精品解析：山东省威海市威海经济技术开发区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024~2025学年度第一学期质量检测 初三数学 注意事项： 1．本次考试时间120分钟，满分120分． 2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答．作图用2B铅笔． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．祝考试成功！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C D. 2. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 某中学青年志愿者协会10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） 时间/h 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 A. 众数是3 B. 中位数是4 C. 平均数是3 D. 方差是1 5. 如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 如图，在中，，轴，点，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 9. 如图，F是平行四边形内一点，连接，过点F作，交于点E，在上取一点G，使得，连接，过点C作于点H，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，在的同侧作等边、等边和等边，则四边形面积的最大值是（ ） A. B. C. 15 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 已知，，则______． 12. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为____． 13. 某同学在八年级下学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在下学期的总评成绩是______分． 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 14. 如图，底边长为2的等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是_________． 16. 如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 三、解答题（本大供8小瓢，共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 19. 如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）将图1中的沿向右平移，使得点F的对应点落在边上，点A，D的对应点落在边上，在图2中画出平移后的，连接，并判断四边形的形状． 20. 明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下． 时长（h） 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下． 1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 2.13 乙 p 4 n 2.93 根据以上信息，回答以下问题： （1）表格中的______，______，______； （2）从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ （3）如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 21. 为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 22. 在四边形中，，点分别是边的中点． （1）如图，点为对角线的中点，连接，若，则______； （2）如图，直线分别与的延长线交于点．求证：． 23. 如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 24. 在四边形中，对角线，交于点O． （1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； （3）如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期质量检测 初三数学 注意事项： 1．本次考试时间120分钟，满分120分． 2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答．作图用2B铅笔． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．祝考试成功！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法的综合运用，掌握公式法分解因式是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，不是因式分解，故D不符合题意； 故选：B． 2. 下列等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 3. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 4. 某中学青年志愿者协会10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如下表所示．下列关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） 时间/h 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 A. 众数是3 B. 中位数是4 C. 平均数是3 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数以及众数，根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的众数是5，故A选项不符合题意； 这组数据的中位数是，故B选项符合题意； 这组数据的平均数为，故C选项不符合题意； 则方差为，故D选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，，，P为边上的一动点，以、为邻边作，则对角线长度的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】记、相交于点，过点做于点，以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，当时最短，即与重合，然后根据等腰三角形和含角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：记、相交于点，过点做于点， 四边形是平行四边形， ，， 要最短就是最短，当时最短， 即与重合， ，， 是等腰三角形， ， ， 根据直角三角形中角对应的边等于斜边的一半， ， 最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形、等腰三角形性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是适当辅助线构造含角的直角三角形． 6. 如图，在中，，轴，点，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处．若点C和点D关于原点成中心对称，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形等知识，根据旋转可得，得，，根据点C和点D关于原点成中心对称，可得D点坐标为，则，进而可得，，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，轴，将绕点A旋转至，使C恰好落在y轴的负半轴E点处． ∴，，轴，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点和点D关于原点成中心对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，得出即可． 【详解】解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 故选：C 8. 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 如图，F是平行四边形内一点，连接，过点F作，交于点E，在上取一点G，使得，连接，过点C作于点H，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出． 延长交于，由等腰直角三角形的性质得到，由对顶角的性质待定，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形外角的性质求出，即可求出． 【详解】解：延长交于， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图，中，，在的同侧作等边、等边和等边，则四边形面积的最大值是（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识；过点E作交延长线于F；证明，得，，则得四边形是平行四边形，则当重合时，四边形的面积最大，即可求得其最大面积． 【详解】解：如图，过点E作交延长线于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴的最大值为3， ∴四边形的最大面积为， 此时当重合且时，四边形的面积最大． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式进而得出答案 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：6 12. 已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为____． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，注意任何时候考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数且分母不等于0列出关于m不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵方程的解是正数 ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 13. 