第09讲 圆的综合问题（3个考点8个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题五 几何图形的性质与判定的综合问题 第09讲 圆的综合问题 （思维导图+3点+8种题型） 试卷第2页，共238页 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、圆的性质与几何图形问题 题型01、圆内性质的综合应用问题 题型02、圆与三角形的综合问题 题型03、圆与四边形的综合问题 考点二、圆与函数的综合问题 题型01、圆与一次函数的综合问题 题型02、二次函数与圆的综合问题 考点三、圆的常考类型题 题型01、隐圆问题 圆的最值问题 题型02、圆的折叠问题 题型03、动态圆问题 中考考点 新课标要求 命题预测 圆 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 ④了解三角形的内心与外心。 ⑤了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 ⑥能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 *能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线（例76)。 *探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 ③会计算圆的弧长、扇形的面积。 @了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题，所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三. 点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、圆的性质与几何图形的综合问题 题型01、圆内性质的综合应用问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长．    4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接（如图2）． 已知，，，半圆O的直径为8． (1)嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化． 请你分析他俩谁说的对，并说明理由； (2)当点F与点D重合时，如图3． ①判断与半圆O的位置关系，并证明； ②求图中阴影部分的面积和； (3)设的中点为M，直接写出点M的运动路径长． 6．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 7．（2024·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 题型02、圆与三角形的综合问题 9．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 10．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 13．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 14．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 15．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 16．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 17．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知：在中，，，D是的中点，以为直径的分别交、于点F、E，点E位于点D下方，连接交于点G． (1)求证：F是的中点； (2)如图1，如果，求的长； (3)如图2，设，，求y关于x的函数关系式． 20．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在点运动过程中，当时，求的值． 题型03、圆与四边形的综合问题 21．（2020·浙江温州·中考真题）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G． （1）求证：∠1＝∠2； （2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径． 22．（2021·浙江宁波·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G． （1）若，请用含的代数式表列． （2）如图2，连接．求证；． （3）如图3，在（2）的条件下，连接，． ①若，求的周长． ②求的最小值． 23．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， ； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立： ②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值． 24．（2023·广东·中考真题）综合探究 如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)以点为圆心，为半径作圆． ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 25．（2025·河北邢台·模拟预测）如图1，在矩形中，，点在射线上，过点作切于点，设． (1)如图2，当圆心在对角线上时，_____；请求出此时劣弧的长． (2)过点作于点， ①如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的值； ②当点在线段上时，求线段长度的最大值； ③直接写出当时，的值． 26．（2025·江苏连云港·模拟预测）圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 28．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．    (1)求证：； (2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径； (3)若，在点的整个运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形？ ②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长． 29．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 30．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 31．（2021·浙江温州·三模）已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（b＞2），E，F为BC边上的点，BE＝CF＝1．连接AE，AF，DF，BD． (1)已知a＝3，如图1， ①当∠AEB＝∠AFD时，求证：AF＝AD； ②若△AEF与△DBF相似，求b的值． (2)作△ABF的外接圆⊙O，如图2，记⊙O的半径为r．若a＝3，则当⊙O与△DCF的一边相切时，求所有满足要求的r的值； (3)已知a＝1，如图3．若经过A，E，D三点的⊙O′的半径R满足≤R≤5，则线段EF的范围为___（直接给出答案）． 32．（2022·浙江金华·一模）已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB＝AC，⊙O是的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE． (1)当点E在线段CD上时，如图1． ①求证：∽ ②若，的面积为，求⊙O的半径． (2)当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F． 如图2，若时，求的值． 33．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 考点二、圆与函数的综合问题 题型01、圆与一次函数的综合问题 34．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求的半径和直线的函数表达式． （2）求点，的坐标． （3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 35．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 36．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    37．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 38．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为平面直角坐标的原点，直线与两坐标轴交于两点，，，若的圆心在直线上，且与所在直线相切，则圆心的坐标是 ． 39．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（    ）    A．1.8 B．2.4 C． D．2.5 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，分别交x轴，y轴于点，连结．直线分别交于点（点D在左侧），交x轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)点P在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 41．（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，与y轴交于点，一次函数（）的图像分别交x轴、y轴于点B、C． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为D、E，若，求b的值． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 43．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知C是直线上的一个动点， ①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 45．（2025·湖南长沙·一模）如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． ②    当F位于经过点O的的垂线上时， 题型02、二次函数与圆的综合问题 46．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 47．（2011·浙江衢州·中考真题）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示． （1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由； （3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标． 48．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 49．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 50．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 51．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 52．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径． 53．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为． (1)求的标准方程； (2)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)连接，求的值． 考点三、圆的常考类型题 题型01、隐圆问题 圆的最值问题 54．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 55．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 56．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    58．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．    59．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 60．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 61．（浙江温州·期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为 ． 62．（2019·浙江绍兴·一模）如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为 ． 63．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 64．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    65．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值．       66．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 67．（2024·四川乐山·模拟预测）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 68．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型02、圆的折叠问题 69．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ． 70．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 71．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 72．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 73．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 74．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ． 75．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 76．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷从出发顺时针扫过时，，则的半径为 ，毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为 ． 77．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 78．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆． (1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长； (2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 79．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 80．（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长． 81．（浙江台州·期中）如图，点，，在上，将沿折叠后，与交于点． （1）若，则________°； （2）如图1，点恰好是翻折所得的中点， ①若，求的度数； ②若，求的值； （3）如图2，若，求的值． 题型03、动态圆问题 82．（2021·浙江温州·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则 度． 83．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.   ，，， ， ， ；   ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； 84．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接． (1)当点P不与点B重合时，求证：平分； (2)当圆M与直角梯形的边相切时，请直接写出此时的长度； (3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程． 85．（2021·山西临汾·三模）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 86．（15-16九年级上·广东广州·期末）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 87．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是半圆的直径，弦平行半径，连接，，将半圆绕点旋转，点的对应点为，半圆交于点，，，三点恰好在同一直线上时，若，则四边形的面积为 ．    88．（2024·浙江宁波·一模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，的半径均为，O为三角轮的中心，．如图2，当轮子及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，则 ；如图3，拉动，使轮子在楼梯表面滚动，当，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 ． 89．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 90．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积． 91．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，直角梯形中，的圆心从点开始沿折线以的速度向点运动，的圆心从点开始沿边以的速度向点运动，半径为的半径为，若分别从点、点同时出发，运动的时间为 （1）请求出与腰相切时的值； （2）在范围内，当为何值时，与外切？ 92．（2016·河北·中考真题）如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． 发现   的长与的长之和为定值，求； 思考   点与的最大距离为_______，此时点，间的距离为_______；点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 探究   当半圆与相切时，求的长． （注：结果保留，，） 93．（2024·云南·模拟预测）如图1，已知矩形中，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长． (2)当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． (3)在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 94．（2020·河北唐山·一模）问题探究． 如图，在平面直角坐标系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C为顶点作矩形OABC，动点P从点A出发，沿AO以4个单位每秒的速度向O运动；同时动点Q从点O出发沿OC以3个单位每秒的速度向C运动．设运动时间为t，当动点P，Q中的任何一个点到达终点后，两点同时停止运动．连接PQ． 【情景导入】当t＝1时，求出直线PQ的解析式． 【深入探究】①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值． ②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值． 【拓展延伸】如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N． ①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为　 　． ②若固定点H(6，2)不动，则在整个运动过程中，半圆M能否与梯形AOCH相切？若能，求出此时t的值；若不能，请证明． 95．（河北·中考真题）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）． 发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？ （2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值： （3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影． 拓展如图．当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围． 探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值． $$专题五 几何图形的性质与判定的综合问题 第09讲 圆的综合问题 （思维导图+3点+8种题型） 试卷第2页，共238页 2 / 244 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、圆的性质与几何图形问题 题型01、圆内性质的综合应用问题 题型02、圆与三角形的综合问题 题型03、圆与四边形的综合问题 考点二、圆与函数的综合问题 题型01、圆与一次函数的综合问题 题型02、二次函数与圆的综合问题 考点三、圆的常考类型题 题型01、隐圆问题 圆的最值问题 题型02、圆的折叠问题 题型03、动态圆问题 中考考点 新课标要求 命题预测 圆 ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系。 ②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 ③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 ④了解三角形的内心与外心。 ⑤了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。 ⑥能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。 *能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线（例76)。 *探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。 ③会计算圆的弧长、扇形的面积。 @了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。 在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上.在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题，所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三. 点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、圆的性质与几何图形的综合问题 题型01、圆内性质的综合应用问题 1．（2023·浙江台州·中考真题）如图，的圆心O与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ）．    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D 【点睛】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置． 2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴，    不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的半圆与斜边相切于点D，交于点E，连结．    (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连结，根据切线的性质得，再根据“”证明，可得答案；                 （2）先求出，可得，根据特殊角三角函数求出，进而求出答案. 【详解】（1）如图，连结，    ∵半圆O与相切于点D， ∴．                     ∵， ∴. ∵，， ∴．                 ∴． （2）如图，∵，， ∴. ∵， ∴.    ∵， 在中，， ∴. 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等，构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，O为边上一点，连结，以为半径的半圆与边相切于点D，交边于点E．    (1)求证：； (2)若，，①求半圆的半径；②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①2；② 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，再由全等三角形的判定即可得出结论； （2）①证出，再由直角三角形的性质即可求解； ②由勾股定理求出，，由三角形面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，点D为切点， ∴， ∵，，， ∴， ∴；    （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为2； ②在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）将的顶点A放在半圆O上，现从与半圆O相切于点A（如图1）的位置开始，将绕着点A顺时针旋转，设旋转角为，旋转过程中，与半圆O的另一交点记为E，与半圆O的另一交点记为F，连接（如图2）． 已知，，，半圆O的直径为8． (1)嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；淇淇认为：弦的长度随点E的运动而发生变化． 请你分析他俩谁说的对，并说明理由； (2)当点F与点D重合时，如图3． ①判断与半圆O的位置关系，并证明； ②求图中阴影部分的面积和； (3)设的中点为M，直接写出点M的运动路径长． 【答案】(1)嘉嘉说的对；理由见解析 (2)①与半圆O相切；证明见解析；② (3) 【分析】（1）连接、, 根据圆周角定理得到的度数即可解题 （2）①过点O作于点N，证明，即可得到，然后求出长即可得到结论； ②连接，得到是等边三角形，然后根据阴影部分的面积和 （3）连接，可以得到点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动，然后分为点E与点A重合、点F与点D重合两个临界时刻，求出旋转角解题即可． 【详解】（1）解：嘉嘉说的对； 理由：如图，连接，，则． 的度数不变， 的长度也不变； （2）解：①与半圆O相切； 证明：如图，过点O作于点N， 则， ， ， ． ，，， ． 半圆O的直径为8， ， ， ，解得， ，即是的半径， 与半圆O相切； ②如图，连接， ，， 是等边三角形， ，． ，， ， 阴影部分的面积和； （3）解：的中点M的运动路径长为． 连接，则， ， ， ， 点M在以点O为圆心，2为半径的圆上运动． 当点E与点A重合时，如图，； 当点F与点D重合时，如图． 是的直径， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、矩形的判定与性质、三角形的面积公式、弧长公式、扇形的面积公式等知识，掌握圆的相关知识是解题的关键. 6．（2024·广东梅州·一模）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 7．（2024·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，推出，即可证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，利用相似三角形对应线段成比例证明即可； （3）令与的交点为，先证明四边形是矩形，再利用垂径定理，得出，设的半径为，利用勾股定理，依次求出，，，，再证明，利用相似三角形对应线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，令与的交点为， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径，， ， 设的半径为，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，延长相交于点，连接． ①已知，求的长； ②记与的交点为，若，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可． 【详解】（1）证明：是直径，， ， ． （2）解：①，， ∴， ， ， ． ②连接， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，平分， ，， ， 四边形是圆的内接四边形， ，， 由（1）可知， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，圆内角四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质． 题型02、圆与三角形的综合问题 9．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可； （2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可； （3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案； ②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：如图1，连结．设半圆O的半径为r． ∵切半圆O于点D， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，即半圆O的半径是． （2）由（1）得：． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）①显然，所以分两种情况． ⅰ）当时，如图2． ∵， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3， 则四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得：， ∴． 综上所述，x的值是或． ②如图4，连结， 由对称可知， ∵BE⊥CE，PR⊥CE， ∴PR∥BE， ∴∠EQR=∠PRQ， ∵，， ∴EQ=3-x， ∵PR∥BE， ∴， ∴， 即：， 解得：CR=x+1， ∴ER=EC-CR=3-x， 即：EQ= ER ∴∠EQR=∠ERQ=45°， ∴ ∴，   ∴． ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键． 10．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，是的直径，直线是的切线，为切点．，是圆上两点（不与点重合，且在直径的同侧），分别作射线，交直线于点，点．    (1)如图1，当，的长为时，求的长． (2)如图2，当，时，求的值． (3)如图3，当，时，连接BP，PQ，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出的长． （2）根据等弧所对圆周角相等推出，再根据角平分线的性质定理推出，利用直角三角形的性质即可求出，通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明和，从而推出和，利用已知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1，连接，设的度数为．   ，的长为， ． ，即． ． 直线是的切线， ． ∴． （2）解：如图2，连接，过点作于点，   为直径， ． ． ， ． ，， ． ，， ． ． （3）解：，理由如下： 如图3，连接BQ，     ，， ，， ， ， ． ， ， ．① ，， ， ．② ， 得，． ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)线段是定长，长度不发生变化，值为 (3)证明见解析 【分析】（1）以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，与交点为，则，分别以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，与交点为，即、点即为所求； （2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，； （3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证． 【详解】（1）解：如图1，、点即为所求；    （2）当弦的长度发生变化时，线段的长度不变； 如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，    ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴线段是定长，长度不发生变化，值为； （3）证明：如图3，延长、，交点为，          ∵， ∴点H为的中点， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设． (1)用含的代数式表示． (2)求证：． (3)如图2，为的直径． ①当的长为2时，求的长． ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①3；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）由（1）的结论，、证即可； （3）①通过角的转换得，即可求的长；②连结，证，设，则，由相似的性质即可求解； 【详解】（1）∵，① 又∵，② ②-①，得2， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）①∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∵为的直径， ∴． ∴． ∴与的度数之比为3∶2． ∴与的长度之比为3∶2， ∵， ∴． ②如图，连结． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 设与的相似比为k， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ， ∴， 由，得， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 13．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 14．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得； （2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，   ， ， 直径垂直弦， ，， 又， ， ， 设，， 则，   ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 15．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．    (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由； ③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】(1)； (2)①见解析；②；③的长为或． 