4.1 等差数列（第1课时）（十一大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.1 等差数列（第1课时） 题型1：等差数列的定义 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的 都等于 ，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的 ．公差通常用小写字母 表示． 【答案】 差 同一个常数 公差 d 【分析】略． 【解析】如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用小写字母d表示． 故答案为：差，同一个常数，公差，. 2．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【分析】由等差数列定义逐项判断即可得. 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 3．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 题型2：定义法解等差数列 4．已知等差数列满足，，则通项公式为 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可. 【解析】设等差数列的公差为，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 5．在数列中，，且，则 . 【答案】7 【分析】根据条件判断等差数列再根据通项公式计算. 【解析】由已知得，所以为等差数列公差为2， 所以. 故答案为：7. 6．数列，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的定义和通项即可得到答案. 【解析】当时，，则， 则， 故答案为：. 题型3：等差数列通项公式的基本量计算 7．等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算即可. 【解析】设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以. 故答案为：. 8．已知数列为等差数列，，，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出. 【解析】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，即，解得， 所以， 故答案为： 9．在等差数列中，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等差数列的定义和性质整理可得，进而化简整理即可得结果. 【解析】设等差数列公差为， 因为，即， 整理得， 所以． 故答案为：. 题型4：由递推关系证明并求解等差数列 10．已知数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由等差数列定义与通项公式可得，再求即可. 【解析】因为，且， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以有，， 则. 故答案为：. 11．已知数列满足，，记，则 【答案】59 【分析】根据题中递推关系可得，从而得数列为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可. 【解析】由题意得为偶数，则， 所以， 即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 则， 所以． 故答案为：. 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】变形得到，从而是等差数列，利用等差数列通项公式得到，从而得到答案. 【解析】由， 得，故数列是等差数列． 所以，所以． 故答案为： 13．已知数列满足，，则 . 【答案】/ 【分析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解. 【解析】由，得，，又， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，即， 所以. 故答案为：. 14．已知数列满足，且，则 ． 【答案】 【分析】对两边同时取倒数，得到，求出通项公式. 【解析】对两边同时取倒数，所以，则， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，所以， 所以． 故答案为： 15．已知和都是等差数列，的公差为2，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得化简得，从而可得，从而可求解. 【解析】为等差数列，，即， ， 即，解得或， 又因为，所以所以. 故答案为： 题型5：等差中项及其应用 16．和8的等差中项是 ． 【答案】3 【分析】由等差中项定义求解即可. 【解析】由等差中项定义可知，和8的等差中项为. 故答案为：3 17．已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【分析】由已知结合等差中项公式即可求解. 【解析】因为三个数19，，31成等差数列， 所以. 故答案为：5 18．已知647 和 895的等差中项为，则 . 【答案】 【分析】由等差中项的定义运算可得. 【解析】因为647 和 895的等差中项为A， 则，所以. 故答案为：. 19．设，若与的等差中项是2，则的最小值为 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可求解. 【解析】因为与的等差中项是2，可得， 即，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 20．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【分析】由已知可设，，根据等差数列通项公式及对数运算公式可得，由，可得或，分别代入可得数列通项公式，进而可得解. 【解析】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 题型6：等差数列的性质 21．在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【解析】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 22．已知在等差数列中，，则 ． 【答案】26 【分析】由等差数列的性质可得，可求. 【解析】因为数列是等差数列，所以， 所以，则． 故答案为：. 23．已知正项等差数列满足，则 . 【答案】1 【分析】根据等差数列下标和性质可得，即可得结果. 【解析】因为为等差数列，且， 则，即， 且，所以. 故答案为：1. 24．在等差数列中，若公差，且，则 . 【答案】60 【分析】从所求式与已知式之间的关系出发将用条件表示即可求得. 【解析】， ， ∴. 故答案为：60. 25．在等差数列中，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【解析】等差数列中，， 因为, 所以. 故答案为：. 26．已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 【答案】A 【分析】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出. 【解析】若，由题意知， 由等差数列的性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 若，可得， 由等差数列性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 故选：A 题型7：等差数列衍生的等差数列 27．若是公差为1的等差数列，则数列 （选填“是”或“不是”）等差数列．若是等差数列，则公差为 ． 【答案】 是 6 【分析】由，根据等差数列和差倍分的性质判断数列性质. 【解析】由题设，，而公差为2，则是公差为6的等差数列， 所以是等差数列，且公差为6. 故答案为：是，6 28．在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，结合不等式的“乘1法”即可求解. 【解析】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：C. 29．已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是 ①   ②   ③   ④ 【答案】① ② ③ 【分析】根据等差数列的通项公式及单调性判断各项是否等差数列即可. 【解析】令的公差为，则， ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； 若，则先递减，后递增，不可能为等差数列. 故答案为：① ② ③ 题型8：等差数列的单调性 30．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【解析】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 31．在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围. 【解析】依题意可得，则 又等差数列各项为正，则，所以． 故答案为： 32．