某同学在八年级下学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示．若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在下学期的总评成绩是______分． 测试类型 单元测试 期中 期末 1 2 3 4 成绩（分） 90 85 86 89 90 88 【答案】88.55 【解析】 【分析】先计算单元检测的平均成绩，再用各自的成绩，分别乘以对应的百分比，列式计算即可得解． 【详解】解：单元检测平均成绩（分）， 总评成绩（分）． 故答案为：88.55． 【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键． 14. 如图，底边长为2的等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形等知识，根据旋转的性质得出，，，，进而求出，然后等腰三角形的性质并结合平面直角坐标系求解即可． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵等腰直角的底边长为2， ∴，， ∵等腰直角的边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，定点B的坐标为，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的表达式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称性可得为的中点，根据中点坐标公式求出，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：连接交于P， ∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的中心， ∴为中点， ∵，， ∴，即， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 如图平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，点B的坐标为，点Q是平面内一点，若点使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，平行四边形的性质，以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，由于点Q的位置不确定（即对角线或边不确定），所以要分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，然后根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设， ①当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ②当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； ③当为对角线时， 根据题意，得， 解得， ∴； 综上，Q的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大供8小瓢，共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：原式． 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解分式方程，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 分式有意义， ， 且， 当时，原式． （2）解：， 方程两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 原方程的解为． 19. 如图，在直角中，，是边上的高，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）猜想与的数量关系，并说明理由； （2）将图1中的沿向右平移，使得点F的对应点落在边上，点A，D的对应点落在边上，在图2中画出平移后的，连接，并判断四边形的形状． 【答案】（1），理由见解析 （2）图见解析，四边形为平行四边形 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平移作图，平行四边形的判定等： （1）由，是边上高，可得，，由角平分线的定义可得，由对顶角相等可得，等量代换可得； （2）根据题干要求作图即可，由平移前后对应边平行且相等，可判断四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， 是边上的高， ， ， 是的角平分线， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：作图如下： 由平移的性质可得，， 因此四边形为平行四边形． 20. 明德中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长（h）统计如下． 时长（h） 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长（h）的数据如下． 1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长（h）的平均数、中位数、众数和方差统计如下． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 2.13 乙 p 4 n 293 根据以上信息，回答以下问题： （1）表格中的______，______，______； （2）从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ （3）如果该校共有学生2400人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】（1）4，4，4； （2）从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由见解析； （3）该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有1440人． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数以及平均数定义即可解答； （2）根据方差的定义求解即可； （3）样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：甲班一周锻炼时长，从小到大排列第8位均为4，即中位数为4，即； 乙班一周锻炼时长的平均数为： 乙班一周锻炼时长最多的为，故众数为4，即； 故答案为：4；4；4； 【小问2详解】 解：从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由如下： ，， ， 从甲班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定． 【小问3详解】 解：该校一周锻炼时长不低于的学生共有：人． 答：该校一周锻炼时长不低于的学生共有1440人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键． 21. 为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天. 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米， 根据题意得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， ∴x=×40=60， 答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米； （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天， 根据题意得：7m+5×≤145， 解得：m≥10， 答：至少安排甲队工作10天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 在四边形中，，点分别是边的中点． （1）如图，点为对角线的中点，连接，若，则______； （2）如图，直线分别与的延长线交于点．求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，进而得到，即得，再根据三角形内角和定理即可求解； （）连接，取线段的中点，连接，由三角形中位线的性质可得，，，，即可得，，，进而可得，即可得到； 本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点分别是边的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：连接，取线段的中点，连接， ∵点分别是边的中点，点为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，是等边三角形，是边上的高．点E在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长． 【小问1详解】 证明：是等边的BC边上的高， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解： ． 为等边三角形， ． ， ， 四边形的周长为． 24. 在四边形中，对角线，交于点O． （1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交，于点E，F（如图2），求证：四边形是平行四边形； （3）如图3，若，过点D作，，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）13 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （3）连接，先证出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等量代换可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 所以的最小值为13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$