5.1数列基础（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.1数列基础 题型一 数列的概念与辨析 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 2．（2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 5．（24-25高二·全国·课堂例题）已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 题型二 根据规律写出数列中的确定项 1．（24-25高二下·云南大理·开学考试）已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（    ） A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 2．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 3．（22-23高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 4．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）把正奇数按下表排列，则2025在表中是第 行第 列． 题型三 由数列通项公式确定某项 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的通项公式为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 2．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 5．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 题型四 由数列递推公式确定某项 1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若数列满足，则，则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（24-25高二下·福建·阶段练习）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若数列满足，，则 ． 题型五 由数列的前几项确定通项公式 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林通化·开学考试）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津河西·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，； (2)，，，，； (3)，，，，. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)9，99，999，9 999，….； (3)0，1，0，1，…； (4)． 题型六 Sn与an的关系求通项公式 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知为数列的前项和，且（），则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽亳州·阶段练习）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 3．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的前项和为，，则 . 4．（24-25高二下·吉林·阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 . 5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 题型七 数列的单调性与最值 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）(多选)下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·广西南宁·开学考试）(多选)下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·广东梅州·期末）(多选)已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 题型八 数列的单调性求参数 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西·阶段练习）若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西景德镇·阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）(多选)已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1数列基础 题型一 数列的概念与辨析 1．（24-25高二上·江苏苏州·期中）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（    ）个奇数 A．1012 B．1348 C．1350 D．1352 【答案】C 【分析】对数列中的数进行归纳，发现规律，结合题意得到答案. 【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数， 又，故该数列前2024项有个奇数. 故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法中，不正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【分析】根据数列的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误. 故选：ABD. 5．（24-25高二·全国·课堂例题）已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3），…； （4）1，0.2，，，…； （5）0，－1，0，…，，…． 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，递减数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 ．（填序号） 【答案】 （1） （2）（3）（4）（5） （3） （4） （1） （2）（5） 【分析】利用有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义逐个分析判断即可. 【详解】（1）是常数列且是有穷数列； （2）是无穷摆动数列； （3）是无穷递增数列（因为）； （4）是无穷递减数列； （5）是无穷摆动数列． 故答案为：（1）；（2）（3）（4）（5）；（3）；（4）；（1）；（2）（5）. 题型二 根据规律写出数列中的确定项 1．（24-25高二下·云南大理·开学考试）已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（    ） A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 【答案】C 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 3．（22-23高二下·广东佛山·期中）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（    ） A．22 B．30 C．37 D．46 【答案】B 【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得. 【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为， 第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为， 则第个“拐角数”为． 对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意； 对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是， 则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意； 对于D：第9个“拐角数”是，故D不合题意． 故选：B. 4．（23-24高二下·浙江·期中）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第18项 D．200不是数列中的项 【答案】B 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可判断各选项. 【详解】由此数项的前10项的规律可知， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于AB，，所以A错误，B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D，若200中偶数项，则，得， 所以200是此数列的第20项，所以D错误， 故选：B 5．（24-25高二上·河南·阶段练习）把正奇数按下表排列，则2025在表中是第 行第 列． 【答案】 【分析】根据图表先找出特点，找出第n个分组的最后一项为，再逐次去查即可得到结果. 【详解】将所有的正奇数分组如下：，，，…， 其中第组有个数，且每个分组的最后一项为． 由，可得，故2025属于第32组，第32组第一个数为1923，最后一个数为2047， 且在数表中1923~1985在第32行，1985~2047在第32列，从2047往下数到2025是第12个，故2025在第12行第32列． 故答案为：12；32 题型三 由数列通项公式确定某项 1．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的通项公式为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用通项公式的意义求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）数列的第5项为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入计算即可得结果. 【详解】解：数列的第5项为. 故选：C 3．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的通项公式为，去掉数列中所有的，得到新数列，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，由数列的通项公式可得数列的前9项，又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项，分析计算可得答案. 【详解】根据题意，数列的通项公式为， 则， 又由是将中所有能被3整除的项去掉后剩余的项， 则 故选: 4．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知数列的一个通项公式为，且，则（   ） A．1 B．2 C．26 D．80 【答案】D 【分析】由，代入通项公式求得，即可求解； 【详解】因为，代入通项公式可得：， 解得，所以， 所以， 故选：D 5．