期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：沪科版第6-8章）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）在实数3.1415926，，，，2025，，0，（两个3之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·七年级下·安徽六安·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·安徽安庆·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）华为手机使用了自主研发的海思麒磷芯片，目前最新的型号是麒麟990．而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C．4 D． 9．（2025七年级下·安徽阜阳·专题练习）某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是，每辆小客车的乘客座位数是，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25七年级下·安徽黄山·阶段练习）如果一个正数的平方根是与，那么 ． 12．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为 ． 13．（2025七年级下·安徽安庆·专题练习）已知，，则的值等于 ． 14．（2025七年级下·安徽合肥·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 16．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 18．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． (1)___________． (2)解不等式：． (3)求不等式的最大整数解． 19．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某超市采用线下、线上两种方式销售两种款式的公仔纪念品，且线下、线上商品标价相同，在无促销活动时，购买2个款和1个款公仔纪念品共需元，购买1个款和2个B款公仔纪念品共需55元．超市为促销提供以下方案： ①线下促销方案：顾客花费元办理会员，凭会员卡购买超市内任何商品都可以打8折． ②线上促销方案：顾客购买超市内任何商品，都可享受9折且包邮的优惠． (1)该超市在无促销活动时，A款公仔纪念品和B款公仔纪念品的标价各是多少元？ (2)某班级计划在超市促销期间购买两款公仔纪念品共个，其中购买A款公仔纪念品个，若在线下超市首次办理会员卡后购买，分别求出线下购买以及线上购买共需多少元．（均用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当该班级购买A款公仔纪念品的数量在什么范围内时，线下购买更划算？ 20．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 21．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 22．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 23．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：实数、一元一次不等式与不等式组、整式乘法与因式分解； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）在实数3.1415926，，，，2025，，0，（两个3之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根的求解，根据无限不循环小数叫无理数，进行分析判断即可． 【详解】解：3.1415926为有限小数，是有理数，，2025，0为整数，是有理数， 为无限循环小数，是有理数， ，，（两个3之间依次增加一个0）为无理数， 故无理数的个数为3， 故选：C． 2．（2025·七年级下·安徽六安·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考出了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； B、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 3．（2025七年级下·安徽安庆·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，注意等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A错误； B．∵， ∴，故B错误； C．∵，当时，成立，故C错误； D．∵，而， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）华为手机使用了自主研发的海思麒磷芯片，目前最新的型号是麒麟990．而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 7．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形的面积，算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1， 如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形， 则大正方形的面积为 设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为， 则， ， 圆的半径为， 点表示的数为． 故选：C． 8．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，则代数式的值是（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∵ ∴ ∴ 故选：C． 9．（2025七年级下·安徽阜阳·专题练习）某校计划组织师生乘坐大、小两种客车去参加一次大型公益活动，每辆大客车的乘客座位数是，每辆小客车的乘客座位数是，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满．由于最后参加活动的人数增加了，在保持租用车辆总数不变的情况下，学校决定调整租车方案，以确保乘载全部参加活动的师生，则该校最后所租用小客车辆数的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 利用已知数量关系可求出该校最后参加活动的总人数，设租用小客车x辆，则租用大客车辆，利用租用的客车可乘坐人数不少于人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出所租用小客车数量的最大值为3辆． 【详解】解∶该校最后参加活动的总人数为 (人)． 设租用小客车x辆，则租用大客车辆． 依题意得∶， 解得∶． 又∵x为整数， x的最大值为3， 故选∶B ． 10．