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解析】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 33．已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【解析】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 34．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【解析】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 35．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为 . 【答案】33 【分析】数列均为等差数列，则通项公式为关于的一次函数，，则必定为关于的二次函数，然后借助已知条件求出通项公式，解不等式即可. 【解析】由等差数列的通项公式性质，知道必定为关于的二次函数，且，， 则为二次函数顶点. 设，将代入，知， 则，当时，单调递减， 计算知道，而， 故的最大值为：33. 故答案为：33． 36．在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】 根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【解析】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 37．设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【解析】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 题型9：等差数列的实际应用 38．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为 尺. 【答案】2.5/ 【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解. 【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列， 则立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺， 所以立夏当日日影长为尺. 故答案为：. 39．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【解析】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 40．某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据已知设等差数列及公差，基本量运算得出通项公式，再应用列不等式组计算即可 【解析】设该设备使用年后，设备的价值为万元， 则可得数列，由已知可得，即公差为， 因为购进价格为220万元，所以， 所以， 由题可知 即 解得． 故答案为：． 题型10：等差数列的综合应用 41．已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】化简条件式得到，利用等差数列的通项公式化简得，把原不等式转化为恒成立，结合基本不等式和对号型函数性质，即可求解. 【解析】由，，可得， 整理得，， 所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列. ，则， 又由恒成立，即，对恒成立， 令， 当且仅当，即时等号成立，又， 当时，，当时，， 由对勾函数的单调性，得，所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 42．数列满足，若不等式 恒成立，则正整数的最大值为 . 【答案】35 【分析】利用给定的递推关系得到进而得到不等式，求解参数范围即可. 【解析】由得 由得 两边平方得 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即 因为所以那 可得则正整数的最大值为35. 故答案为：35 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用给定递推关系结合等差数列定义得到然后得到，最后建立不等式得到所要求的参数值即可． 43．在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 【答案】11 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【解析】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 44．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由正弦函数的性质确定t的可能取值，按照t的取值分类讨论，即可求解. 【解析】由函数的性质可得，若原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列， 可得或， 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最大值点， 所以，所以，该方程无解； 同理当时，也不合题意； 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最零点， 所以，所以； 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题： （1）原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列，确定t的可能取值； （2）按照t的取值分类讨论，根据正弦函数的图象与性质，结合区间长度的关系得出满足的条件； （3）解方程组即可求解. 45．函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为 【答案】 【分析】由绝对值的意义可得的分段函数式，根据为等差数列，对分，，进行讨论，结合函数解析式和等差数列的性质，即可得到结论． 【解析】，因为为等差数列， (1)若，此时， 满足条件. (2)若，则 ①若，则， 由，得，解得，不合题意. ②若，则 由，得解得：，不合题意； (3)若，， ①若，则 由，得解得：，不合题意. ②若，则， 由，得解得：，符合题意， 此时，，，， ，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的增减性，解答本题的关键是分类讨论思想的准确应用，属于难题. 题型11：解答题 46．已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】证明见解析；. 【分析】根据等差数列的定义即可求证，进而可求解通项. 【解析】由，得， 又，所以数列是首项为、公差为的等差数列. 于是，由，解得. 47．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【解析】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． 48．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则答案可求； （2）由恒成立，得对一切恒成立，求出的最小值即可得答案. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 49．已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【解析】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 50．已知函数． (1)若曲线过点，求的解集； (2)若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，根据函数的单调性以及定义域列不等式组来求得正确答案. （2）根据等差数列的性质列方程，利用分离常数法，以及基本不等式求得的取值范围. 【解析】（1）若曲线过点，则， 所以，所以，在上单调递增， 所以不等式等价于， 解得，所以不等式的解集为. （2）依题意，存在使得，，成等差数列， 所以存在使得，且， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 即存在使得， 而当且仅当时等号成立， 所以的取值范围是. 51．已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 【答案】(1)，6，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“应联数组”的定义，求出，，，得； （2）由“应联数组”的定义，有，化简得证，，成等差数列； （3）由“应联数组”的定义，有，化简可得. 【解析】（1）数组，3，1，，，， ，，得，，得， 所以，6，. （2）证明：由定义知，，，， ，…，， 所以， 即， 即，所以，，成等差数列. （3）证明：，，，…，， 由于为偶数， ， 即，所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 一、填空题 1．某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：届班号学生的登陆码为．（为表中第行第一个数的个位数字）．则届班号学生的登录码为 ． 