第10章 阶段测评(2) 复数的概念与运算(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

阶段测评(二)　复数的概念与运算 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. (2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　 ) A． 0　　　　　　　 B．1 C． D． 2 解析　若z＝－1－i，则|z|＝＝. 答案　C 2．(2024·河北廊坊高一期中)若z＝为纯虚数，则m＝(　　 ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 解析　由题意得z＝＝＝＝， 因为z为纯虚数．所以6－3m＝0且9＋2m≠0，解得m＝2. 答案　A 3．设复数z满足z＋1＝(2＋i)z，则|z|＝(　　 ) A． B． C．1 D． 解析　由题意可得z＝＝＝，所以|z|＝＝. 答案　B 4．(2024·安徽安庆高一月考)已知复数z满足(1＋i)·z＝i2 024(i为虚数单位)，则＝(　　 ) A．－1－i B．1－i C． D． 解析　由题意得(1＋i)·z＝i2 024，所以z＝＝＝＝＝， 所以＝. 答案　D 5．(2024·山东滨州高一期中)已知关于x的实系数一元二次方程x2＋kx＋3＝0有两个虚根x1和x2，且|x1－x2|＝2，则k的值为(　　 ) A．2 B．－2 C．±2 D．±2 解析　因为方程x2＋kx＋3＝0有两个虚根x1和x2， 所以Δ＝k2－4×3<0，则－2<k<2， 又由求根公式知两虚根为，|x1－x2|＝2， 所以|x1－x2|＝|i|＝2，则＝2，解得k＝±2，满足要求， 所以k＝±2. 答案　C 6．已知复数z满足|z|＝1，且＝＋ai，则|a|＝(　　 ) A． B． C． D． 解析　令z＝cos θ＋isin θ≠－1，则＝cos θ－isin θ≠－1， 所以＝＝＝ ＝cos θ＋isin θ＝＋ai，则故|a|＝＝. 答案　B 7．(多选题)已知复数z＝＋i，则下列结论正确的是(　　) A．z＝1 B．复数z的虚部为i C．z2＝ D．若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为2 解析　因为z＝＋i，所以＝－i， 所以z＝＝＋＝1，故A正确； 复数z的虚部为，故B错误； z2＝2＝－＋i＝－＋i，所以z2≠，故C错误； 若复数z1满足|z1－z|＝1，设z1＝a＋bi， 则点(a，b)的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以|z1|的最大值为＋1＝2，故D正确，故选AD. 答案　AD 8．(多选题)若z1，z2，z3为复数，z1≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 解析　对选项A：取z2＝1，z3＝i，满足|z2|＝|z3|，z2＝±z3不成立，错误； 对选项B：z1z2＝z1z3，即z1(z2－z3)＝0，z1≠0，则z2－z3＝0，正确； 对选项C：＝z3，故|z2|＝|z3|，|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，故|z1z2|＝|z1z3|，正确； 对选项D：若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，正确；故选BCD. 答案　BCD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．在复数范围内，方程3x2＋2x＋1＝0的根为________． 解析　由方程3x2＋2x＋1＝0，可得Δ＝4－4×3×1＝－8<0， 所以方程的根为x＝＝－±i. 答案　x＝－±i 10．已知复数＝－1＋2i，则的虚部为________． 解析　由题意得z＝＝＝3＋4i， 则＝3－4i，所以的虚部为－4. 答案　－4 11．若n是奇数，则4n＋4n＝________. 解析　因为2＝＝i，2＝＝－i， 而i2＝(－i)2＝－1，所以4n＋4n＝(－1)n＋(－1)n＝2×n， 所以当n是奇数时，4n＋4n＝－2. 答案　－2 12．在复平面xOy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，对于下列四个式子： (1) z＝|z|； (2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|； (3)2＝||2； (4)|·|＝||·||. 其中恒成立的是________．(写出所有恒成立式子的序号) 解析　令z1＝1＋i，z＝2i，|z|＝2，所以(1)错误． 令z1＝1＋i，z2＝1－i， 则Z1(1,1)，Z2(1，－1)，|·|＝0， ||·||＝2，所以(4)错误． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，Z1(a，b)，Z2(c，d)， |z1·z2|＝|ac－bd＋(ad＋bc)i| ＝ ＝. |z1|·|z2|＝· ＝，所以(2)正确． 2＝||2＝a2＋b2，所以(3)正确． 答案　(2)(3) 三、解答题：本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 13．(8分)已知复数z＝－＋i. (1)求z2＋z的值； (2)设a＝1＋i，b＝2＋i，c＝3＋i，求|a＋bz＋cz2|. 解析　(1)因为z＝－＋i， 所以z2＝2＝－i－＝－－i， 所以z2＋z＝－＋i＋＝－1. (2)由(1)得z2＋z＋1＝0， 所以a＋bz＋cz2＝z＋2z2＋(1＋i)(1＋z＋z2) ＝z＋2(－1－z)＝－2－z＝－－i， 因此|a＋bz＋cz2|＝＝. 14．(10分)已知复数z满足z＝5＋5i. (1)求z－； (2)求2 024. 解析　(1)因为(1＋3i)z＝5＋5i，所以z＝＝＝2－i， 所以＝2＋i， 所以z－＝(2－i)－(2＋i)＝－2i. (2)2 024＝2 024＝2 024 ＝2 024＝(－i)2 024 ＝(i2)1 012＝1. 15．(10分)已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i为虚数单位． (1)求复数z和|z|； (2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围． 解析　(1)设z＝a＋bi，a，b∈R， 则z＋2i＝a＋(b＋2)i，＝＝＝＝＋i， 因为z＋2i和均为实数，则解得a＝4，b＝－2， 所以z＝4－2i，|z|＝＝2. (2)由(1)知，＝4＋2i，所以z1＝4＋2i＋－i＝＋i， 又复数z1在复平面内对应的点位于第四象限，则 解得－2<m<或1<m<. 所以实数m的取值范围是∪. 16．(12分)已知关于x的方程3x2－2ax＋a＝0，a∈R. (1)当a＝1时，在复数范围内求方程的解； (2)已知复数z＝2a＋i，若方程3x2－2ax＋a＝0有虚根，求|z|的取值范围． 解析　(1)当a＝1时，方程为3x2－2x＋1＝0， 配方可得2＝－， 两边开方可得x－＝±i， 所以，方程的解为x＝±i. (2)要使方程3x2－2ax＋a＝0有虚根，则Δ＝(－2a)2－4×3a＝4a2－12a<0， 所以0<a<3，所以0<a2<9. 又|z|2＝4a2＋1，所以1<|z|2<37， 所以，1<|z|<. 学科网（北京）股份有限公司 $$