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25七年级下·安徽黄山·阶段练习）如果一个正数的平方根是与，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握正数两个平方根互为相反数是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽池州·阶段练习）若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能的位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②得， 关于的不等式组有且仅有3个整数解， 有且仅有3个整数解， 在数轴上表示出的可能位置，如图所示： 的取值范围为， 故答案为：． 13．（2025七年级下·安徽安庆·专题练习）已知，，则的值等于 ． 【答案】/0.46 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025七年级下·安徽合肥·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 【答案】 2023 【分析】本题主要考查了整式中的规律计算，准确找出相应的规律是解题关键． （1）根据规律将的展开即可得到结果； （2）每一行，倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的展开式中系数为10的项是和， 故答案为：，； （2）∵展开后每一行倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数， ∴的展开式中的系数是2023， 故答案为：2023． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2）或 【分析】本题考查实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原方程整理得：， 则， ∴或， 解得：或． 16．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解：     数轴表示如下： （2）解： 解①得：，         解②得， 不等式组的解为：． 17．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题． (1)___________． (2)解不等式：． (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)不等式的最大整数解是： 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出式子计算即可； （2）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵新定义， ∴， 故答案为：． （2）解：∵新定义， ∴为：， 解得：． （3）解：∵新定义， ∴不等式为：， 解得： ∴不等式的最大整数解为：． 19．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）某超市采用线下、线上两种方式销售两种款式的公仔纪念品，且线下、线上商品标价相同，在无促销活动时，购买2个款和1个款公仔纪念品共需元，购买1个款和2个B款公仔纪念品共需55元．超市为促销提供以下方案： ①线下促销方案：顾客花费元办理会员，凭会员卡购买超市内任何商品都可以打8折． ②线上促销方案：顾客购买超市内任何商品，都可享受9折且包邮的优惠． (1)该超市在无促销活动时，A款公仔纪念品和B款公仔纪念品的标价各是多少元？ (2)某班级计划在超市促销期间购买两款公仔纪念品共个，其中购买A款公仔纪念品个，若在线下超市首次办理会员卡后购买，分别求出线下购买以及线上购买共需多少元．（均用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，当该班级购买A款公仔纪念品的数量在什么范围内时，线下购买更划算？ 【答案】(1)款公仔纪念品的标价为元，款公仔纪念品的标价为元 (2)线下购买共需元，线上购买共需元 (3)当该班级购买A款公仔纪念品的数量在范围内时，线下购买更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、列代数式表示实际问题、不等式解实际问题等知识，读懂题意，根据题中关系准确列出方程组、代数式及不等式求解是解决问题的关键． （1）设款公仔纪念品的标价为元，款公仔纪念品的标价为元；根据题意建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据题意得到款公仔纪念品个，款公仔纪念品个，结合（1）中价格，分别表示出线下商店首次办理会员卡后购买的费用和线上商店购买的费用，即可解题； （3）根据线下购买方式更合算，建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设款公仔纪念品的标价为元，款公仔纪念品的标价为元； 根据题意有， 解得， 答：款公仔纪念品的标价为元，款公仔纪念品的标价为元； （2）解：∵计划在促销期间购买、两款公仔纪念品共个，其中款公仔纪念品个， ∴款公仔纪念品个， ∴若在线下商店首次办理会员卡后购买，则需要费用为：（元）， 在线上商店购买，共需要费用为：（元）， ∴线下购买共需元，线上购买共需元． （3）解：要线下购买方式更合算，即， 解得， ∴购买款公仔纪念品的数量在时，线下购买方式更合算． 20．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 21．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】；；拓展应用： 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． 【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果； 设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； 【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】【理解应用】解：设，， 则，， ， ， 故答案为：； 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ； 【拓展应用】解：，，， ，， ， ， ， 设，， 则，， ． 22．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 23．（24-25七年级下·安徽六安·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】= ，【5，1】= ，【 ，125】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】=【3，4】，小明给出了如下的证明：设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】=【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】+【7，6】=【7，30】． ②请根据前面的经验猜想：【】+【】=【 ， 】． 【答案】(1)3，0， (2)①证明见详解；②【，】 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【5，125】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】， 则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， ∴【，】【，】【，】， 故答案为：【，】． 学科网（北京）股份有限公司 $$