【答案】 【分析】设第第一个数为，则，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，计算出的个位数，即可得解. 【解析】注意到，第行的前两个数之差为， 设第第一个数为，则， 等式两边同时除以可得，且， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列，则， 所以，，， 的个位数为：、、、、、的规律， 所以，的个位数呈周期性变化，且周期为， ，即的个位数为，故的个位数为， 因此，届班号学生的登录码为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：当出现时，即在等式两边同时除以，可得出，利用累加法可求得数列的通项公式. 2．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由经过整理可得到为等差数列，求得，代入不等式可得到，所以构造，求其最小值即可得答案 【解析】因为，所以， 所以,即 , 且，所以数列为首项为2，公差为1的等差数列， 所以，， 不等式恒成立，整理得恒成立, 令，则， 因为，，，，当时，， ，， 故答案为： 二、单选题 3．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 【答案】C 【分析】利用二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可. 【解析】该数列的一阶差数列为3，6，10，15，，则二阶差数列为3，4，5，， 因为二阶差数列是等差数列，故二阶差数列后面的项为6，7，8，， 所以一阶差数列后面的项为21，28，36，， 从而原数列后面的项为57，85，121，，故． 故选：C 4．已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列，下列判断正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题， ②是假命题 D．①是假命题， ②是真命题 【答案】D 【分析】①假设为递增数列，为常数列即可判断命题真假；②根据等差数列通项公式列方程，结合等差数列定义判断即可判断. 【解析】①若为递增数列，为常数列，则都为递增数列，故为假命题； ②若、、分别为的公差， ，则，可得， 所以为等差数列，同理可得也为等差数列，故为真命题. 故选：D 三、解答题 5．在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. (1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求； (2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“泛差”，联立得，解出即可. （2）由题，升次作差得，结合，整体代入可得，即可写出其通项. 【解析】（1）“泛差”，， ，，，联立三式得， 化简得，解得. （2），则， 由，① ，② ②①得， 即， 且. 所以为等差数列，首项为，公差为， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1 等差数列（第1课时） 题型1：等差数列的定义 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的 都等于 ，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的 ．公差通常用小写字母 表示． 2．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 3．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 题型2：定义法解等差数列 4．已知等差数列满足，，则通项公式为 . 5．在数列中，，且，则 . 6．数列，则 ． 题型3：等差数列通项公式的基本量计算 7．等差数列中，若，则的值为 ． 8．已知数列为等差数列，，，则 . 9．在等差数列中，，且，则 ． 题型4：由递推关系证明并求解等差数列 10．已知数列中，，，则 . 11．已知数列满足，，记，则 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 13．已知数列满足，，则 . 14．已知数列满足，且，则 ． 15．已知和都是等差数列，的公差为2，且，，则 ． 题型5：等差中项及其应用 16．和8的等差中项是 ． 17．已知三个数19，，31是等差数列，则 . 18．已知647 和 895的等差中项为，则 . 19．设，若与的等差中项是2，则的最小值为 20．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 题型6：等差数列的性质 21．在等差数列中，已知，则 ． 22．已知在等差数列中，，则 ． 23．已知正项等差数列满足，则 . 24．在等差数列中，若公差，且，则 . 25．在等差数列中，则 . 26．已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 题型7：等差数列衍生的等差数列 27．若是公差为1的等差数列，则数列 （选填“是”或“不是”）等差数列．若是等差数列，则公差为 ． 28．在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 29．已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是 ①   ②   ③   ④ 题型8：等差数列的单调性 30．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 31．在正项等差数列中，，则公差的取值范围是 ． 32．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 34．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 35．已知数列均为等差数列，设，且，，则使成立的的最大值为 . 36．在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 37．设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 题型9：等差数列的实际应用 38．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为 尺. 39．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 40．某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的，设备将报废，则的取值范围为 ． 题型10：等差数列的综合应用 41．已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是 . 42．数列满足，若不等式 恒成立，则正整数的最大值为 . 43．在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 44．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 45．函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为 题型11：解答题 46．已知数列满足，，记，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 47．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 48．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 49．已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 50．已知函数． (1)若曲线过点，求的解集； (2)若存在使得，，成等差数列，求a的取值范围． 51．已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 一、填空题 1．某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：届班号学生的登陆码为．（为表中第行第一个数的个位数字）．则届班号学生的登录码为 ． 2．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ． 二、单选题 3．定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列．已知数列为2，5，11，21，36，，且它的二阶差数列是等差数列，则（    ） A．45 B．85 C．121 D．166 4．已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列，下列判断正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题， ②是假命题 D．①是假命题， ②是真命题 三、解答题 5．在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足. (1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求； (2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$