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解； ③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）解：连接，    ∵的直径垂直弦AB于点E，且，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①连接，    ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，    ∵的直径垂直弦AB于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，      在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，      在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 16．（2023·浙江宁波·中考真题）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，若平分且．    (1)求的度数． (2)①求证：． ②若，求的值， (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②； (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）①证明，再证明，可得；②设， ，证明，可得，即，则，可得，从而可得答案； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 解法二：如图，延长，分别交、于M、N，连接．先证，再证，则可得．根据等腰三角形三线合一，可得，由此可得．由，可得．再证．则可得，即，解出r的值，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴（负根舍去）； （3）解法一：如图，设的半径为，连接交于，过作于，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（负根舍去）， 由（2）①知， ∴． 解法二： 如图，延长，分别交、于M、N，连接， ， ． 又， ， ． ， ， ． 又， ， ． 又， ，． ， ． ， ， ， ， 即， 得， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，点为上一点，连结，，，过点作，交于点． (1)如图①，已知，求的度数． (2)如图①，已知，，求的长． (3)如图③，延长交于点，连结． ①探索并用等式表示线段，，之间的数量关系，说明理由； ②若，．求的半径． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②或 【分析】（1）根据垂直，平角的性质可得，因为，可得，所以，根据三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于，连结，，可证，在中由勾股定理可得，根据，，可得，由此即可求解； （3）①根据圆周角定理可得，如图所示，连结并延长交的延长线于点，根据内接四边形的性质，三角形内角和定理可得， ，根据等角对等边可得，，由等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解；②设，由①知，根据题意可证，可得，在中，根据勾股定理解得：或，当时，当时，由勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：，，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，延长交于，连结，， 是的直径， ， ∵， ∴， ， ， ， ，， ； （3）解：①， ， 如图所示，连结并延长交的延长线于点， 为的直径， ， ∴， 在中，， ， ，， ，即； ②设， ，， 由①知， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，整理得，， ∴， 解得：或， 当时，， ∴， ∴的半径为； 当时，， ∴， ∴的半径为； 的半径为或． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角，直径所对圆周角等于90度，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． 18．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)， 【分析】（1）设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，由，可得，，所以可得点在线段的垂值平分线上，如图所示，连接并延长交于于点，可得，在中，设，则，，根据勾股定理可求出，由此即可求解； （3）由（2）可得，，如图所示，过点作于点，可证，得到，根据，可求出，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，由勾股定可得，可求出，在中，，所以有，可求出，在中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接，可得，，再根据三角形相似的判定可得，求出，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图所示，连接并延长交于于点， ∴，，， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键． 19．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知：在中，，，D是的中点，以为直径的分别交、于点F、E，点E位于点D下方，连接交于点G． (1)求证：F是的中点； (2)如图1，如果，求的长； (3)如图2，设，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，利用直角三角形斜边中线的性质得到，再根据圆周角定理得到，最后利用三线合一证明即可； （2）连接．在中，求出，即可解决问题． （3）连接，设交于，连接，，．想办法用表示，，证明，推出，延长构建关系式即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ，是中点， ， 是直径， ，即， 是中点； （2）解：如图2，连接． 在中，，，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 在中，． （3）解：如图3，连接，设交于，连接，，． ， 是的直径， 直线经过点， 是的直径， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 20．（2024·浙江杭州·二模）如图，在的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在点运动过程中，当时，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等分别确定，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据，可求出的值，根据勾股定理可求出的值，从而确定的值，运用勾股定理即可求解； （3）如图所示，连接，过点作于点，根据题意可证，可得，设，根据（2）的证明方法可得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴，即，且， ∴； （2）解：已知，， ∴在中，， ∴， 解得，（负值舍去），则， ∴， 如图所示，连接， ∵，设,则, ∴在中，， 在中，， ∴， 解得，， ∴，， ∴，则， ∵， ∴点是的中点，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点作于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，且，， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， 根据（2）中的计算方法，可得， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角直角三角形的计算方法，等面积法求高，垂径定理的知识的综合运用是解题的关键． 题型03、圆与四边形的综合问题 21．（2020·浙江温州·中考真题）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G． （1）求证：∠1＝∠2； （2）点C关于DG的对称点为F，连结CF，当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据∠ADC＝∠G得，进而可得，由此可得∠1＝∠2； （2）连接OD、FD，先证FC＝FD，FD＝CD，进而可得FC＝FD＝CD＝10，DE＝CD＝5，再根据tan∠1＝可得BE＝2，设OB＝OD＝x，则OE＝5－x，根据勾股定理即可求得⊙O的半径． 【详解】（1）证明：∵∠ADC＝∠G， ∴， ∵AB为⊙O的直径， ∴ ∴， ∴， ∴∠1＝∠2； （2）解：连接OD、FD， ∵，， ∴点C、D关于直径AB对称， ∴AB垂直平分CD， ∴FC＝FD，CE＝DE＝CD，∠DEB＝90°， ∵点C关于DG的对称点为F， ∴DG垂直平分FC， ∴FD＝CD， 又∵CF＝10， ∴FC＝FD＝CD＝10， ∴DE＝CD＝5， ∵在Rt△DEB中，tan∠1＝ ∴， ∴， ∴BE＝2， 设OB＝OD＝x，则OE＝5－x， ∵在Rt△DOE中，， ∴， 解得： ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直径的性质、解直角三角形以及勾股定理，作出正确的辅助线以及根据轴对称性证得FC＝FD＝CD＝10是解决本题的关键． 22．（2021·浙江宁波·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连接并延长交的延长线于点F，与交于点G． （1）若，请用含的代数式表列． （2）如图2，连接．求证；． （3）如图3，在（2）的条件下，连接，． ①若，求的周长． ②求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得，即可得到答案； （2）由，得到，从而推出，证得，由此得到结论； （3）①连接．利用已知求出，证得，得到，利用中，根据正弦求出，求出EF的长，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案； ②过点C作于H，证明，得到，证明，得到，设，得到，利用勾股定理得到 ，求得，利用函数的最值解答即可． 【详解】解：（1）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）①如图，连接． ∵为的直径， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴的周长为． ②如图，过点C作于H． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， ∴， ∴． 在中， ， ∴， 当时，的最小值为3， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键． 23．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， ； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立： ②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值． 【答案】（1）；①证明见解析；②补全图形见解析，， 【分析】（1）可证是等边三角形，则，由直线l是的切线，得到，故； （2）①根据矩形的性质与切线的性质证明，则，而，由，得到； ②过点O作于点G，于点H，在中，先证明点E在线段上，，由等腰三角形的性质得，根据互余关系可得，可求，解，求得，可证明，故在中，． 【详解】解：（1）由题意得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线l是的切线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②补全图形如图： 过点O作于点G，于点H， 在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段上， ∴在，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴在中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 24．（2023·广东·中考真题）综合探究 如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．    (1)求证：； (2)以点为圆心，为半径作圆． ①如图2，与相切，求证：； ②如图3，与相切，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明； （2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出； ②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为． 【详解】（1）∵点关于的对称点为， ∴点E是的中点，， 又∵四边形是矩形， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴ （2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵与相切，为半径，， ∴， ∴ 又∵即，， ∴是的角平分线，即， 设，则， 又∵ ∴ ∴ 又∵，即是直角三角形， ∴，即 解得：， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； ②过点O作于点H，    ∵与相切， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵是的中位线， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形，， 设，则 ∴ 在中，， 即 ∴ ∴的面积为： 【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 25．（2025·河北邢台·模拟预测）如图1，在矩形中，，点在射线上，过点作切于点，设． (1)如图2，当圆心在对角线上时，_____；请求出此时劣弧的长． (2)过点作于点， ①如图3，当点在线段的延长线上，且时，求的值； ②当点在线段上时，求线段长度的最大值； ③直接写出当时，的值． 【答案】(1)30，； (2)①；②；③或或 【分析】（1）由题意得到，得到，再根据与相切，即可得到的度数；设的半径为，则，求出，再根据弧长公式进行计算； （2）①证明，得到，即，即可得到答案； ②证明，根据相似三角形的性质得到，进行计算求出最大值即可； ③分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：， ． ． 与相切， ． ． ， ， ． ． ． ， 设的半径为，则． ，， ． ． ， ， ． ． 劣弧的长． 故答案为：，； （2）解：①当时， 于点，， ， 与相切， ． ， ， 在和中， ， ． ， ， ， ， 解得． ②如图，由①可知，，． ， ， ， ， ． ， 当时，． ③或或． 由，得． 如图5，当点在线段上时，， 即， 解得或； 如图6，当点在线段的延长线上时，， 即， 解得（舍）或． 故或或． 【点睛】本题主要考查特殊三角形的三角函数值，圆的切线的性质，弧长公式，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，解一元二次方程等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 26．（2025·江苏连云港·模拟预测）圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 【答案】（1）②③；（2）；（3）；（4）图形见解析 【分析】本题考查圆的综合，解一元二次方程，菱形的性质等知识点，理解反演点的定义是解题的关键； （1）由反演点的定义得到，再根据题意判断之间的关系，即可判断3个选项； （2）根据反演点定义得到，，或，分别代入解方程即可； （3）由，且可得，，代入计算即可； （4）由四边形是菱形可得，，得到，再根据反演点定义得到，，推出，得到，， 则的半径为，，以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出． 【详解】解：（1）①若点在圆外，则，由可得，即它的反演点在圆内，故说法错误； ②由可得，若点在圆内，则每一个值都有一个圆外对应的值，反之也成立，即圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的，故说法正确； ③圆上的点到圆心的距离，即它们的反演点是圆自身，故说法正确， 故答案为：②③． （2）∵是关于的反演点，且， ∴，或， 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 综上所述，； （3）∵，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （4）∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在的延长线上．若和是关于的反演点， ∴， ∴，即， 整理得， ∴，， ∴的半径为，， 以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出，图形如下： 27．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T． (1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证． (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． (3)如图①，连结，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据菱形的性质即可得证； （2）连接，，连接并延长交于H，根据，得到为=的直径，根据圆周角定理求出，设的半径为r，利用勾股定理即可解答； （3）连接，，过B作于K，设，证明，列出比例式，求出，，设，则，设，则，根据，代入数值，得到①，延长交的延长线于点G，②，由①得③，由②得④，求解即可． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ． ， ． （2）解：如图①，连结，，连结并延长交于， ， 为的直径． ，， ， ，， ， ． 设的半径为，则， 解得：． （3）解：如图②，连结，，过B作于K，设， ，． ， ． 同理可得：， ． ， ． ， ， ． 同理． 为直径， ， 而． ， ，． 设，则，设，则． ， ，① 延长交的延长线于点，则， 在中，，，，则， 即，② 由①得：，③ 由②得：，④ 得：，代入③得：， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 28．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在矩形中，，是直线上一动点，连结并延长至点，使，过点作于点，交直线于点，过点作交直线于点，以为直径的交直线于点．    (1)求证：； (2)当点在点的右侧时，若，且四边形的面积等于，求的半径； (3)若，在点的整个运动过程中， ①当为何值时，四边形是菱形？ ②连结，当与某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)①或；②或． 【分析】（1）如图中，设交于，连接只要证明，，即可解决问题； （2）如图中，作于，设，则，，，利用面积公式求出即可解决问题； （3）分两种情形如图中，当四边形是菱形时．如图中，当四边形是菱形时．分别求解即可； 分三种情形讨论：与相切，与相切，与相切，分别求解即可； 【详解】（1）证明：如图中，设交于，连接．   是直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ； （2）如图中，作于，设， 则，，，    由题意， 解得， ， ， 的半径为； （3）如图中，当四边形是菱形时，   ， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ． 如图中，当四边形是菱形时，    易知，，， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 如图中，当与相切时． 易知：，由可知，，．    如图中，当与相切时．易知，， ， ，， ．    如图中，当与相切时，由可知，， ，      综上所述，当与某一边所在的直线相切时，的长为或． 【点睛】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 29．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连结，连结交于点H，作于点G．则，证明四边形是矩形，即可求解； （3）连结，根据题意可得，再由矩形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形 ， 又 （2）解：连结，连结交于点H，作于点G．则， 为的中点， 为的直径， ，四边形是矩形， ， （3）解：连结． 的半径为3 ∵四边形是矩形 ∵四边形内接于， ∴， ∵， 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 30．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出； （2）利用圆内接四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案； （3）根据得出的长，即可求出的长，再判断，求出的值． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， ， 垂直平分， ； （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ； （3）解：连接， ， ， 在中， ， 是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出，的长是解题关键． 31．（2021·浙江温州·三模）已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b（b＞2），E，F为BC边上的点，BE＝CF＝1．连接AE，AF，DF，BD． (1)已知a＝3，如图1， ①当∠AEB＝∠AFD时，求证：AF＝AD； ②若△AEF与△DBF相似，求b的值． (2)作△ABF的外接圆⊙O，如图2，记⊙O的半径为r．若a＝3，则当⊙O与△DCF的一边相切时，求所有满足要求的r的值； (3)已知a＝1，如图3．若经过A，E，D三点的⊙O′的半径R满足≤R≤5，则线段EF的范围为___（直接给出答案）． 【答案】(1)①见解析；② (2)r的值是或 (3)2≤EF≤6 【分析】（1）①先证△ABE≌△DCF得∠DFC＝∠AEB，∠AFD＝∠AEB＝∠DFC＝∠ADF，从而得证；②先确定是△EAF∽△FBD，从而可得； （2）当⊙O与DF相切时，由△ABF∽△FCD可得，当⊙O与DF相切时，由梯形的中位线定理得OM＝，在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF＝，进而求得； （3）当R＝时，作OG⊥AE，OH⊥AD，在Rt△AOG中，OG＝，OM＝OG﹣GM＝，进而求得． 【详解】（1）解：①如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°， AB＝CD， AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， 又∵BE＝CF＝1， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠DFC＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AFD， ∴∠DFC＝∠AFD， ∴∠DFA＝∠ADF， ∴AF＝AD； ②如图2， 连接DE， 由①知，AE＝DF，AD∥EF， ∴∠EAF＝∠EDF， ∴∠BDF＞∠EAF， 由①知，∠DFC＝∠AEB， ∴∠AEF＝∠DFB， ∴△EAF∽△FBD， ∴， ∴（b＞0）， ∴b＝； （2）解：如图3， 当⊙O与DF相切时， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AFB+∠DFC＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AFB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DFC， ∵∠B＝∠C， ∴△ABF∽△FCD， ∴， ∴， ∴BF＝9， ∴AF＝， ∴r＝， 如图4， 当⊙O与CD相切时，连接OM， ∴∠D＝∠COM＝90°， ∴OM∥AD∥BC， ∵OA＝OF， ∴OM＝， 在Rt△ABF中， AF＝， ∴OA＝， ∴BF+2＝， ∴BF＝， ∴r＝OA＝， 综上所述：r的值是或； （3）解：如图5， 由题意得，AE＝， 作OG⊥AE于G，OH⊥AD于H， ∴AG＝AE＝，BC＝AD＝2AH， 当R＝时， 在Rt△AOG中， OG＝， ∵GM＝AG＝，AM＝BE＝1， ∴OM＝OG﹣GM＝， ∴MH＝OM＝1， ∴AH＝AM+MH＝2， ∴BC＝AD＝4， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝2 当R＝5时， 同上得， 在Rt△AOG中， OG＝， ∵GM＝AG＝，AM＝BE＝1， ∴OM＝OG﹣GM＝3， ∴MH＝OM＝3， ∴AH＝AM+MH＝4， ∴BC＝AD＝8， ∴EF＝6， 故答案是：2≤EF≤6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的性质与判定、垂径定理及切线的性质，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的性质与判定、垂径定理及切线的性质是解题的关键． 32．（2022·浙江金华·一模）已知AC是平行四边形ABCD的一条对角线，且AB＝AC，⊙O是的外接圆，CD与⊙O的另一个交点为E，连结AE． (1)当点E在线段CD上时，如图1． ①求证：∽ ②若，的面积为，求⊙O的半径． (2)当点E在直线CD上时，过点E作EH⊥AB于H，直线EH与直线BC交于点F． 如图2，若时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】（1）①由圆内接四边形性质得，E是CD与交点，由四边形ABCD是平行四边形得到，，可证得；②连结AO并延长，交BC于点M，过点A作交CD于点G，连结BO，设，则，由勾股定理求得AB=，由可求得，，再通过三角形面积列出关于x的方程求解即可； （2）当E在线段CD上时以及当E在射线DC上时两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵是△ABC的外接圆， ∴， ∵， ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． ②连结AO并延长，交BC于点M，过点A作交CD于点G，连结BO． ∵， ∴， ∴，即， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴在Rt△ABM中，． ∵在平行四边形ABCD中， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设半径为r， ∴， ∵在Rt△CBM中，， ∴， 解得， ∴半径为5． （2）①如图，当E在线段CD上时，过点C作交AB于点I，过点A作交DE于点G， 易证． ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵，， ∴， ∴在Rt△BCI中，， ∴． ∵在平行四边形ABCD中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD与圆O相切， ∴，即 ∴， ∴，（舍去） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，当E在射线DC上时， 同理可得． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，涉及的知识点非常多，属于中考压轴题． 33．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 考点二、圆与函数的综合问题 题型01、圆与一次函数的综合问题 34．（2021·浙江温州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结． （1）求的半径和直线的函数表达式． （2）求点，的坐标． （3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）半径为，直线的函数表达式为；（2）点为，点为；（3）5，10或 【分析】（1）由，，确定点为，再利用两点间距离公式求解即可得到半径的长，利用待定系数法可直接得到直线CM的函数表达式； （2）先作辅助线构造相似三角形，求出，，即可得到点为，点为； （3）先作辅助线，得到，再分三种情况讨论，通过作轴于点，证出点为符合条件的点，再分别讨论当时和时的情况，分别得到和的值，最后完成求解． 【详解】解：（1）， 为的直径． ，， 点为， 半径为． 设直线的函数表达式为． 把，代入得，解得． 直线的函数表达式为； ∴⊙M 的半径为，直线 CM 的函数表达式为． （2）过点作轴平行线，点作轴平行线交于点，作轴于点（如图1）， ，， ， ，且 ，， 点为． 点，关于点对称， 点为． （3）作轴于点， ，． ， ． 分三种情况（如图2）： ①作轴于点， ，， ， ， ， 即点为符合条件的一个点． ． ②当时， ， ． ， （）， ， ． ③当时， ， ， ． ， ， , ， ． 综上所述，当与的一个内角相等时，的长为5，10或． 【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、圆、待定系数法求函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，要求学生根根据题意找到相等关系建立方程求解，本题综合性很强，对学生的分析能力要求较高，解决本题的关键是能通过作辅助线构造相似三角形以及牢记相关概念、性质和公式等，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 35．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．    (1)求的长和关于的函数表达式． (2)当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值． (3)延长交半圆于点，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得； （2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解． （3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接．    ∵切半圆于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 如图2，， ∴．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，三边之比为（如图2）， ∴可分为三种情况． i）当时， ，， 解得， ∴． ii）当时， ，， 解得， ∴． iii）当时， ，， 解得， ∴． （3）如图3，连接，，过点作于点，    则，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键． 36．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线与交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段上，动点N在直线上，若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为    【答案】或 【分析】如图，由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得在以为直径的圆上，，可得是圆与直线的交点，当重合时，符合题意，可得，当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，，证明，设，可得，，而，则，再解方程可得答案． 【详解】解：如图，∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上，， ∴是圆与直线的交点，    当重合时， ∵，则， ∴，符合题意， ∴， 当N在的上方时，如图，过作轴于，延长交于，则，， ∴，    ∵，， ∴， ∴， ∴，设， ∴，， 而， ∴， 解得：，则， ∴， ∴； 综上：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 37．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【详解】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 38．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，为平面直角坐标的原点，直线与两坐标轴交于两点，，，若的圆心在直线上，且与所在直线相切，则圆心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查切线的性质、勾股定理、三角形和梯形的面积及一次函数图像上点的坐标特征，根据的圆心在直线上设，分点在直线下方和点在直线上方两种情况，利用切线的性质及三角形面积公式和梯形面积公式列方程求出的值即可得答案． 【详解】解： 如图，当点在直线下方时，作，连接、， ∵，， ∴， ∵的圆心在直线上， ∴设， ∵与所在直线相切于、， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴． 当点在直线上方时，连接、、， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 综上所述：圆心的坐标是或， 故答案为：或 39．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于点E、F，则线段的最大值为（    ）    A．1.8 B．2.4 C． D．2.5 【答案】B 【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，连接，当直线过O点时，最小，则的值最大；利用，求出即可求解． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，连接，    ∵， ∴， 当的值最小时，EF的值最大， 根据垂线段最短可知，当直线过O点时，最小，则的值最大， ∵、， ∴ ∵ 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即线段的最大值为； 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、一次函数的图象及性质；能够确定最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键． 40．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O，分别交x轴，y轴于点，连结．直线分别交于点（点D在左侧），交x轴于点，连结． (1)求的半径和直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)点P在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)的半径为，直线的解析式为 (2) (3)的长为或或 【分析】（1）根据A，B坐标可得，根据直径或半圆所对圆周角为直角可得是之间，可得的半径，如图所示，过点作轴于点，可证，可得，运用待定系数法可得直线一次函数的解析式； （2）设，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，根据题意，分类讨论：第一种情况，点在的位置，，则；第二种情况，点在的位置，，是等腰直角三角形，即点与点重合；第三种情况，点在的位置，，；运用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点在直线的图象上， ∴设， ∵，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限，第在第一象限， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 如图所示， 第一种情况，点在的位置，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 第二种情况，点在的位置，， ∴是等腰直角三角形，即点与点重合， ∴， ∴； 第三种情况，点在的位置，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，圆的基础知识，一次函数与几何图形的综合，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握坐标与图形，圆的基础知识，待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 41．（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）如图，与y轴交于点，一次函数（）的图像分别交x轴、y轴于点B、C． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为D、E，若，求b的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为． 【分析】（1）过点O作的垂线，垂足为D，求出，得出，，进一步求出，即可得出结论； （2）连接，，过点O作的垂线，垂足为F，则， 判定和为等腰直角三角形，得到，求出点，即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作的垂线，垂足为D， 当时，， 当时，， ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ， ∴直线与相切； （2）解：连接，，过点O作的垂线，垂足为F，则，如图： ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， 将代入直线中，得， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形等性质，掌握相关知识是解题的关键． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，一次函数的图象分别交轴于点． (1)如图1，当时，求证：直线与相切； (2)如图2，直线与相交，交点分别为，，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先根据坐标可得：的半径为1，如图1，过点O作于M，根据勾股定理和面积法可得，即可得结论； （2）如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F，证明，得，，可得，并结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵点， ∴，即的半径为1， 如图1，过点O作于M， 当时，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切； （2）解：如图2，连接，，过点D作轴于G，过点E作轴于F， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D，E在直线上， ∴， 把①代入②得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质，圆周角定理，切线的判定，三角形的面积，勾股定理，三角形全等的性质和判定，坐标与图形的性质等知识，与方程相结合即可解决问题． 43．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． (1)已知点，B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“非常距离”为4，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)已知C是直线上的一个动点， ①如图2，若，点D的坐标是，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②如图3，若E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点C与点E的“非常距离”的最小值为1，直接写出点E的坐标和b的值． 【答案】(1)①点的坐标是或；②3 (2)①；②， 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得的值； ②设点的坐标为．因为，所以点与点的“非常距离”最小值为3； （2）①设点的坐标为．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点的坐标； ②根据“非常距离”的定义，点在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点的“非常距离”是与的纵坐标的差，值为1，据此求出的坐标及b值． 【详解】（1）解：①∵为轴上的一个动点，点， ∴设点的坐标为， ， ∴，解得：或； ∴点的坐标是或； ②设点的坐标为， ， ∴当时，点与点的“非常距离”为3；当时，点与点的“非常距离”为； ∴点与点的“非常距离”的最小值为3； （2）解：①若，则直线， 如图，当点与点的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义，若，则点与点的“非常距离”为，此时．即， ∵是直线上的一个动点，点的坐标是， ∴设点的坐标为， ， 此时，， ∴点与点的“非常距离”的最小值为：， 此时； ②如图，当点在过原点且与直线垂直的直线上，此时点与点的“非常距离”最小值为， 过 E 作轴，连接， 设与轴交于， 则， ， ， ， 对于，当时，， ， ， 当时，， 解得：， ， ， 设（点位于第一象限）． 则， 解得：， 故， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，读懂“非常距离”是解题的关键． 44．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求的值． (2)已知点，D是射线上的动点（不与点A重合），过A，C，三点的圆与轴交于点，求证：． (3)在（2）的条件下，设D，两点的横坐标分别为，m． ①求m与n的数量关系； ②当时，求m，n的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；② 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解； （2）作轴交于H，则有，由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （3）①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求解；②由题意易得，则有，然后根据①中结论可进行求解． 【详解】（1）解：由直线可知：当时，；当时，； ∴， ∴， ∴； （2）证明：作轴交于H，如图所示：    ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①过点D作于点N，交的延长线于点M，连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、一次函数及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键． 45．（2025·湖南长沙·一模）如图一，⊙O与坐标轴相交于点，点，过两点作直线． (1)①请分别写出、关于直线的对称点坐标 ， ； ②若C是平面内一点，且，则C点横坐标的最大值为 ． (2)如图二，若P是外一点，已知圆上一点，连接PA和PM，且直线和中一条经过点O，另一条是的切线，求点P的坐标． (3)如图三，已知点，，对于线段上一点F，存在的弦，连接，，使得直线和中一条经过点O，另一条是切线，记的长为t，当点F在线段上运动时，求出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②4 (2)， (3)或 【分析】（1）①根据轴对称的性质画图，即可得到坐标； ②根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，需要画出以线段为弦的两个圆，并且所对的圆心角是，画出如图，即可得到答案； （2）根据题意分两种情况讨论，即可解决问题； （3）此小问要想求出t的取值范围，需要充分理解题意，可以设G为切点也可以是H为切点都是一样的，我们不妨设G为切点，再进行讨论点F的位置，即可求得答案； 【详解】（1）①由轴对称的性质可作图，即可得到、关于直线的对称点坐标，； 故答案为：，； ②如图，要使，点C是两个圆上优弧上任意一点（除A、B之外），即可得到横坐标最大值为4， 故答案为∶4． （2）解：由题意分以下两种情况讨论： ①如图，若为切线，则点P是直线与直线的交点．此时． ②如图，若为切线，则，点P是直线（y轴）与直线的交点． 易得的解析式为．此时 综上所述，，． （3）解：不妨设G为切点，和为直线与的两个交点，且为短弦，为长弦 共有2种临界情况，分别位于点D和经过点O的的垂线上． ①    当F位于点时，为的切线，连结，，， ， ，； ②    当F位于经过点O的的垂线上时， 如图： ，， ， ， ∴， 由题易得：， ， ， 在直角三角形中， ∴ 解的：， 在两种情况下，最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或 【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，图形与坐标，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是要充分理解题意，读懂题意． 题型02、二次函数与圆的综合问题 46．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点． (1)填空：____；____；_____． (2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值． (3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入直线中求出，根据二次函数的对称轴和经过点得到方程组，解方程即可求出、； （2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解； （3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与轴交于点，根据题意易得到外接圆的圆心必在边的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点，，进而求出点，的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，得到这两点的横坐标，进而求出和的横坐标，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点， ， ． 二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点， ，， 联立组成方程组为， 解得． 故答案为：；；． （2）解：由题意知：抛物线解析式为，即． 将的图象向右平移个单位后得到， 其顶点坐标为． ∵顶点恰好落在直线上， ， ． （3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点． 设抛物线对称轴与轴交于点． ， 为等腰直角三角形． 点在轴上， 则外接圆的圆心必在边的中垂线上． 设该中垂线交抛物线于点，． 由可知线段的中点坐标为， ，故可求得该中垂线解析式为． ∴解方程组 解得：． 即，两点的横坐标分别为． 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， 则，两点的横坐标分别为． ． ． 从而点的横坐标为． 同理． ． 从而点的横坐标为． 的取值范围是． 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键． 47．（2011·浙江衢州·中考真题）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示． （1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由； （3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为;（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．理由见解析；（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形． 【详解】解：（1）∵l1⊥l2， ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°， 又∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠BCO=∠CAO,又∠COA=∠BOC=90° ∴△BOC∽△COA， ∴ ， 即， ∴， ∴点C的坐标是（0，）， 由题意，可设抛物线的函数解析式为， 把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入， 得 ， 解这个方程组，得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF． 理由如下： 可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为， 抛物线的对称轴为直线x=-1， 由此可求得点K的坐标为（﹣1，）， 点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0）， ∴KD=，DE=，EF=， ∴KD=DE=EF． （3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形． 理由如下： （i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，）， 又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB， ∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形， ∴△CGK为正三角形 ∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，）， （ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形， ∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，）， （iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK， 但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形， 综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形． 48．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)或 (4)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； （4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； （4）解：是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 49．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】〔1〕可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点，可求得抛物线的解析式； 〔2〕联立直线和抛物线解析式可求得、两点的坐标，那么可求得C点坐标和线段的长，可求得圆的半径，可证得结论； 〔3〕过点C作于点H，连接，可求得，利用〔2〕中所求B、D的坐标可求得，那么可求得和的长，可求得其比值． 【详解】（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是， 可设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得，                                                                                                                                         抛物线解析式为； （2）解：联立直线和抛物线解析式可得， 解得或， ，， 为的中点， 点的纵坐标为， ， 圆的半径为， 点到轴的距离等于圆的半径， 圆与轴相切； （3）解：如图，过点作，垂足为H，连接，    由〔2〕可知，， 在中，由勾股定理可求得， ， ， ， ． 【点睛】此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在〔1〕中注意利用抛物线的顶点式，在〔2〕中求得B、D的坐标是解题的关键，在〔3〕中求得、的长是解题的关键．此题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大． 50．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 51．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则，， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 52．（2020·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为，，， 【分析】（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上； （3）分四种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，同理③④种情况，进而求得⊙M的半径． 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3) ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3 故答案为：y＝﹣x2+x+3 （2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作QM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N ∵△QCO是等边三角形，OC=3 ∴CN= ∴NQ= 即Q(,) 当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠ ∴Q(,)不在抛物线上 y＝﹣x2+x+3 故答案为：不存在，理由见解析 （3）①⊙M与y轴相切，如图所示 ∵y＝﹣x2+x+3 当y=0时，﹣x2+x+3=0 解得x1=-1，x2=4 ∴B(4,0) 令直线BC的解析式为y=kx+b 解得 ∴直线BC的解析式为 令M点横坐标为t ∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切 ∴t=﹣t2+t+3- 解得t= ⊙M的半径为 ②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示 令M点横坐标为m ∵PN=2MN ∴ 解得m=1或m=4（舍去） ∴⊙M的半径为： ③当与轴相切时，如图3： 点与点重合时 半径 ④当与轴相切时如图4： 设， 则，因 解得，（舍去） 半径 综上所述：的半径为，，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质． 53．（2021·湖北荆门·模拟预测）我们把方程称为圆心为、半径长为的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴相切于点，过点，，的抛物线的顶点为． (1)求的标准方程； (2)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)连接，求的值． 【答案】(1) (2)直线与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接、，过点作于点，设的半径为，根据与轴相切于点，可得四边形是矩形，从而得到，，进而得到，再由勾股定理可得，即可求解； （2）先根据垂径定理可得到，从而得到抛物线解析式为，进而得到，然后分别求出AC、AE、CE的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解； （3）在中 ，利用锐角三角函数，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接、，过点作于点， 设的半径为， 与轴相切于点， 轴，， ， 四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴OB=8， ， ， ，即， 解得：， ， ， 的标准方程为； （2）解：直线与相切，理由如下： 由（1）知：，， ，， ∴OF=5， ∵OB=8， ∴AF=BF=3， ∴OA=2， ， ∴可设经过点、、的抛物线解析式为， ∵点， 则， 解得：， ， ， 如图2，连接，， ，，， ，，， ，， ， ，即， 为的半径， 与相切于点； （3）解：如图2，由（2）知：，，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，垂径定理，求正弦值，熟练掌握相关知识点，理解圆的标准方程是解题的关键． 考点三、圆的常考类型题 题型01、隐圆问题 圆的最值问题 54．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（  ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出． 【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图， 因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ， ∴∠OMQ=∠ONQ=45°， ∴∠MON=90°， 所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°， 所以点P在圆O上，PM为圆O的弦， 通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O， 所以此时最大，等于圆O的直径， ∵BM＝4，BN＝2， ∴， ∴MQ=OQ=， ∴OM=， ∴， 故选 C． 【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键． 55．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 56．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 设， ∴, ∴， ∴，故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故③正确； ④如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 57．（2023·江苏·中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是 ．    【答案】 【分析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵点关于的对称点为， ∴， ∵， ∴在半径为的上， 在优弧上任取一点，连接, 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 当取得最大值时，面积最大， ∵在上运动，则最大值为， 则面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键． 58．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．    【答案】 【分析】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，可得四边形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，则可得点M的运动路径，从而求得路径的长． 【详解】取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，    则，且，，， ∴四边形CEOF为平行四边形， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴四边形为正方形， ∴CE=CF=，EF=OC， 由勾股定理得：， ∵在等腰中，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴，   ∴点在以为直径的圆上， 当点点在点时，点在点；点点在点时，点在点， ∴点的路径为以为直径的半圆， ∴点运动的路径长． 故答案是：． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及正方形的判定，确定点M的运动路径是关键与难点． 59．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接， 矩形中，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当、、共线时，取最小值，最小值为， ， 故选:B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线． 60．（2024·安徽·模拟预测）如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，求出，进而求出的长，的长度即的最小值．此时最小，且等于的长．连接，，，利用垂径定理，得出，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，，， ， ， 是弧的中点， ， ， 由轴对称可知，， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，确定点的位置是本题的关键． 61．（浙江温州·期末）如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为 ． 【答案】8 【分析】连接AP，可得OE是的中位线，当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，进而即可求解． 【详解】解：连接AP， ∵直线与双曲线交于点A，B， ∴点O是AB的中点， ∵E为的中点， ∴OE是的中位线， ∴AP=2OE， ∴当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，即：AC=4+1=5， ∵，即：C(5，0)， ∴设A(x，2x)，则，解得：x1=2，x2=0（舍去）， ∴A(2，4)， ∴k=2×4=8． 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握圆外一个点到圆上距离的最小的点为圆外一点与圆心的连线与圆的交点，是解题的关键． 62．（2019·浙江绍兴·一模）如图，半径为2，圆心M坐标，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到答案即可．由中得到要使取得最小值，即需取最小值，连接，交于点即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 要使取得最小值，即需取最小值， 连接，交于点，此时取得最小值， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 故答案为：． 63．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解 【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为， ∴∠ACA′最大为90° 当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图 过点B作BE⊥AC ∵，，， ∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=， 在Rt△BCE中，BE=CE=1 ∴CA′=CA= 又∵CA′⊥AB ∴在Rt△ACF中，CF= ∴A′F=A′C-CF= 即点到直线距离的最大值是； 点到达点时，线段扫过的面积为： == 故答案为：； 【点睛】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 64．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 65．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最大值为 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是正方形内一点，连接，则，若，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为的湿地，其中，，． 点D是上的一个动点，以为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接与半圆O交于点E，连接，沿修一条步道，为了节约成本，要使得的长度最短，试求的最小值． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解； （2）根据题意得点的轨迹在以为直径的圆上部分，连接，交圆于点，此时的即为的最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解； （3）连接，根据题意得：，以为直径作圆Q，，得出点E在以为直径作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最大， 最大值为， 故答案为：12； （2）根据题意得是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图，    连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，连接，根据题意得：， 以为直径作圆Q，， ∴点E在以为直径作圆Q上， 连接， 当点Q、E、C三点共线时，取得最小值， ∵，，． ∴，， ∴， ∴的最小值为． 66．（2024·江苏常州·模拟预测）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； （2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解； （3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解． 【详解】（1）解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； 证明：连接， 点在的垂直平分线上， ， 经过点， 是的半径，且， 与相切于点， 就是所求的图形； （2）如图2，当圆心在上时，连接，则， 与相切于点， ， ， ∠ACB＝90°，AC＝3，， ， ， ， ， ＝， ， 解得:， 的半径长为， 故答案为：． （3）如图3，作于点，连接、、， ， ， 解得:， ， 是的直径， ， ， ， 当，且的值最小时，则的值最小， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识． 67．（2024·四川乐山·模拟预测）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 【答案】问题情境：7；问题解决：的最小值为；问题拓展：面积的最大值为 【分析】（1）根据可得当O、A、P三点共线且点O在上时，有最大值，最大值为7； （2）连接，设与切于点E，连接，根据得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，则可求出的长，再由可得当三点共线，且点P在上时，有最小值，最小值为； （3）连接，过点作于点．由垂径定理得到，解直角三角形推出，得到，则由圆周角定理可得．进而可得．如图，作的外接圆，要使最大，则点M到的距离最大，由圆周角定理可得，则是等边三角形，可得；连接，设点M到的距离为h，根据，则当三点共线，且时，h有最大值，即此时有最大值，求出点M到的最大距离为，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴当O、A、P三点共线且点O在上时，有最大值，最大值为7； （2）如图所示，连接，设与切于点E，连接， ， 与都相切，， ， 又 ∴， 解得， ， ∵， ∴当三点共线，且点P在上时，有最小值，最小值为； （3）连接，过点作于点． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，作的外接圆， 要使最大，则点M到的距离最大， 如图所示，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 连接，设点M到的距离为h， ∴， ∴当三点共线，且时，h有最大值，即此时有最大值， ∵，， ∴， ∴点M到的最大距离为， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知一点到圆上一点的距离的最值问题是解题的关键． 68．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，，以C为圆心，为半径作圆．点D为上的动点，、分别切圆C于点P、点Q，连接，分别交和于点E、F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②存在，最小值为6 【分析】（1）由切线连接半径，从已知角逐步往目标角推理得出角度即可； （2）由切线长连接，过点D作于点G，根据已知条件证明C、D在线段的垂直平分线上，证明平分， 根据角平分线的性质得出，根据勾股定理得出，根据等积法求出即可； （3）①由切线长推出经过中点M，此时垂直平分，故而得证与目标线段相关的两三角形相似，最后利用相似对应边成比例得证； ②证明，得出，证明，得出，证明，求出，说明点M在以为直径的圆上运动，取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴ ∴劣弧为； （2）解：连接，过点D作于点G，如图所示： ∵、分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∵， ∴C、D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①连接，，，如图所示： 根据解析（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，四边形内角和，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 题型02、圆的折叠问题 69．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为 ；折痕的长为 ． 【答案】 60°/60度 【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可． 【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN 连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N ∵将沿弦折叠 ∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上 ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F． ∴ME⊥OA，MF⊥OB ∴ ∵ ∴四边形MEOF中 即的度数为60°； ∵， ∴（HL） ∴ ∴ ∴ ∵MO⊥DC ∴ ∴ 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 70．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 71．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点，，若的半径为，，则的长是（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，易知，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 72．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将半径为的沿折叠，恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作出辅助线是本题的关键．延长交于点，交于，由与垂直，根据垂径定理得到为的中点，连接，构造直角三角形，根据折叠的性质得出，即可求出的长，根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，交于， ∵， ∴， ∵恰好经过与垂直的半径的中点，的半径为， ∴， ∵将半径为的沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 73．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 74．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】作半径于D，连接，，根据折叠的性质可得，根据正弦的定义可求出，根据三角形内角和定理、圆周角定理等可求出，，则可证是等边三角形，得出，，过B作于E，根据等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，作半径于D，连接，， ∵将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过B作于E， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 在中，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是截图的关键． 75．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）如图，C是以为直径的半圆O上的一点，且，将沿弦折叠交于点D，E是的中点，连接恰好经过圆心O，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．连接，，作于点，由折叠的性质得，利用圆周角定理和三角形的外角性质求得得到，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，作于点， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵恰好经过圆心O， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 76．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷从出发顺时针扫过时，，则的半径为 ，毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先根据平行线的性质得出，证明为等边三角形，得出，根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件求得，进而得出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 三点在同一直线上， 经过点， ∴， 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径为； 连接并延长交于点D，交于点E，如图所示： ∵， ， 在中，， ∴， 当共线时，即点C在点E处时，取的最大值， ∴的最大长度为：． 故答案为：16；． 77．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 78．（2023·浙江金华·二模）如图，已知是半圆的直径，且，是半圆上任意一点（不与点、重合），沿着弦折叠半圆． (1)如图①，当折叠后的弧与相切时，求线段的长； (2)如图②，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查切线的性质，扇形的面积，不规则图形面积的求法， （1）当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，由题意可得，、关于直线对称，即可得是等腰直角三角形，从而求出的长， （2）作关于的对称点，连接、，则阴影部分的面积等于即可解答． 正确作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：当折叠后的弧与相切时，设折叠后的弧所在圆的圆心为，如图： ，、关于直线对称， 平分， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ， （2）作关于的对称点，连接、，如图： ， ， 则阴影部分的面积等于与弦所围成的图形的面积，即， ，， 过点作， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， 79．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．    (1)求证：． (2)求证：． (3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可； （3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可． 【详解】（1）和是所对的圆周角， ， ， ∴， ∴， ∴． （2）连接，交于点，   与为一组平行弦，即：， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． （3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、，   ，， ∴， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形． 80．（2023·河北唐山·二模）如图，菱形中，，．点P为射线上一动点，在射线上取一点E，连接，使．作的外接圆，设圆心为O．    (1)当圆心O在上时，______； (2)当点E在边上时， ①判断与的位置关系，并证明： ②当为何值时，有最大值？并求出最大值； (3)如图，连接，若，直接写出值；将优弧沿PE翻折交射线于点Q，直接写出弧的长． 【答案】(1)1 (2)①与的位置关系是相切，见解析；②当时，有最大值，为1 (3)， 【分析】（1）可证得，进而解直角三角形和直角三角形，从而求得结果； （2）①连接，，利用圆周角定理推出，继而推出，再根据，推出，从而得到与的位置关系是相切； ②连接，可证得，从而得到，设得方程，故，利用二次函数得最值，得到当，即时，有最大值，最大值为1； （3）可推出，进而得出，，，故，四边形是菱形，可推出点A是对称后的优弧的圆心，根据弧长公式得出结果． 【详解】（1）解：菱形中，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：1； （2）①与的位置关系是相切，理由如下： 证明：如图1，连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的位置关系是相切； ②如图2，连接．    ∵，，， ∴， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，得到 ∴， 设， ∴，则， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为1． （3）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 又∵将优弧沿翻折交射线于点， ∴， ∴四边形是菱形，    ∴点A，O关于对称， ∴弧在以A为圆心，长为半径的圆上． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 81．（浙江台州·期中）如图，点，，在上，将沿折叠后，与交于点． （1）若，则________°； （2）如图1，点恰好是翻折所得的中点， ①若，求的度数； ②若，求的值； （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1）40；（2）①36°；②；（3） 【分析】（1）将弧MN还原后点B的对应点为B'，连接B'M、B'N，则∠B'=∠MBN，∠B'+∠MAN=180°，求出∠MBN=∠B'=110°，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）①由（1）得∠MBN=∠B'，证出BM=BN，由等腰三角形的性质得出∠BMN=∠BNM，∠MAN=∠ANM，设∠BMN=∠BNM=x，则∠MAN=∠ANM=∠ABN=2x，在△AMN中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； ②作NH⊥AB于H，设AH=BH=x，由三角函数定义得NH=AH=x由勾股定理得BM=BN=3x，则MH=BM+BH=4x，由三角函数定义即可得出答案； （3）过点N作NH⊥MA于点H，由勾股定理得MN2=MH2+NH2，BN2=BH2+NH2，则MN2-BN2=MB•MA，证出AB2=MB•MA，则点B为MA的黄金分割点，即可得出结论． 【详解】解：（1）将弧MN还原后点B的对应点为B'，连接B'M、B'N，如图1所示： 则∠B'=∠MBN，∠B'+∠MAN=180°， ∴∠MBN=∠B'=180°-70°=110°， ∴∠ANB=∠MBN-∠MAN=110°-70°=40°； 故答案为：40； （2）①由（1）得∠MBN=∠B'， ∵∠MBN+∠ABN=180°，∠B'+∠MAN=180°， ∴∠ABN=∠MAN， ∵点B是翻折所得弧MN的中点， ∴弧BM=弧BN， ∴BM=BN， ∴∠BMN=∠BNM， ∵MA=MN， ∴∠MAN=∠ANM， 设∠AMN=∠BNM=x，则∠MAN=∠ANM=∠ABN=2x， 在△AMN中，由三角形内角和定理得：x+2x+2x=180°， 解得 x=36°， 即∠AMN=36°； ②作NH⊥AB于H，如图1-1所示： 同①得：BM=BN，∠ABN=∠MAN， ∴AN=BN， ∵NH⊥AB， ∴AH=BH， 设AH=BH=x， ∵tan∠MAN==， ∴NH=AH=x， ∴BM=BN==3x， ∴MH=BM+BH=4x， ∴tan∠AMN===， （3）如图2，过点N作NH⊥MA于点H， 由勾股定理得：MN2=MH2+NH2，BN2=BH2+NH2， ∴MN2-BN2=MH2-BH2=（MB+BH）2-BH2=MB2+2MB•BH=MB（MB+2BH）=MB•MA， ∵AB2+BN2=MN2， ∴MN2-BN2=AB2， ∴AB2=MB•MA， ∴点B为MA的黄金分割点，则=． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数定义，勾股定理以及黄金分割等知识；本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 题型03、动态圆问题 82．（2021·浙江温州·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则 度． 【答案】85 【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解． 【详解】解：连结OO′， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴BO′=BO=OO′， ∴△BOO′为等边三角形， ∴∠OBO′=60°， ∵与的边相切， ∴∠OBA=∠O′BA′=90°， ∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°， ∵∠A′=25° ∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65° ∴∠AOB=∠A′O′B=65°， ∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°． 故答案为85． 【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键． 83．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【答案】(1)1 (2) (3) (4)，越小 (5)0 【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果； （3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （4）比较大小得出结果； （5）圆的半径相等，从而得出结果． 【详解】（1）解：图1， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵C为的中点，为半径， ∴， ； （2）解：如图2，   ，，， ， ， ； （3）解：如图3，   ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； （4）解：， ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小； 故答案为：；越小． （5）解：圆的半径相等， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 84．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接． (1)当点P不与点B重合时，求证：平分； (2)当圆M与直角梯形的边相切时，请直接写出此时的长度； (3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程． 【答案】(1)见解析 (2)4或9 (3)8 【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可； （2）分两种情况讨论：①当与相切时，连接，②当与相切时，分别求解即可； （3）由（2）可知点Q在梯形的中位线所在的直线上，求出点P与点B重合时的长，点P与点C重合时的长，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图2﹣1中，当与相切时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2﹣2中，当与相切时，四边形是矩形， ∴，，， 综上所述，满足条件的的值为4或9． （3）解：如图3中，由（2）可知点Q在梯形的中位线所在的直线上， 当点P与B重合时， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点P与C重合时，， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，注意要分类讨论． 85．（2021·山西临汾·三模）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧的点处，点的对应点为点，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据旋转的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到∠=60°，根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接， 由题意得，AB=， ∴为等边三角形， ∴∠=60°， ∴阴影部分的面积=， 故选：C． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的性质、旋转变换的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键． 86．（15-16九年级上·广东广州·期末）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到点的位置，则图中的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得，， 故答案为：． 87．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是半圆的直径，弦平行半径，连接，，将半圆绕点旋转，点的对应点为，半圆交于点，，，三点恰好在同一直线上时，若，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，根据等边三角形的判定，证明和是等边三角形，证明四边形是菱形，根据勾股定理、含角的直角三角形的性质，设，则半圆半径为，直径为，根据、，得出方程，求出的值，得出、的长，根据菱形的面积计算即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弦平行半径， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∵是半圆的直径， ∴， ∴，，三点恰好在同一直线上时，， ， ∴， ∴， ∴设，则半圆半径为，直径为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，，， ∴菱形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题是圆与四边形的综合题，主要考查了旋转的性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握知识点推理计算是解题的关键 88．（2024·浙江宁波·一模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品，拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆，的半径均为，O为三角轮的中心，．如图2，当轮子及点G都放置在水平地面时，D恰好与的最高点重合．此时，D的高度为，则 ；如图3，拉动，使轮子在楼梯表面滚动，当，且B，O，D三点共线时，点G与B的垂直高度差为 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，如图2所示，连接，延长交于J，作于Q，则，，设，则，再证明，，即可得到，则，解得，即；如图2所示，过点F作于S，则，则；如图3所示，如图所示，过点B作，过点G作，连接，由图2得，，，证明，则，即点G与B的垂直高度差为． 【详解】解：如图2所示，连接，延长交于J，作于Q， ∵的半径均为， ∴， ∵D的高度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵O为三角轮的中心，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 如图2所示，过点F作于S，则， ∴； 如图3所示，如图所示，过点B作，过点G作，连接， 由图2得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G与B的垂直高度差为， 故答案为：． 89．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 【答案】（1）60或240；或150或330；（2）；理由见解析；（3）或；（4）， 【分析】（1）如图1中，易知当点在线段和线段的延长线上时，，此时旋转角或；如图1-1所示，过点O作于H，证明三点共线，由等边三角形的性质得到，据此求出旋转角，当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足，据此求出旋转角即可； （2）结论：．只要证明即可． （3）在图3、图4中，分别求出的长求解即可． （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、，线段的长即为的最大值，线段的长即为的最小值．易知的最大值，的最小值． 【详解】解：（1）如图1中，   是等边三角形， ， 当点在线段和线段的延长线上时，， 此时旋转角或； 如图1-1所示，过点O作于H， ∵， ∴三点共线， ∵是等边三角形， ∴， ∴此时； 当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足， ∴此时；    综上所述，或， 故答案为60或240；或150或330； （2）结论：，理由如下： 如图2中，    由旋转的性质可知：， ， 在和中， ， ， ； （3）①如图3中，当、、共线时，作于．    在中，，， ，， 在中，， ． ②如图4中，当、、共线时，作于．    同理可得 ∴， 综上所述，当、、三点共线时，的长为或； （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为； ∵， ∴， ∴当在线段上，且点P与点B重合时，有最大值，最大值为， 综上所述，的最大值为，的最小值为， 故答案为：6；．    【点睛】本题考查主要圆与三角形综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题． 90．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，． (1)求的度数； (2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； (3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是圆与四边形的综合问题，考查了图形的旋转、圆的相关概念及性质、圆周角定理及推论、等腰直角三角形的性质、三角形相似模型、平行四边形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． （1）连接，由弧相等得到弦相等，再由直径所对的圆周角是直角，利用等腰直角三角形性质即可得到答案； （2）由题中条件，结合等腰直角三角形性质求出角度及线段长，利用三角形相似的判定与性质代值求解即可得到答案； （3）当与重合时，由得点在上，连接，如图所示，半圆与所围成的封闭图形的面积为，求出扇形面积及三角形面积代值即可得到答案． 【详解】（1）连接，如图1所示：      点K为半圆O的中点， ， ， 为直径， ， 在中，； （2）如图2所示：      ，， ， 在等腰中，， 则由勾股定理可得，         ， ， ， ，             ， 即， ； （3）解：当与重合时， ， 点K在上，连接，如图3所示：      点K是半圆O的中点， ．                 ， ， ，                         半圆O与所围成的弓形的面积为； 91．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，直角梯形中，的圆心从点开始沿折线以的速度向点运动，的圆心从点开始沿边以的速度向点运动，半径为的半径为，若分别从点、点同时出发，运动的时间为 （1）请求出与腰相切时的值； （2）在范围内，当为何值时，与外切？ 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）先设⊙O2运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于G，再过G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．要求⊙O2与CD相切的时间，可以先求出⊙O2从B到E所走的路程BE，即GH的长，再除以运动速度即可．那么求GH的值就是关键，由∠C＝60°，可以知道∠CGH＝30°，那么∠FGE＝60°．在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH＝BC−BH＝BC−EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此问就可解了； （2）因为，所以O1一定在AD上，连接O1O2．利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程，求解即可，根据要求，可选择t的值． 【详解】解：如图所示，设点运动到点处时，与腰相切 过点作，垂足为，则 作，交于，作，垂足为 由直角三角形GEF中，∠EGF＋∠GEF＝90°， 又∠EGF＋∠CGH＝90°， ∴∠GEF＝∠CGH＝30°， 设FG＝xcm，则EG＝2xcm，又EF＝4cm， 根据勾股定理得：FG2＋EF2＝EG2，即x2＋42＝（2x）2，解得x＝， ∵四边形BHGE是矩形 则HB＝GE＝cm， ∴CH＝BC−BH＝BC−EG=（9−）cm， 又在直角三角形CHG中，∠C＝60° 则EB＝GH＝CHtan60°＝(9−)×cm． 所以，t＝（9−）秒． 由于，所以，点在边上 如图所示，连结，则 由勾股定理得，2＋2＝2， 过点D作DG⊥BC于G点 ∴CG=BC-BG=BC-AD=6cm ∵∠C=60° ∴DG=CGtan60°＝6cm=AB ∴= 故，即 解得（不合题意，舍去） 所以，经过秒与外切． 【点睛】本题利用了切线的性质，勾股定理，正切值的计算，以及公式s＝vt，矩形的判定和性质，两圆外切的性质．注意用含t的代数式来表示线段的长． 92．（2016·河北·中考真题）如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． 发现   的长与的长之和为定值，求； 思考   点与的最大距离为_______，此时点，间的距离为_______；点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 探究   当半圆与相切时，求的长． （注：结果保留，，） 【答案】（1）；（2），，，；（3）的长为或． 【分析】发现：连接，，即可得，根据弧长公式求得弧的长度，用半圆的弧长减去弧的长即可求得的长； 思考：过点作于点，连接，当时， 点与的最大距离就是，是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得和的长；当与重合点，点与的距离最小，利用三角形的三边关系即可求得答案； 探究：半圆与相切，分两种情况：①半圆与切于点时；②半圆与切于点时，分别求得的长即可． 【详解】解：发现：如图，连接，，即可得， ∴， ∴的长=， ∴．                    图 思考：如图，过点作于点，连接， ∵， ∴由勾股定理可知： ， 当与重合时，点与的最大距离就是，最大值为； 此时，， 是等边三角形， ∴；                          图 如图，当与重合点， 连接， 此时，与的距离最小，最小值为， 设此时半圆与与交于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴扇形的面积为：， 的面积为：， 半圆的弧与所围成的封闭图形面积为：；                         图 故答案为：，，，． 探究：半圆与相切，分两种情况： ①如图，半圆与切于点时，连接， 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴． ∴的长=．                图 ②如图，半圆与切于点时，连接， 根据圆的对称性，同理得的长为， 由得的长为. 综上，的长为或．                  图 【点睛】本题考查圆的综合问题，解题关键是根据题意画出图形进行分析，涉及的知识点有勾股定理、等边三角形、弧长公式以及圆的切线等性质，综合性比较强，要求学生要熟练掌握各个知识点，并且能将所学知识点前后贯穿，对学生的综合能力要求比较高． 93．（2024·云南·模拟预测）如图1，已知矩形中，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长． (2)当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． (3)在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据即可求解； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，当经过点C时，当与相切时，当经过点A时，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵点P是对角线的中点， ∴ ∵与相切 ∴ ∴ ∴，解得： ∴的半径为； （2）当时，的值最小，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）当经过点C时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∴ ∴ 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得： ∴ 此时的取值范围是 当经过点A时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 此时，的取值范围是 综上：的取值范围是或 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 94．（2020·河北唐山·一模）问题探究． 如图，在平面直角坐标系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C为顶点作矩形OABC，动点P从点A出发，沿AO以4个单位每秒的速度向O运动；同时动点Q从点O出发沿OC以3个单位每秒的速度向C运动．设运动时间为t，当动点P，Q中的任何一个点到达终点后，两点同时停止运动．连接PQ． 【情景导入】当t＝1时，求出直线PQ的解析式． 【深入探究】①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值． ②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值． 【拓展延伸】如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N． ①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为　 　． ②若固定点H(6，2)不动，则在整个运动过程中，半圆M能否与梯形AOCH相切？若能，求出此时t的值；若不能，请证明． 【答案】【情景导入】y＝﹣x＋4；【深入探究】①1或；②；【拓展延伸】①；②能，t＝0或t＝2或t＝． 【情景导入】当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：(0，4)、(3，0)，将点P、Q的坐标代入一次函数表达式即可求解； 【深入】①如下图，tan∠ACO＝，△POQ与△AOC相似，则tan∠PQO＝＝或，即可求解； ②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），即可求解； 【拓展】①当t＝0时，点H与点B重合；当t＝2时，运动结束，设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8，设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8＋a，在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，即可求解； ②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合，则半圆M于CO相切； （Ⅱ）当t＝2时，由①知，半圆M与BC相切； （Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，则PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，即可求解． 【详解】解：【情景导入】当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：(0，4)、(3，0)， 将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y＝kx＋b得：，解得：， 故直线PQ的表达式为：y＝﹣x＋4； 【深入探究】点P、Q、M的坐标分别为：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)， ①如下图，tan∠ACO＝， △POQ与△AOC相似， 则tan∠PQO＝＝或， 解得：t＝1或； ②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16）， ∵＞0， 故S有最小值为，此时t＝； 【拓展延伸】①当t＝0时，点H与点B重合； 当t＝2时，运动结束，点H的位置如下图所示， 设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8， 设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8＋a， 在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2， 即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，解得：a＝＝HQ， 则点H运动的路径为BH＝8﹣＝， 故答案为：； ②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合，则半圆M于CO相切； （Ⅱ）当t＝2时，由①知，半圆M与BC相切； （Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，如下图，设切点为N， 由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x＋8， 设点N(x，8﹣x)，而点P、Q、M的坐标分别为：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)， 则PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2， 整理得：2x2﹣（7t＋8）x＋32t＝0， 由题意得：△＝（7t＋8）2﹣8×32t＝0， 即49t2﹣144t＋64＝0， 解得：t＝（不合题意的值已舍去）； 综上，t＝0或t＝2或t＝． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、圆的切线性质等，解题时注意避免遗漏． 95．（河北·中考真题）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）． 发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？ （2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值： （3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影． 拓展如图．当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围． 探究当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin α的值． 【答案】发现：（1）在，15°；（2）当α=60°时，最小距离为1；（3）30°，．拓展：x的范围是； 探究：sinα的值为或或． 【详解】解：发现 （1）在；当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB， 得∠DOQ＝∠ABO＝45°， ∴α＝60°－45°＝15°． （2）如图3． 连AP，有OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时等号成立． ∴AP≥OP－OA＝2－1＝1． ∴当α＝60°时．P，A间的距离最小． ∴PA的最小值为1． （3）如图3， 设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E． 在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30°， ∴α＝60°－30°＝30°． 由AD//BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°． ∴∠RKQ＝2×30°＝60°． ， 在Rt△RKE中，， ， ； 拓展 如图5，∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，所以△AON∽△BMN． ∴，即， ∴． 如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F． ． ∴x的范围是． 【注：如果考生答“或”均不扣分】 探究 半圆与矩形相切，分三种情况： ①如图5，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G． Rt△OSK中，． Rt△OSO′中，，． Rt△KGO′中，∠O′=30°，KG= Rt△OGK中， ②半圆K与AD切于点T，如图6，同理可得 ． ③当半圆K与CD相切时，成Q与点D重合，且为切点． ∴α＝60°，∴． 综上述，sinα的值为或或． 考点：圆，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，相似，三角形法则求最值 $$