9.2解二元一次方程组（7大题型提分练）（题型专练）数学新教材青岛版七年级下册

9.2解二元一次方程组 题型一 代入消元法 1．方程，用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 2．用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（　　） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 3．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 4．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 5．解方程组． 6．解方程组：． 题型二 加减消元法 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用加减法解方程组时，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 3．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于、的方程组，则的值为 ． 5．在解关于的方程组时，可以用消去未知数，也可以用消去未知数，求和的值． 6．解方程组：． 7．请认真阅读下列解二元一次方程组的过程： 解方程组： 解：，得．③（第一步） ，得，解得．（第二步） 把代入①，得，解得．（第三步） 故原方程组的解为（第四步） 以上求解步骤中，从第几步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 3．已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 4．若方程组的解是，则方程组的解为 ． 5．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 6．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 题型四 二元一次方程组的同解问题 1．关于、的二元一次方程组的解与的解相同，则 ， ． 2．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 3．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值 4．已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 5．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 6．已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 7．若方程组的解满足方程组，求的值． 题型五 二元一次方程组的错解问题 1．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 2．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 3．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 4．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 题型六 构造二元一次方程组求解 1．对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 2．如果，且，求，的值． 3．对于有理数x，y定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知，则的值为 ． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 1．在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 2．已知二元一次方程组的解满足，则k的値为（   ） A． B．3 C．4 D． 3．已知关于的方程组，当时，求的值． 4．方程组的解中与的值相等，则 ． 5．若关于，的二元一次方程组无解，则的值是 ． 6．若关于，的方程组的解满足，则为 ． 7．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 1．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 2．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 3．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 5．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题． (1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由； (2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根； (3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标． 7．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2解二元一次方程组 题型一 代入消元法 1．方程，用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程，把方程中的看作已知数，然后根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为，即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 系数化为得：． 故选：D ． 2．用代入法解方程组时，使得代入后化简比较简单的变形是（　　） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】本题考查代入法解方程组，根据代入法，找到未知数的系数为的方程，将系数为的未知数用另一个未知数进行表示变形，判断即可． 【详解】解：观察可知：方程①中的系数为， 故变形比较简单的是由①得； 故选B． 3．用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形得． 故选：B． 4．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用代入消元法变形即可得到结果． 【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组时， 由①，得或； 由②，得或； 则错误的是B 选项， 故选：B． 5．解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用代入消元法成为解题的关键． 直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①得，代入②得，解得：， 把代入①得，解得：． ∴原方程组的解是． 6．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键． 根据题意可得，再代入中，解一元一次方程即可得到的值，再把的值代入③即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 题型二 加减消元法 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组，后字母的系数为，的字母的系数为，两者相减可消去字母．掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：得：， 故选：C． 2．用加减法解方程组时，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组．根据②①消去未知数y即可得到答案． 【详解】解：时， 由②①消去未知数y得到， 故选：A 3．用加减法解方程组时，消去y应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握加减消元法的应用是解题的关键． 根据①中y的系数是3，②中y的系数是，判断出要求消去y，则应①的二倍与②的和即可解答． 【详解】解：用加减法解方程组时，若要求消去y，则应． 故选：C． 4．已知关于、的方程组，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相加求出的值即可． 【详解】解：， 得：． ∴ 故答案为：3． 5．在解关于的方程组时，可以用消去未知数，也可以用消去未知数，求和的值． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据消元方法，列出关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵用消去未知数， ∴， ∵可以用消去未知数， ∴， 联立，解得：； 故． 6．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得： ， 将代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． 7．请认真阅读下列解二元一次方程组的过程： 解方程组： 解：，得．③（第一步） ，得，解得．（第二步） 把代入①，得，解得．（第三步） 故原方程组的解为（第四步） 以上求解步骤中，从第几步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 【答案】从第二步开始出现错误，正确解答见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解题过程得出第二步开始出现错误，用加减消元法解方程即可． 【详解】解：从第二步开始出现错误，正确的解答过程如下： 得．③ 得， 解得． 把代入①，得， 解得． 故原方程组的解为． 题型三 二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．利用关于x，y的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 两式相加得， ∴， ∴， 故选：A． 2．对于题目：若方程组的解为，能否求出方程组的解．并说明理由． 嘉嘉的回答：这个题目中的字母太多，无法解出． 琪琪的回答：方程组的解为 嘉琪的回答：方程组的解为，则下列说法正确的是（   ） A．嘉嘉的回答正确 B．琪琪的回答正确 C．嘉琪的回答正确 D．他们三个的回答都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 将待求方程组整理为，可得，再求出解即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∵， ∴整理得：， ∴的解是， 解得． 所以嘉琪的回答正确． 故选：C． 3．已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 4．若方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是比较两个方程组的结构相似之处，得出． 通过观察两个方程组的之间的关系，得出即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组中，， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 5．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 6．