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故选：C 题型四 由数列递推公式确定某项 1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若数列满足，则，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求出的前5项，得到为周期数列，一个周期为4，故. 【详解】，，， ， 故为周期数列，一个周期为4，故. 故选：D 2．（24-25高二下·广东梅州·阶段练习）数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据已知分奇偶应用递推公式计算即可. 【详解】因为数列满足，， 所以，，， 故选：C. 3．（24-25高二下·福建·阶段练习）在数列中，，且，则（   ） A．3 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出. 【详解】数列中，，且， 则，，，，，， 所以，即数列是以4为周期的数列， 所以 ， 故选：A． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中递推公式逐项计算出、、、的值，即可求得的值. 【详解】在数列中，，，则，可得， ，可得，，可得， ，可得，，可得， ，可得，，可得， ，可得，，可得， 因此，. 故选：A. 5．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）若数列满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用累乘法求得数列通项公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 显然，满足上式，故. 故答案为：. 题型五 由数列的前几项确定通项公式 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【详解】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2．（24-25高二下·吉林通化·开学考试）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定数列的前几项，利用观察法求出通项公式. 【详解】前4项的整数部分依次为， 则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂， 则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结， 所以. 故选：D 3．（24-25高二上·天津河西·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可. 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，； (2)，，，，； (3)，，，，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得； （2）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得； （3）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得. 【详解】（1）因为，，，， 所以符合条件的一个通项公式是. （2）因为，，，， 所以符合条件的一个通项公式是. （3）这个数列的前项可写为，，，， 所以它的一个通项公式为. 5．（24-25高二下·全国·课堂例题）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)9，99，999，9 999，….； (3)0，1，0，1，…； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式； （2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式； （3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式； （4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果. 【详解】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）依题意，， 所以符合条件的一个通项公式是. （3）数列前4项依次化为：， 所以符合条件的一个通项公式是. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 题型六 Sn与an的关系求通项公式 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知为数列的前项和，且（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的关系求解即可. 【详解】因为，又， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·安徽亳州·阶段练习）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 【答案】 【分析】利用,可求出时,的表达式,然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时,, 当时,, 显然不符合, 故通项公式. 故答案为：. 3．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 4．（24-25高二下·吉林·阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且S1+S2+…+Sn=3n+5，则数列{an}的通项公式 . 【答案】 【分析】由于所给递推关系是，可先利用作差法求出，再利用一次作差法求的通项公式. 【详解】∵①， ∴当时，，即，； 当时，，即，将代入并整理得，． 当时，②， 由①－②得，，∴， 因此，当时，， 当时，，∴在时不成立， 故. 5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，结合前项和的意义，求出即可得解. 【详解】在数列中，由，得，则， 由，得， ，所以. 故答案为： 题型七 数列的单调性与最值 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和判断的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 2.（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 3.（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）(多选)下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】时，比较与的大小， 对于A，， 所以数列是递增数列，A正确； 对于B，， 所以数列是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列是递减数列，C错误； 对于D，， 所以数列是递增数列，D正确. 故选：AD 4.（24-25高二下·广西南宁·开学考试）(多选)下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列的通项公式及递推关系，结合相关函数的区间单调性依次判断各项的正误. 【详解】A：函数在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 而，易知在上单调递增，符合； B：函数在在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 又，故在上单调递增，符合； C：由，故在上单调递增，符合； D：对于，当时在上单调递减，不符合. 故选：ABC 5.（24-25高二上·广东梅州·期末）(多选)已知，关于数列，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．恒成立 D．数列是递增数列 【答案】ACD 【分析】由通项公式通过赋值，作差逐个判断即可； 【详解】，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 题型八 数列的单调性求参数 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调递增的性质得到恒成立，进而求出的取值范围. 【详解】因为是单调递增数列，所以对任意恒成立. 已知，则. 所以. 化简不等式 对进行化简： ， 则，移项可得. 因为对任意恒成立，即要小于的最小值. 因为，那么随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出. 【详解】因为对于任意都有， 所以数列单调递减，可得， 当时，若，单调递减， 而时，单调递减，只需，解得， 当时，若，单调递增，不符合题意， 综上: 实数的取值范围为, 故选：C 3．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据递增数列的性质.然后通过已知的数列通项公式求出的表达式，再根据该表达式大于对恒成立这一条件，求出的取值范围. 【详解】已知，那么. 所以. 化简后得到. 因为是递增数列，所以对恒成立， 即对恒成立.这意味着对恒成立. 对于函数，，越大，的值越小. 当时，取得最大值，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的单调性求解即可. 【详解】数列是单调递减数列， 故，即 且，故. 故选：A 5．（24-25高二下·江西·阶段练习）若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论n为奇数和n为偶数，结合数列的单调性可得t的取值范围. 【详解】∵数列是递减数列， ∴当n为奇数时，，即， 整理得，， ∴，故， ∵时，，∴，即. ∵数列是递增数列， ∴当n为偶数时，，即， 整理得，， ∴，故， ∵时，，∴，即. 综上得，的取值范围是． 故选：C. 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8，从而确定前2025项中被3除余1的项数即可求得概率. 【详解】根据斐波那契数列的定义知，数列：， 被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 余数依次排成一列构成以8为周期的周期数列，， 所以数列的前2025项中被3除余1的项数为， 所以所求概率为. 故选：C 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 3．（24-25高二下·江西景德镇·阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为且数列为递增数列， 所以，，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）(多选)已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过给定的递推公式求出数列的前几项，进而找出数列的周期规律，计算即可. 【详解】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有. 故选： AD. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以 ，故. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$