4.2.2 等差数列的前n项和公式（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 等差数列前n项和基本量计算 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则（    ） A．55 B．60 C．65 D．70 2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．52 B．54 C．56 D．58 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．240 B．180 C．120 D．60 题型二 等差数列线段和性质 1．（23-24高二上·湖北·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 2．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济宁·月考）在等差数列中，其前项和为，已知，，则 . 4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 题型三 等差数列前n项和与n的比值 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 2．（23-24高三上·河南周口·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 4．（23-24高二上·河北邯郸·月考）等差数列中，，前项和为，若，则 . 题型四 两个等差数列前n项和的比值 1．（23-24高二上·四川遂宁·月考）已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建龙岩·月考）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 等差数列奇数项与偶数项的和 1．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（    ） A．100 B．105 C．90 D．95 2．（23-24高二上·湖南常德·月考）已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 . 3．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ． 4．（1）若一个等差数列共有2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比． （2）若一个等差数列的前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为，求公差d． 题型六 含绝对值的等差数列的前n项和 1．（23-24高二下·江西南昌·月考）已知数列的前n项和，且的最大值为． (1)确定常数，并求； (2)求数列的前15项和． 2．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足，，设的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求． 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 4．（24-25高二上·江苏镇江·月考）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型七 等差数列前n项和的最值 1．（23-24高二上·山东新泰·月考）已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时，n的值是（ ） A．23 B．13 C．14 D．12 2．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 3．（24-25高二上·江苏镇江·月考）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·广东肇庆·月考）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 题型八 等差数列前n项和的实际应用 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ） A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层 2．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 3．（23-24高二上·福建福州·期末）中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（    ） A．35石 B．48石 C．61石 D．74石 4．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 .（注：一丈=十尺，一尺=十寸） 1．（23-24高二上·云南昆明·月考）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·月考）已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）（多选）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 5．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2024项的和为 . 6．（23-24高二上·江苏南通·月考）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 等差数列前n项和基本量计算 1．（23-24高二上·北京丰台·期末）公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则（    ） A．55 B．60 C．65 D．70 【答案】C 【解析】因为公差为的等差数列的首项为，且满足， 所以，即， 所以.故选：C 2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 【答案】B 【解析】依题意，设等差数列的公差为， 则由，得，解得， 所以.故选：B. 3．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．52 B．54 C．56 D．58 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 则由题意得，解得， 所以， 所以．故选：A. 4．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．240 B．180 C．120 D．60 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， ， .故选：A 题型二 等差数列线段和性质 1．（23-24高二上·湖北·期中）已知为等差数列，若，则=（    ） A．73 B．120 C．121 D．122 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 则， 所以.故选：B 2．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在等差数列中，，，成等差数列，即， 设，则， 于是，解得，所以．故选：A 3．（23-24高二上·山东济宁·月考）在等差数列中，其前项和为，已知，，则 . 【答案】5 【解析】因为是等差数列，所以，，也成等差，所以， 所以. 故答案为：5 4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【解析】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则，所以. 题型三 等差数列前n项和与n的比值 1．（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 【答案】B 【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以.故选：B. 2．（23-24高三上·河南周口·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， .故选：D. 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（    ） A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018 【答案】A 【解析】因为为等差数列的前项和， 令，则也为等差数列，设其公差为， 由得， 又得.故选：A． 4．（23-24高二上·河北邯郸·月考）等差数列中，，前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为， 故，故为常数， 所以为等差数列，设公差为 ，， ，， ，则 故答案为： 题型四 两个等差数列前n项和的比值 1．（23-24高二上·四川遂宁·月考）已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 . 