精品解析：山东省济钢高级中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性测试数学试题

2023级高二下学期阶段性学情检测数学试题 一、单选题 1. 若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 2. 的二项式展开式中的系数为（ ） A. 560 B. 35 C. -35 D. -560 3. 设函数的导数为，且，则(　　) A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 4. 将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（ ） A. 64种 B. 108种 C. 128种 D. 216种 5. 设函数，在R上的导函数存在，且，则当时（ ） A. B. C. D. 6. 已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题 9. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第行的第个数为，则 D. 第20行中第12个数与第13个数之比为 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 展开式中，项的系数为______. 13. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有______种． 14. 已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若是的极大值点，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； 16. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11. （1）求n的值； （2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差； （3）求上述展开式中所有偶数项的系数和. 17. （1）一场班级元旦晚会有有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．一共有多少种可能（结果用数字表示）？并列出所有可能的排列． （2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示） （3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示） 18. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）. （1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方； （3）若，求函数（）的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二下学期阶段性学情检测数学试题 一、单选题 1. 若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用切线的斜率列方程，化简求得的值. 【详解】， 所以. 故选：B 2. 的二项式展开式中的系数为（ ） A. 560 B. 35 C. -35 D. -560 【答案】D 【解析】 【分析】中利用二项式定理可求得的系数，从而求解. 【详解】由题意知的展开式为， 令，得，所以的系数为，故D项正确. 故选：D. 3. 设函数的导数为，且，则(　　) A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ∴ ∴，即 ∴ 故选B. 4. 将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（ ） A. 64种 B. 108种 C. 128种 D. 216种 【答案】D 【解析】 【分析】先将医生分为3组，每组至少1人，然后再将医生和护士分配到3个社区即可. 【详解】先将4名医生分成3组，每组至少1人，共有种方法， 再将3组医生分到3个社区有种，最后将3名护士分配到3个社区有种， 所以，不同的分配方法共有种. 故选：D 5. 设函数，在R上的导函数存在，且，则当时（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 6. 已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极小值点的定义，导函数与原函数的关系，即可选出答案. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递减， 要使是函数的极小值点，则需，， 对于AB选项，不是函数的极值点； 对于C选项，是函数的极小值点，正确； 对于D选项，是函数的极大值点. 故选：C 7. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数法求出函数的最小值，再利用二次函数的性质求出最大值，结合已知条件及函数的图象即可求解. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时，取得最小值为， ，对称轴为，开口向下， 由二次函数的性质， 当时，取得最大值为. 令，即，解得或， 作两个函数的图象如图所示 由图可得：的最大值为 故选：B. 二、多选题 9. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题主要运用求导公式：，，但要注意常数的理解及解析式的转化处理． 【详解】，A不正确； ，B正确； ，C正确； (为常数)，D不正确． 故选：BC． 10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第行的第个数为，则 D. 第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用性质计算即可；对于B：利用的展开式的二项式系数计算；对于C：代入，利用二项式定理计算即可；对于D：利用的展开式的二项式系数计算 【详解】对于A： ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第行的第个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确. 故选：AB. 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得有唯一零点1，然后由“零点相邻函数”定义可得存在，使，且为零点.据此令，则值域即为a范围，由此可判断选项正误. 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 三、填空题 12. 展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理求解． 【详解】，∵的指数是3，∴得到， ∵的指数是2，得到，∴项的系数为. 故答案为： 13. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有______种． 【答案】504 【解析】 【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论，从而可求解. 【详解】由题意分为两种情况： 第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法. 故答案为：. 14. 已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，利用正弦型函数的极值点可得即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 由函数在内恰有两个极值点，可知，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）若是的极大值点，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； 【答案】（1） （2） 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据是的极大值点求出，再利用导数求切线斜率，即可求在处的切线方程； （2）求出，分三种情况讨论，分别判断导函数的符号，即可求出的单调区间； 【小问1详解】 根据题意，函数，其定义域为R， 令得， 经检验，符合题意， 则在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 根据题意，函数，其导数，分3种情况讨论： ①当时，，则在上为增函数； ②当时，若，解得或， 若，解得， 则的递增区间为和，递减区间为； ③，当时，若，解得或， 若，解得， 则的递增区间为和，递减区间为； 综上可得：当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为. 16. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11. （1）求n的值； （2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差； （3）求上述展开式中所有偶数项的系数和. 【答案】（1） （2）1023 （3） 【解析】 【分析】（1）利用指定两项的二项式系数建立方程求解参数即可. （2）利用二项式性质得到二项式系数之和，利用赋值法得到各项系数之和，再作差即可. （3）利用赋值法再作差求解偶数项的系数和即可. 【小问1详解】 因为二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11， 所以，得到，解得. 【小问2详解】 由二项式性质得二项式系数之和为， 令，可得各项系数之和为， 所以二项式系数之和与各项系数之和的差为. 【小问3详解】 令， 则 所以 17. （1）一场班级元旦晚会有有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．一共有多少种可能（结果用数字表示）？并列出所有可能的排列． （2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示） （3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示） 【答案】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：．共4种 （2）432；（3）80． 【解析】 【分析】（1）利用排列的定义即得； （2）利用捆绑法，插空法即得； （3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得． 【详解】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：．共4种 （2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊， 故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）． （3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)， 所以共有60+20=80（种）． 18. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． （1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； （2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元 【解析】 【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解； （2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值. 【小问1详解】 设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）. （1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由； （2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方； （3）若，求函数（）的最小值. 【答案】（1）在区间上为凸函数，理由见解析 （2），证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，判断是否小于恒成立； （2）求出，根据凸函数的定义转化为恒成立问题，分离参数求解即可；把“函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方”转化为，利用导数求解的单调性和最值即可； （3）令，，根据导数、、的范围确定的单调性及最值，得到，再去绝对值即可. 【小问1详解】 由可得， ∴，∵，∴， ∴在区间上为凸函数. 【小问2详解】 ①由，， 得，. 因为函数是上的凸函数，故在上恒成立， 即，在上恒成立， 故，故，所以实数的范围是. ②证明如下： 设切点为，则切线方程为，， 令， ， 依题意，只需证明即可； ，， 故函数在上为减函数，又， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴，则恒成立，即得证. 【小问3详解】 令，， 则，， 当时，，， 所以在恒成立， 故在上单调递减，所以， 即，所以， 故函数（）的最小值为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的策略： （1）通常需要构造新的函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）先分离变量，再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，先考虑用分离常数法，若参数分离不易求解时，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $