，且，则其通项公式 . 题型四 等差中项 1．（24-25高二上·新疆·阶段练习）方程的两根的等差中项为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前3项分别为，则的值为（   ） A．0 B．2 C．4 D．9 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 5．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 题型五 等差数列的证明 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 2．（24-25高二下·全国·课后作业）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 3．（24-25高二上·河南开封·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 题型六 等差数列的性质 1．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知在等差数列中，，则（    ） A．8 B．16 C．20 D．17 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，若，，则该数列的公差为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，，则 ． 5．（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，，则＝ 题型七 对称设元法巧解等差数列 1．（20-21高二·全国·课后作业）三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为，则这三个数为 ． 3．（20-21高二·全国·课后作业）三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 4．（22-23高二下·全国·课后作业）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 题型八 等差数列的单调性 1．（20-21高二·全国·课后作业）设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 2．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 4．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 5．（2024高二·全国·专题练习）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 题型九 等差数列的实际应用 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，其中是桁，是脊，是相等的步，相邻桁的脊步之比分别为，已知成公差为0.2的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 3．（24-25高二上·广东揭阳·期末）“营老爷”是潮汕地区一项传统民俗活动.年，潮汕某地举行了历史悠久的三年一度“营老爷”大巡游，按照这“三年一度”的规律，该地有可能进行“营老爷”大巡游的时间是（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 4．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是 . 5．（24-25高二上·江苏南京·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了如下图所示的“正方形筛子”，又称森德拉姆筛. 10 13 16 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … (1)试求这个“筛子”中的第8行第6列的数及第行第列的数； (2)这个正方形筛子的奥妙在于：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数；如果某个自然数没有出现在表中，那么肯定是质数.证明：如果某个自然数出现在表中，那么肯定不是质数.（质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数） 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知等差数列，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知数列的首项，且满足．则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西安康·期末）设数列满足，且，则的取值范围为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$