信息必刷卷02（浙江专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：25年作为浙江全省统考后第二年，在保持难度稳定的前提下，考题会更加重视探究性、开放性、应用性与综合性。在数据建模这块会更加真实化，贴近更真实的场景，试题也会重视对考生的数学思维，创新思维以及解决实际问题的能力进行考查，另外，必考的知识点也不可能一成不变，考生也需要适应变化。 中考·新考法：考法这块，基本上中档以上的考题不是单一知识点的考查，而是对多个知识点的融合，甚至跨本学科的问题进行考查。 中考·新情境：命题情景这块，真实生活场景，社会热点话题，学科交叉问题必定会是新中考部分考题的出题场景。 命题·大预测：25年的中考，“数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“概率与统计”依旧会是考试的主体，整体试题难度上基础题、中档难度和高难度试题呈现6：3：1分布，与前一年持平，基础题主要考查考生对于基础知识点的掌握情况，比如有理数，三视图，因式分解等，比如本套试卷第3题，考查用科学计数法表示小数，第5题考查调查的一些相关概念，中档难度试题主要涉及一些应用和推理，需要考生能够灵活应用基础知识解决问题，比如第13题将扇形面积、几何概型融合考查，第19题以人工智能的热门作为调查背景出题，第21题则是以春晚的机器人表演作为真实的场景进行解三角形知识的考查，高难度试题主要集中在二次函数，几何图形部分，比如第10题，将正方形的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等综合考查，第23题以哪吒动画电影中的场景出题，考查二次函数的性质，较为创新，第24题，以圆为出题背景，结合解直角三角形，切线，圆周角，等腰直角三角形等考查学生的综合能力，难度较大。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（   ） A．为了解全市初中生每天完成作业的时间，采用全面调查的方式 B．“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件 C．一组数据2，4，5，5，6，7的中位数和平均数都是 D．在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 6．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 7．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 8．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若 ，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式： ． 12．关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 13．如图，扇形的半径，将扇形绕点A逆时针旋转得扇形，当点C落在上时旋转停止，则要扇形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率 （结果保留τ）． 14．如图，，与交于点，若，则的值为 ． 15．如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则 ． 16．直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1)． (2) 18．（8分）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 19．（8分）年初，DeepSeek以黑马姿态横空出世，在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于DeepSeek的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名同学的成绩在C组的数据为：82，83，83，84，85，86；A组的数据为：96． 八年级20名同学的成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.05 a 77 八年级 82.05 81 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有多少人？ 20．（8分）如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求点与线段之间的距离． 21．（8分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 22．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)求的坐标； (3)直接写出不等式的解． 23．（10分）在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 24．（12分）如图，内接于，是直径，平分交于点D，交于点E，连接．过点D作交的延长线于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，______；点O到的距离_____． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷02 数 学（浙江专用） 考情速递 中考·新动向：25年作为浙江全省统考后第二年，在保持难度稳定的前提下，考题会更加重视探究性、开放性、应用性与综合性。在数据建模这块会更加真实化，贴近更真实的场景，试题也会重视对考生的数学思维，创新思维以及解决实际问题的能力进行考查，另外，必考的知识点也不可能一成不变，考生也需要适应变化。 中考·新考法：考法这块，基本上中档以上的考题不是单一知识点的考查，而是对多个知识点的融合，甚至跨本学科的问题进行考查。 中考·新情境：命题情景这块，真实生活场景，社会热点话题，学科交叉问题必定会是新中考部分考题的出题场景。 命题·大预测：25年的中考，“数与代数”“方程与不等式”“图形与几何”“概率与统计”依旧会是考试的主体，整体试题难度上基础题、中档难度和高难度试题呈现6：3：1分布，与前一年持平，基础题主要考查考生对于基础知识点的掌握情况，比如有理数，三视图，因式分解等，比如本套试卷第3题，考查用科学计数法表示小数，第5题考查调查的一些相关概念，中档难度试题主要涉及一些应用和推理，需要考生能够灵活应用基础知识解决问题，比如第13题将扇形面积、几何概型融合考查，第19题以人工智能的热门作为调查背景出题，第21题则是以春晚的机器人表演作为真实的场景进行解三角形知识的考查，高难度试题主要集中在二次函数，几何图形部分，比如第10题，将正方形的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等综合考查，第23题以哪吒动画电影中的场景出题，考查二次函数的性质，较为创新，第24题，以圆为出题背景，结合解直角三角形，切线，圆周角，等腰直角三角形等考查学生的综合能力，难度较大。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数，有理数和无理数统称为实数，有理数是整数与分数的统称，任何有限小数或无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数；解题的关键是牢固掌握有理数和无理数的概念．根据有理数和无理数的概念进行辨析即可得到答案． 【详解】解：，，是无理数，故选项错误， 是有限小数，即是有理数，故C选项正确． 故选C． 2．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则的最大值为3． 故选C． 3．小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 4．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握和运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算是解决本题的关键． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．下列说法中正确的是（   ） A．为了解全市初中生每天完成作业的时间，采用全面调查的方式 B．“掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件 C．一组数据2，4，5，5，6，7的中位数和平均数都是 D．在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】B 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、事件的分类、平均数以及中位数的求解，掌握相关结论即可． 【详解】解：全市初中生数量多，要了解全市初中生每天完成作业的时间，宜采抽样调查；故A错误； “掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件，故B正确； 数据2，4，5，5，6，7的中位数是，平均数都是，故C错误； 在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确；故D错误； 故选：B 6．已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值． 