精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段检测（3月）数学试题

延边第二中学2024——2025学年度第二学期第一次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 或 C. 60° D. 或 4. 已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角（ ） A. B. C. D. 5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 中，角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ） A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的5倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，．若，则________． 13. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 18. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2024——2025学年度第二学期第一次阶段检测 高一年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加法法则求出，将，，三点共线转化为与共线即可求解. 【详解】，， ， 又，且，，三点共线，， 即， ，. 故选：C. 3. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 或 C. 60° D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 4. 已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出夹角，根据•（+）=3，展开由已知和数量积公式可得夹角的余弦值，由角的范围确定角. 【详解】设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π] 由•（+）=，代入数据可得22+2×1×cosθ=3， 解之可得cosθ=， 故可得θ=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算，属于基础题. 5. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】． 故选：C. 6. 已知，，点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P的坐标为，表示出，的坐标，由且P在直线上，故分或两种情况讨论，根据向量相等得到方程组，解得． 【详解】解：设点P的坐标为，， 则，． 由且点P在直线上，得或． ∴或解得或 ∴点P的坐标为或． 故选： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 7. 中，角的对边分别为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边换角和两角和的正弦公式得，再分和讨论即可. 【详解】由正弦定理得， 因为在中，则， 则， 即， 即， 因为，则当时，即时，上式成立，此时为直角三角形； 当时，即时，则有， 因为，则，此时为等腰三角形； 综上，为等腰三角形或直角三角形. 故选：B. 8. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模为1 B. 复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 复数是方程的解 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的除法，可得标准式，根据共轭复数、几何意义、模长、乘方运算，可得答案. 【详解】，，故A正确； 复数在复平面上的对应点为，则该点在第四象限，故B错误； 由，则，解得，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与同向的单位向量为 C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 11. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ） A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则 D. 若是的中点，则的面积是面积的5倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D． 【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形， 故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，在中，，所以， 而， 所以， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故选项B正确； 对于C，不妨设， 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 所以，故选项C错误； 对于D，若是的中点， ， 所以，故选项D错误． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得 ,即 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 13. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km 【答案】 【解析】 【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得. 【详解】依题意，, ， 在中，，，则，又，则km， 在中，，，则， 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 所以该船行驶的距离km. 故答案为： 14. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值，再由正弦定理，结合三角函数恒等变换把变形成正弦型函数，利用正弦函数的性质求解. 【详解】锐角中，由正弦定理及，得，整理得， 由余弦定理得，而，则， 又，由正弦定理，得， 又为锐角三角形，则， 因此 ， 由，得，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【小问1详解】 因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，整理得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为. 18. 折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积. 【答案】（1） 证明：由正弦定理可得，则， 又因为，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和面积公式即可证明； （2）利用面积代换，再结合三角恒等变形，即可求解； （3）设对应边长，再利用余弦定理得到边角关系，然后利用方程组思想来求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入， 得 即，所以， 即，解得：， 又因为，所以； 【小问3详解】 由余弦定理得，则， 即，所以解得 则； 设折痕为线段，其中在上，在上，设，， 则，，， 在中，由余弦定理得，解得 在中，由余弦定理得，解得 重叠部分的面积为的面积，. 因为 所以. 所以 19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. （1）在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； （2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到； ②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到； （2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案. 【小问1详解】 ①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； 【小问2详解】 依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $