黄金卷07（贵州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C B B A B A C 题号 11 12 答案 B D 二、填空题：（本大题共4题，每题4分，共16分.） 13． 14． 15． 16． / 三、解答题：（本大题共9题，第17-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共98分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（1）；（2）， 【详解】解：（1） ·····················（2分） ·····················（4分） ；·····················（5分） （2） ，·····················（7分） ·····················（9分） 当时，原式．·····················（10分） 18．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生中共有：人， ， 故答案为：，·····················（2分） （2）解：“了解很少”对应扇形的圆心角的度数为：；···············（5分） （3）解：画出树状图如下： ···············（7分） 一共有种等可能的情况，抽到1名男生和1名女生的情况有种， ∴抽到1名男生和1名女生的概率是：，·····················（10分） 19．(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元 (2)购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少总费用为元 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：，·····················（2分） 解得．·····················（4分） 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．·····················（5分） （2）解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：，·····················（7分） 解得， 设总费用为， 则,·····················（9分） ， 随的增大而减小， 当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元） 综上可知，购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为元．·····················（10分） 20．(1)见解析 (2)长为 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ·····················（1分） 是的中垂线， ， ． ，·····················（3分） ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形．·····················（5分） （2）解：四边形是菱形， ，·····················（6分） 设长为，则， 在中， 即，·····················（8分） 解得：， 答：长为．·····················（10分） 21．(1)， (2) 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ，·····················（2分） 反比例函数的表达式为， 由， 解得或，·····················（4分） ；·····················（5分） （2）解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，，···············（8分） ∴的面积的面积的面积．····（10分） 22．米，此车的速度为米秒，此车超速． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 米，·····················（2分） ， （米）， 米，·····················（6分） 此车的速度为（米秒）， 24米秒米秒， 此车超速．·····················（10分） 23．(1)（或） (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵内接于半，直径为， ∴； ∵， ∴． 故答案为：（或）．·····················（4分） （2）解： ． 又 又 ．·····················（8分） （3）解：如图：连接， ， ， 为直径， ， 四边形为圆内接四边形， ， ∴，即 ，即， 又， ∴， 又， ．·····················（12分） 24．(1) (2)发出后的排球能越过球网，不会出界，理由见解析 (3) 【详解】（1）解： 排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得：， ；·····················（4分） （2）解：当时，， 发出后的排球能越过球网． 当时，，（在轴负半轴，舍去）， 不会出界， 答：发出后的排球能越过球网，不会出界；·····················（8分） （3）解：设抛物线的解析式为：， 过， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 排球从最高处开始下落，抛物线的最大高度为，护栏的高度是， 护栏在距离原点处，就会被排球砸到， ， 排球落地时，砸到点， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 故的范围为．·····················（12分） 25．(1) (2)见解析 (3)或4 【详解】（1）解：∵直线为等腰直角的对称轴，， ∴， 故答案为：；·····················（3分） （2）证明：∵，，， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴，，·····················（5分） 又， ∴， ∴；·····················（7分） （3）解：当M在B的右侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 由（2）知：，， ∵， ∴， ∴，·····················（9分） ∵平分， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；·····················（11分） 当M在B的左侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 同理可求， ，即， 解得，·····················（13分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或4．·····················（14分） 答案第2页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：（本大题12小题，每小题3分，共36分.下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，请你选出正确的答案.） 1．下列四个数中，最大的数是（    ）． A．9 B． C．0.6 D． 2．如下摆放的几何体中，三种视图中不含三角形的是（  ） A． B． C． D． 3．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，则的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 5．使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．一双好眼睛，能更好的探索未来，央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到；航天员需要裸眼视力不低于，特警需要裸眼视力不低于，射箭运动员需要裸眼视力不低于，船长需要裸眼视力不低于，保护视力，创造光明未来，成就伟大梦想．数据，的中位数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 8．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（    ）条． A． B． C． D． 9．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则下列结论错误的是（    ）    A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 二、填空题：（本答题共4小题，每小题4分，共16分，） 13．因式分解： ． 14．陕西简称“秦”，大型秦文化主题史诗幻境演出《赳赳大秦》于年9月27日在高新一中沣东中学旁边举行全球首演，如图，点A表示高新一中沣东中学位置，坐标是，那么《赳赳大秦》演出剧场（点B）所在位置是 （填写坐标）． 15．已知，且，则的值是 ． 16．如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 三、解答题：（本答题共9小题，共98分，需写出必要的说明或演绎推理过程） 17．（1）计算： （2）化简求值：，其中 18．某中学对部分学生就心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生中共有______人，条形统计图中m的值为______； (2)求扇形统计图中“了解很少”所对应扇形圆心角的度数； (3)若从对心理健康知识达到“非常了解”程度的1名男生和3名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19．为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校因文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买、两种奖品，经市场调查，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品1件和种奖品3件，共需55元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元； (2)运动会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，当运动会组委会购买两种奖品各多少件时才能使总费用最少？最少的总费用是多少元？ 20．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 21．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 22．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度，并判断此车是否超速，此路段限速不超过17米每秒．（结果保留整数，参考数据：，） 23．如图，内接于半，直径与弦的延长线交于点E，． (1)请写出图中一对相等的线段：________； (2)求证：； (3)求的度数． 24．【备选2】．某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球网离发球处距离为9米，且球网高2.4米．通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为1米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 25．已知：直线为等腰直角的对称轴． (1)【问题解决】如图①，直接写出的度数为________； (2)【问题探究】如图②，将线段在直线l上平移，得到的对应线段记为，过点N作，垂足为点P．连接与交于点G．求证：； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线l上运动，当时，直接写出的值． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（贵州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：（本大题12小题，每小题3分，共36分.下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，请你选出正确的答案.） 1．下列四个数中，最大的数是（    ）． A．9 B． C．0.6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．π先取一个近似数，再比较四个数的大小得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∴最大的数是9， 故选：A． 2．如下摆放的几何体中，三种视图中不含三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，明确各个几何体的三视图的形状是正确判断的前提．找出三种视图中不含三角形的几何体即可． 【详解】解：A．该图形的主视图是三角形，故本选项不符合题意； B．该图形的俯视图是三角形，故本选项不符合题意； C．该图形的主视图和左视图是三角形，故本选项不符合题意； D．该图形的主视图和左视图是梯形，俯视图是圆环，三种视图中不含三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．如图，，，则的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，过点B作，根据平行线的性质计算出角度即可． 【详解】解：如图，过点B作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 6．一双好眼睛，能更好的探索未来，央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到；航天员需要裸眼视力不低于，特警需要裸眼视力不低于，射箭运动员需要裸眼视力不低于，船长需要裸眼视力不低于，保护视力，创造光明未来，成就伟大梦想．数据，的中位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位数的计算，掌握其计算方法是关键． 先将数据排序，再找中间的数，当数据的个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数，当数据的个数为奇数时，中位数为中间的数，由此即可求解． 【详解】解：数据从小到大排序为， ∴中位数是， 故选：B． 7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质可得，则的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ，， ． 故选：． 8．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好机．后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有记得做频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的数量为（    ）条． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即为概率是解题的关键． 鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得，， 解得，， 估计鱼塘中鱼的数量为条， 故选：B． 9．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设有x人，根据狗的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：设有x人， 依题意，得：． 故选：A． 10．抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据抛物线的大致图象，以及开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：二次函数的大致图象， 二次函数的图象开口向下， ， 故A选项错误，不符合题意； 抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ， 故B选项错误，不符合题意； 抛物线的顶点坐标为， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 抛物线与x轴与两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， ， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质．过点D作于E，根据旋转的性质可得，，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明是等腰直角三角形，可得，然后写出点D的坐标即可． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点、， ∴令，则； 令，则，故； ∴， 如图，过点D作于E， ∵将绕C点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴点D的坐标为． 故选：B． 12．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往地．乙车出发后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，则下列结论错误的是（    ）    A．甲车速度是 B．A、两地的距离是 C．乙车出发时甲车到达地 D．甲车出发最终与乙车相遇 【答案】D 【分析】分析两车之间的距离与甲车行驶的时间的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】解：点中可知，乙1小时行驶了，可求乙的速度， 点中可知，后，甲追上乙，可求甲的速度为： ， 由点可知，甲到地，且甲乙相差，则： ， 点可知，休息30分钟， ∴，； 点可知，甲乙再次相遇，； A．甲车的速度是，故A正确，不符合题意； B．由以上分析已知甲出发后到达B地，且甲速度为，所以A，B两地为，故B正确，不符合题意； C．甲车到达B地，乙车比甲车早出发，所以乙车出发时甲车到达地，故C正确，不符合题意； D．从上中和可知，甲出发和与乙车相遇，故D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题：（本答题共4小题，每小题4分，共16分，） 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．陕西简称“秦”，大型秦文化主题史诗幻境演出《赳赳大秦》于年9月27日在高新一中沣东中学旁边举行全球首演，如图，点A表示高新一中沣东中学位置，坐标是，那么《赳赳大秦》演出剧场（点B）所在位置是 （填写坐标）． 【答案】 【分析】此题考查了利用平面直角坐标系确定点的位置，准确建立平面直角坐标系是解题的关键．根据点A坐标是建立直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：建立直角坐标系如下： 点A表示高新一中沣东中学位置，坐标是，那么《赳赳大秦》演出剧场（点B）所在位置是， 故答案为； 15．已知，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质正确表示出各数是解题的关键． 设，，，代入得出，求出即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 【详解】解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 三、解答题：（本答题共9小题，共98分，需写出必要的说明或演绎推理过程） 17．（1）计算： （2）化简求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18．某中学对部分学生就心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生中共有______人，条形统计图中m的值为______； (2)求扇形统计图中“了解很少”所对应扇形圆心角的度数； (3)若从对心理健康知识达到“非常了解”程度的1名男生和3名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题以及概率问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据“基本了解”的条形统计图和扇形统计图的数据即可求解； （2）根据“了解很少”所占比例即可求解； （3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生中共有：人， ， 故答案为：， （2）解：“了解很少”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，抽到1名男生和1名女生的情况有种， ∴抽到1名男生和1名女生的概率是：， 19．为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校因文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买、两种奖品，经市场调查，若购买种奖品3件和种奖品2件，共需60元；若购买种奖品1件和种奖品3件，共需55元． (1)求、两种奖品的单价各是多少元； (2)运动会组委会计划购买、两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，当运动会组委会购买两种奖品各多少件时才能使总费用最少？最少的总费用是多少元？ 【答案】(1)种奖品的单价为元，种奖品的单价为元 (2)购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少总费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程即可； （2）设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据所给数量关系列一元一次不等式组，求出的取值范围，设总费用为，得到关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：， 解得． 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元． （2）解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：， 解得， 设总费用为， 则, ， 随的增大而减小， 当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元） 综上可知，购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为元． 20．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)长为 【分析】（1）根据矩形的性质求出，推出，，证明全等后得到，即可证明出菱形； （2）根据菱形的性质求出，在中，根据勾股定理得到即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 是的中垂线， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， 设长为，则， 在中， 即， 解得：， 答：长为． 21．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． (1)求该反比例函数的表达式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，将一次函数，反比例函数联立方程组求解得到点B的坐标； （2）根据一次函数与坐标轴的交点得到，由的面积的面积的面积即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ； （2）解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，， ∴的面积的面积的面积． 22．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度，并判断此车是否超速，此路段限速不超过17米每秒．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】米，此车的速度为米秒，此车超速． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．解直角三角形得到米，求得此车的速度米秒米秒，于是得到结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， 米， ， （米）， 米， 此车的速度为（米秒）， 24米秒米秒， 此车超速． 23．如图，内接于半，直径与弦的延长线交于点E，． (1)请写出图中一对相等的线段：________； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据圆的定义或等腰三角形的性质即可解答； （2）根据同圆中等弧所对的圆周角相等可得，再结合已知条件可得，最后根据两组对应角对应相等的三角形相似即可证明结论； （3）由相似三角形的性质可得，由圆周角定理可得；根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，再由同圆中等弧所对的圆周角相等可得，最后根据定理代换即可解答． 【详解】（1）解：∵内接于半，直径为， ∴； ∵， ∴． 故答案为：（或）． （2）解： ． 又 又 ． （3）解：如图：连接， ， ， 为直径， ， 四边形为圆内接四边形， ， ∴，即 ，即， 又， ∴， 又， ． 24．【备选2】．某排球运动员在原点处训练发球，为球网，为球场护栏，且，均与地面垂直，球场的边界为点，排球（看作点）从点的正上方点处发出，排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为，落地点为点，以点为原点，点，，，，所在的同一直线为轴建立平面直角坐标系，相应点的坐标如图所示（单位：米，图中所有的点均在同一平面内）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球网离发球处距离为9米，且球网高2.4米．通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ (3)由于运动员作出调整改变了发球点的位置，使得排球在点落地后立刻弹起，又形成了一条与形状相同的抛物线，且最大高度为1米．若排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，直接写出的范围． 【答案】(1) (2)发出后的排球能越过球网，不会出界，理由见解析 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把代入可求得抛物线的二次项的系数，即可得到抛物线的解析式； （2）能否越过球网，要看当时，抛物线的纵坐标是否大于球网的高度2.4；是否会出界，要看当时，的值是否大于边界到原点的距离18； （3）抛物线的形状与抛物线的形状相同，那么两个抛物线的二次项的系数的绝对值相同，最大高度为，那么抛物线的顶点的纵坐标为1，抛物线的二次项的系数为负数，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点代入可得抛物线的二次项的系数，也就求出了抛物线的解析式．排球沿下落时（包含最高点）能砸到球场护栏，的高度是，抛物线的最大高度是，那么排球从最高处开始下落，若护栏在抛物线对称轴所在的位置，就能砸到，此时的值最小；排球落地时，砸到点，的值最大，进而得到的取值范围． 【详解】（1）解： 排球经过的路径是抛物线的一部分，其最高点为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 发出后的排球能越过球网． 当时，，（在轴负半轴，舍去）， 不会出界， 答：发出后的排球能越过球网，不会出界； （3）解：设抛物线的解析式为：， 过， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 排球从最高处开始下落，抛物线的最大高度为，护栏的高度是， 护栏在距离原点处，就会被排球砸到， ， 排球落地时，砸到点， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 故的范围为． 25．已知：直线为等腰直角的对称轴． (1)【问题解决】如图①，直接写出的度数为________； (2)【问题探究】如图②，将线段在直线l上平移，得到的对应线段记为，过点N作，垂足为点P．连接与交于点G．求证：； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线l上运动，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或4 【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）利用证明，得出，，进而证出，最后根据勾股定理求解即可； （3）分M在B的右侧和左侧讨论，然后根据勾股定理，角平分线的性质，等面积法等求解即可． 【详解】（1）解：∵直线为等腰直角的对称轴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴； （3）解：当M在B的右侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 由（2）知：，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当M在B的左侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 同理可求， ，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或4． 试卷第2页，共23页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$