故选：B ． 7．若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数k的值以及是正整数的条件即可解答． 【详解】解：由，得， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得：， ∵， ∴解①得， 解②得， ∴， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 即整数， ∵为正整数， ∴，或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：D． 8．一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的构建是解题的关键．根据题意，设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，结合恰好配套，确定等量关系，列出方程后联立构成方程组即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 9．如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键．作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故选：A． 10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若 ，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点N，与交于点P，与交于点Q，根据题意可知，，根据得，根据正方形的性质可证明是等腰三角形，可得，根据相似性质可得，，利用可证明，可得，即可得出，，利用勾股定理可用表示出的长，即可表示出的长，进而可得出结果． 【详解】解：如图，设与交于点N，与交于点P，与交于点Q， ∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解决本题的关键是掌握一元二次方程的判别式．由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围． 【详解】∵x的一元二次方程有实数解， 解得：， 故答案为： 13．如图，扇形的半径，将扇形绕点A逆时针旋转得扇形，当点C落在上时旋转停止，则要扇形内任取一点，则该点落在阴影部分的概率 （结果保留τ）． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，概率公式等知识点，关键是求出扇形的面积，等边三角形的面积，连接，由旋转的性质得到，证出为等边三角形，算出阴影部分的面积为，再算出扇形的面积，然后用概率公式计算即可得解． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， 扇形的面积， 等边三角形的面积， 阴影部分的面积， ， 扇形的面积， 该点落在阴影部分的概率， 故答案为：． 14．如图，，与交于点，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了比例的性质，相似三角形的判定与性质，先根据比例的性质求出，然后证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ，， ， ， ． 故答案为1． 15．如图，为了测量山坡的护坡石坝与地面所成的夹角，把一根长为的竹竿斜靠在石坝上，量得竿长处离地面的高度，又量得竿顶与坝脚的距离，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，利用相似建立等式求解． 【详解】如解图，过点C作于点F， ， ， ， 则， 即． ． 故答案为：． 16．直线分别与轴、轴相交于点、，边长为2的正方形的一个顶点在坐标系的原点，直线与相交于点，若正方形绕着点旋转一周，则点到点长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，则有，由，，进而可得，旋转同理可证，则P在以为直径的圆上，可得圆心G为，半径为，由，可知当圆心G，点P，三点共线时，最小，由，进而可得最小值． 【详解】解：如图： ∵直线与轴、轴交于点、， ∴、， ∴， 在和中， ． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 在正方形旋转的过程中，同理可证，，可得，， ∴在以为直径的圆上， ∴圆心为，半径为，连接， ∵， ∴当圆心，点，三点共线时，最小， ∵， ∴， ∴点到点长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质，圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案； （2）根据解分式方程计算即可． 此题主要考查了实数的运算以及解分式方程，熟练掌握各运算是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2） 两边都乘以得，， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，最简公分母， ∴时是原分式方程的根． 18．（8分）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据，可得，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）解：如图，连接， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）年初，DeepSeek以黑马姿态横空出世，在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于DeepSeek的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名同学的成绩在C组的数据为：82，83，83，84，85，86；A组的数据为：96． 八年级20名同学的成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.05 a 77 八年级 82.05 81 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)84.5，81，40 (2)七年级成绩更好，理由见解析 (3)140人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）根据扇形统计图及七年级的数据可得各组人数，结合已知数据可得七年级中位数及组所占百分比，再根据八年级数据即可得八年级众数，即可求解； （2）根据七、八年级中位数进行判断； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【详解】（1）解：七年级20名同学中组有：1人，组有：人，组有6人，则组有人， 所以，七年级同学的中位数为第10名、第11名的平均数，即：， 组所占百分比为：，则； 八年级中出现次数最多的是81分，故八年级众数， 故答案为：84.5，81，40； （2）七年级成绩更好， 理由：七年级成绩中位84.5大于八年级中午时81，所以七年级成绩更好； （3）， 答：两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有140人． 20．（8分）如图，菱形中，与相交于点，点是边延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求点与线段之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形判定及性质，菱形性质，勾股定理等． （1）根据菱形性质得，，再利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可； （2）利用平行四边形和菱形性质可得，再得到，再利用勾股定理得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：四边形是菱形， ，， ， 点是的中点． ， ， 又，即， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ． 由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， 点与线段之间的距离为线段的长度． 由（1）知点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． ∴点与线段之间的距离为． 21．（8分）【研究背景】今年春晚，《秧》的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光 技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用． 【数据采集】如图，在测试机器人宇树 爬坡(坡角)能力的过程中，当机器人行走至 点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿 与小腿 的夹角，． 【数据应用】已知机器人的小腿 的长度为，大腿上 点与 点的连线与水平面 垂直．根据上述数据，计算大腿 的长度(结果精确到，参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据已知条件得出延长交于点，进而解，求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵， 在中，， ∴ 22．（10分）如图，已知一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求，的值； (2)求的坐标； (3)直接写出不等式的解． 【答案】(1)， (2)点的坐标 (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点，函数的图象，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可； （2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，即可求出点坐标； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， 可得，， 的值为； 把点代入一次函数， 可得，， 解得， 的值为1； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得 解得，；， 一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点， （3）解：，， 根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 23．（10分）在电影《哪吒之魔童闹海》中，同学们觉得海妖从空间裂缝G点处跳出袭击陈塘关的画面非常生动有趣，同学们把海妖起跳后飞行的路线看作抛物线的一部分，取海平面上水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，从海妖起跳到着落的过程中，海妖离海平面的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足（，a、h、n都为常数），若，海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是．陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明海妖能否成功跳到城墙上？ (3)为阻止海妖攻入城墙，一名士兵在中点E处朝海妖放箭，箭的路线可看作直线（k、b为常数），问士兵要想射中空中飞行的海妖，k的值至少为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)海妖能成功跳到城墙上 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质是解决此题的关键． （1）由题意找到顶点坐标，然后找到与轴的交点坐标，利用待定系数即可求解； （2）先求出的坐标，然后求出时，抛物线上点的坐标，与进行比较即可得解； （3）求出直线与抛物线的边界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上； （3）解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， 当直线经过点时， ，解得， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， ∴， ∴k的值至少为， 故答案为：． 24．（12分）如图，内接于，是直径，平分交于点D，交于点E，连接．过点D作交的延长线于点F． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，______；点O到的距离_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10， 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）证明，推出，证明是等腰直角三角形，推出，据此即可得出结论成立； （3）过点作于点，过点作于点，由和是等腰直角三角形，求得，，，再利用勾股定理求得，然后由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，过点作于点， 由（2）得是等腰直角三角形，且， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离为． 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加的辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷02（浙江专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B D D A B 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14． 1 15． 16．/ 三、解答题:本大题有8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分） 【详解】（1）原式 ；（4分） （2） 两边都乘以得，， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为1得，（7分） 检验：当时，最简公分母， ∴时是原分式方程的根．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ；（3分） （2）解：如图，连接， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（6分） ∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：七年级20名同学中组有：1人，组有：人，组有6人，则组有人， 所以，七年级同学的中位数为第10名、第11名的平均数，即：， 组所占百分比为：，则； 八年级中出现次数最多的是81分，故八年级众数， 故答案为：84.5，81，40；（4分） （2）七年级成绩更好，（6分） 理由：七年级成绩中位84.5大于八年级中午时81，所以七年级成绩更好； （3）， 答：两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有140人．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：证明：四边形是菱形， ，， ， 点是的中点． ， ， 又，即， 四边形是平行四边形．（3分） （2）解：四边形是菱形， ，，， ． 由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， 点与线段之间的距离为线段的长度．（5分） 由（1）知点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ． ∴点与线段之间的距离为．（8分） 21．（8分） 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形，（4分） ∴ ∴ ∴ ∵， 在中，， ∴（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：把点代入反比例函数， 可得，， 的值为；（2分） 把点代入一次函数， 可得，， 解得， 的值为1；（4分） （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 根据题意，联立一次函数和反比例函数解析式，得（6分） 解得，；， 一次函数与反比例函数相交于，两点，其中点， （7分） （3）解：，， 根据图像可知，当或时一次函数值的图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵海妖起跳后的最高点距海平面，与点G的水平距离是． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为；（3分） （2）解：∵陈塘关正面城墙与起跳点G的水平距离，城墙宽，城墙高， ∴，， 令得，，解得，（舍）或， ∵， ∴海妖能成功跳到城墙上；（6分） （3）解：∵，，E为的中点， ∴， ∴， 当直线经过点时， ，解得， 当直线与抛物线相切时，即方程有两个相等的实数根， ∴方程整理得， ∴， ∴，此时直线与点下方的抛物线相切（舍）或， ∴， ∴k的值至少为， 故答案为：．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）证明：连接， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径, ∴，（2分） ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线；（4分） （2）证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴，（6分） ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；（8分） （3）解：过点作于点，过点作于点， 由（2）得是等腰直角三角形，且， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，（10分） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离为． 故答案为：10，．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$