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，，然后解方程组即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的同解问题 1．关于、的二元一次方程组的解与的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组，先求出的解，再把解代入中，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为： 2．若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值= ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 得：， 将代入①得：， 将代入得： ， 得：， 将代入④得：， 当时， 故答案为：． 3．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解法，根据两方程组的解相同，可由已知的两方程构成新方程组，求出方程组的解，然后可求出，再代入即可，解题关键是明确同解方程组的每个方程的解都相同，然后可构成新方程组求解，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， ∵， 得：， 把代入①得：， ∴， 代入方程组，得， 解得， 故． 4．已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及同解问题，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于a、b的方程组，求解即可计算求值． 【详解】解： ，得 解得 把代入①，得 解得 把代入得 ，得，即 把代入③，得 解得 ． 5．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组： （1）将不含参数的两个方程组成新的方程组，进行求解即可； （2）把两个含参数的方程组成新的方程组，将（1）中的解代入，解关于参数的方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组的解也与方程组和有相同的解， 解，得：， ∴程组和的解为：； （2）联立，把代入，得： ，解得：． 6．已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 7．若方程组的解满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求出第一个方程组的解得到与的值，代入第二个方程组即可求出与的值，熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：方程组， 解得：， 将代入方程组得， 得：,即， 得：,即， ∴． 题型五 二元一次方程组的错解问题 1．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 2．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：将和分别代入方程， 得到关于m和n的二元一次方程组， 解得； 将代入， 得到关于t的一元一次方程， 解得， 故答案为： 3．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，和都是方程的解，分别代入得到关于的方程组，再解方程组即可求出的值． 【详解】解：将和分别代入，得， 解得：， 的值是4，的值是5． 故答案为：4；5． 4．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 将与代入可得，然后解方程组可得的值，然后求出，然后代入计算即可得． 【详解】解：把与代入得：， 得， 将代入①得， 把代入得：， 解得：， 则． 故答案为：． 题型六 构造二元一次方程组求解 1．对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（　　） A．6 B．10 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则． 故选：A 2．如果，且，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程是解答本题的关键．化简得，再联立，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：化简得， ， 解得： ，． 3．对于有理数x，y定义一种新运算“”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解新运算，并准确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据新的运算列出方程组，解关于a、b的方程组，然后根据新的运算的算法求解即可． 【详解】解：新运算“”：， ∵， ∴ 解得， ∴． 故答案为：． 题型七 已知二元一次方程组解的情况求参数 1．在关于的二元一次方程组中，若，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数的值，将两个方程相减后，利用整体代入法，得到关于的一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 2．已知二元一次方程组的解满足，则k的値为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解法以及方程组的解的定义．正确利用整体思想是关键． 利用整体的思想两式相加得，结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴两式相加，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 3．已知关于的方程组，当时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． 根据消元法，用含的式子解出，然后代值求解即可． 【详解】解： ，得： 化简得：， 当时，， 解得：． 4．方程组的解中与的值相等，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解．将与组成方程组，求出、的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 将代入得：， 解得：． 故答案为：2． 5．若关于，的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组无解得出的值是解题的关键．方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到，即可求出的值． 【详解】解：， ，得， ， 关于，的二元一次方程组无解， ， ， 故答案为：． 6．若关于，的方程组的解满足，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，熟练掌握二元一次方程组是解答本题的关键．将两个方程相加后，整体代入法得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 7．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）先把方程变形为，根据题意得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组 ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解：依题意，将变形， 得 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ． 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 1．对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（“具有”或“不具有”）“友好关系”，并说明理由； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，， 【分析】（）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ①+②得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解为， 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 与都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 2．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 【答案】（1）；（2）③；（3） 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，， ∴ 解方程组得， ∴二元一次方程为， 当时，， 故； （2）解：∵方程为：， ∴①当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故①不符合题意； ②当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故③符合题意； （3）解：二元一次方程中，当，时，方程为； 当，，方程为； ∴， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得． 3．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 4．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 5．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解： ， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 6．规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题． (1)已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由； (2)已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根； (3)已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标． 【答案】(1)点是方程的“理想点”, 点, 点不是方程的“理想点” (2) (3)点坐标为或 或或 【分析】本题考查二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键. （1）根据“理想点”定义进行判断即可； （2）根据题意求出和的值，进一步求解即可； （3）解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出和的值即可. 【详解】（1）点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下： ∵时，； 时，； 时； ∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”； （2）解：把代入方程，得， 又∵，解得 ， ∵为非负整数， ， ， ； （3）根据题意，得 ， 解得 ， ∵是整数， 或 ， ∵是整数， 或 或， 或 ， 当时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 综上，点坐标为或 或或 7．已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$