【答案】15 【解析】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得，解得 又是整数，即是整数， 设，故，即，解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 故答案为：15 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两个等差数列，的前项和分别为，且， 根据等差数列的求和公式，可得.故选：C. 3．（23-24高二上·福建龙岩·月考）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ，故选：C. 4．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则， 因为，所以， 因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 所以，故选：C 题型五 等差数列奇数项与偶数项的和 1．（23-24高二上·甘肃定西·月考）已知等差数列共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为（    ） A．100 B．105 C．90 D．95 【答案】A 【解析】由， 有，偶数项的和为100．故选：A 2．（23-24高二上·湖南常德·月考）已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为， 由题知， ， 两式相减，可得， 故答案为：. 3．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ． 【答案】11；7 【解析】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， ，即为所求中间项． 故答案为：①11；②7. 4．（1）若一个等差数列共有2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比． （2）若一个等差数列的前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为，求公差d． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依题意，等差数列共有1006个奇数项，1005个偶数项． 则，，而， 于是，所以它的奇数项和与偶数项和之比为. （2）依题意，在等差数列的前20项中，奇数项和，偶数项和， 又，所以. 题型六 含绝对值的等差数列的前n项和 1．（23-24高二下·江西南昌·月考）已知数列的前n项和，且的最大值为． (1)确定常数，并求； (2)求数列的前15项和． 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）由数列的前n项和， 根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值， 即，解得，所以，     当时，， 当时，（符合上式）， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 且当且时，可得；当且时，可得， 所以数列的前15项和：． 2．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足，，设的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)求； (3)求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）当时，, 当时，. 时，上式亦成立. 所以. （2）又，所以时，，所以. （3）当时，所以. 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值； (3)设，求． 【答案】(1)；(2)36；(3) 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为， 则，解得，则， 故， ∴通项公式为； （2）由（1）可得前项和， ∴当时，取最大值； （3）∵， ∴当时，得， 即时有，时有， 当时，， 当时， ， 综上所述. 4．（24-25高二上·江苏镇江·月考）已知等差数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，可得, 令，即，解得， 所以，当时，；当时，， 因为，且数列的前项和， 当时，； 当时， ， 综上可得，数列的前项和. 题型七 等差数列前n项和的最值 1．（23-24高二上·山东新泰·月考）已知等差数列的前项和为，若，则取得最大值时，n的值是（ ） A．23 B．13 C．14 D．12 【答案】D 【解析】因为是等差数列，且， 所以，， 即，所以，， 因为，所以等差数列是递减数列， 所以当时，取得最大值.故选：D. 2．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．中最大 【答案】D 【解析】因为， 所以， 又， 所以，则， 所以等差数列单调递减，中最大.故选：D 3．（24-25高二上·江苏镇江·月考）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意知：，则，解得， 所以， 所以当或时，取最小值.故选：D. 4．（23-24高二上·广东肇庆·月考）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 【答案】(1)；(2)有最小值，没有最大值. 【解析】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，，解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知， 所以，对称轴为， 所以当时，有最小值，没有最大值. 题型八 等差数列前n项和的实际应用 1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（    ） A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层 【答案】D 【解析】设该塔共有层， 则， 即，解得或（舍）， 即该塔共有层.故选：D 2．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 【答案】D 【解析】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有，解得， 则.故选：D. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（    ） A．35石 B．48石 C．61石 D．74石 【答案】C 【解析】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列， 由题意，是以为公差的等差数列，且，解得． 故正二品分得俸粮的数量为（石）．故选：C 4．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为 .（注：一丈=十尺，一尺=十寸） 【答案】二尺五寸（或2.5尺） 【解析】由题意知：从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为， 因为冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸， 所以，解得，， 所以芒种日影长为（寸），即二尺五寸. 故答案为：二尺五寸（或2.5尺） 1．（23-24高二上·云南昆明·月考）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20.故选：B. 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·月考）已知是等差数列的前n项和，是数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的首项为，公差为， 则，则， 则， 故为公差为的等差数列， 又，所以，解得， 又，解得， 故故为首项为，公差为的等差数列， 所以.故选：A 3．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故.故选：D. 4．（23-24高二下·山东青岛·期中）（多选）等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】等差数列中，，设公差为， 若，则，A正确； 若，，则，得， ，B正确； 若，，所以公差， 当时，有，则有， 当时，有，得， 所以，则有，C错误； 若，则， 因为，所以，D正确．故选：ABD． 5．（23-24高二上·甘肃甘南·期中）已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2024项的和为 . 【答案】7891 【解析】在数列中，在的前面的所有项的项数为， 当时，，即在的前面的所有项的项数为2015， 又在与之间共有63个2， 所有数列的前2024项中包含数列的项有63项， 中间插入2的数量为， 所有数列的前2024项和为. 故答案为：7891. 6．（23-24高二上·江苏南通·月考）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时， 当时， 所以. （2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0， 当时，， 当时， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$