第10章 复数 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题正确的是(　　) A．复数的模是正实数 B．虚轴上的点与纯虚数一一对应 C．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数 D．相等的向量对应着相等的复数 解析　复数的模可能是0，故A错误；虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错误；实部相等、虚部互为相反数的两个复数是共轭复数，故C错误；D正确，故选D. 答案　D 2．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i　　　　　　　 B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i. 故选B. 答案　B 3．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 解析　由z＝1＋i，故iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，|iz＋3|＝|2－2i|＝2. 答案　D 4．如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z的共轭复数＝(　　 ) A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i 解析　依题意，点Z的坐标是(1,3)，则z＝1＋3i，所以＝1－3i. 答案　B 5．复数z满足z(2－i)＝|3＋4i|，则复数z的虚部是(　　 ) A．2 B．2i C．1 D．i 解析　因为z(2－i)＝|3＋4i|＝＝5， 则z＝＝＝＝2＋i，故复数z的虚部是1. 答案　C 6．若复数3＋i为方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的一个根，则该方程的另一个根是(　　 ) A．－3－i B．3－i C．i－3 D．i＋3 解析　根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为3－i. 答案　B 7．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3＋4i|最小值是(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　|z|＝2是复平面内复数z对应点的轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆， |z＋3＋4i|＝|z－(－3－4i)|是上述圆上的点到复数－3－4i对应点A(－3，－4)的距离， 而|OA|＝＝5>2，所以|z＋3＋4i|的最小值是|OA|－2＝3. 答案　A 8．在复数范围内，下列命题是真命题的为(　　 ) A．若z≠0，则z－是纯虚数 B．若z2＝－|z|2，则z是纯虚数 C．若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0 D．若z1，z2为虚数，则z12＋1z2∈R 解析　对于A选项，取z＝1，则＝1，所以，z－＝0，此时，z－不是纯虚数，A错误； 对于B选项，取z＝0，则z2＝－|z|2成立，但z不是纯虚数，B错误； 对于C选项，取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1≠0且z2≠0，C错误； 对于D选项，若z1，z2为虚数，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则1＝a－bi，2＝c－di，所以，z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝(ac＋bd)＋(bc－ad)i＋(ac＋bd)＋(ad－bc)i＝2(ac＋bd)∈R，D正确． 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为－1＋i D．z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根 解析　由题意得z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝，A错误；z2＝(1＋i)2＝2i，B正确；z＝1＋i的共轭复数为1－i，C错误；(1＋i)2－2(1＋i)＋2＝2i－2(1＋i)＋2＝0，即z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根，D正确，故选BD. 答案　BD 10．方程x2＋6x＋13＝0的根为(　　) A．－3＋2i B．－3－2i C．3＋2i D．－2＋3i 解析　解法一　x＝＝－3±2i. 解法二　令x＝a＋bi，a，b∈R， ∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0， 即a2－b2＋6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0， ∴解得 即x＝－3±2i. 答案　AB 11．已知复数z1，z2，z3均为虚数，z3＝，则(　　) A．z1z2z3<0 B．|z3|＝|z1|·|z2| C．－为实数 D．存在某个实系数三次方程，这个三次方程的三个根为z1z2，z3，z1z2z3 解析　令z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z3＝＝(ac－bd)－(ad＋bc)i， 对于A，z1z2z3＝(a＋bi)(c＋di)[(ac－bd)－(ad＋bc)i] ＝[(ac－bd)＋(ad＋bc)i][(ac－bd)－(ad＋bc)i] ＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2≥0，所以A错误， 对于B，因为|z3|＝＝， |z1|·|z2|＝·＝ ， 所以|z3|＝|z1|·|z2|，所以B正确， 对于C，－＝＝ ＝，不一定为实数，所以C错误， 对于D，因为z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，z3＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，z1z2z3＝(ac－bd)2＋(ad＋bc)2， 所以z1z2，z3，z1z2z3是方程[x－(ac－bd)2－(ad＋bc)2][x2－2(ac－bd)x＋(ac－bd)2＋(ad＋bc)2]＝0的根，所以D正确，故选BD. 答案　BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．复数的共轭复数为________． 解析　因为＝＝＝1－i，所以其共轭复数为1＋i. 答案　1＋i 13．若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________，|z|＝________. 解析　＝＝＋i， ∵是纯虚数，∴＝0且≠0， ∴a＝－6.∴|z|＝|3i|＝3. 答案　－6　3 14．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________. 解析　z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i. 答案　＋i 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. (1)当实数m取什么值时，复数z是①实数；②纯虚数． (2)当m＝0时，化简. 解析　(1)①当m2－3m＋2＝0， 即当m＝1或m＝2时，复数z是实数． ②若z为纯虚数，则 解得∴m＝－. 即当m＝－时，复数z是纯虚数． (2)当m＝0时，z＝－2＋2i， ＝＝＝－－i. 16．(15分)计算：(1)； (2)； (3)＋； (4). 解析　(1)＝＝－1－3i. (2)＝＝ ＝＝＋i. (3)＋＝＋＝＋＝－1. (4)＝＝＝ ＝－－i. 17．(15分)已知z是复数，z＋i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋i＝x＋(y＋1)i. ∵z＋i为实数，∴y＝－1， ∴＝＝ ＝(2x－1)－(x＋2)i. 又为实数，∴x＝－2，∴z＝－2－i. ∵(z＋ai)2＝(3＋2a－a2)－4(a－1)i， ∴根据条件，可知， 解得－1＜a＜1， ∴实数a的取值范围是(－1,1)． 18．(17分)已知复数z＝1－i. (1)设ω＝z(1＋i)－1－3i，求|ω|； (2)如果＝i，求实数a，b的值． 解析　(1)因为z＝1－i， 所以ω＝(1－i)(1＋i)－1－3i＝1－3i. 所以|ω|＝. (2)由题意得z2＋az＋b＝(1＋i)i. 因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b ＝a＋b－(2＋a)i，(1＋i)i＝－1＋i. 所以解得 19．(17分)已知关于z的方程z2＋3|z|＋2＝0. (1)在复数域范围内求该方程的解集； (2)已知该方程虚根分别为z1，z2，若z满足|z－z1|＝|z－z2|，求|z－1－i|的最小值． 解析　(1)设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，代入方程得a2－b2＋2abi＋3＋2＝0，则实部、虚部对应相等均为零， b＝0时，z为实数， 当z≥0时，z2＋3z＋2＝0， 解得z＝－1，z＝－2，舍去； 当z<0时，z2－3z＋2＝0， 解得z＝1，z＝2，舍去； a＝0时，－b2＋3|b|＋2＝0， 当b≥0时，－b2＋3b＋2＝0，解得b＝， 当b<0时，－b2－3b＋2＝0， 解得b＝， 综上，解集为. (2)因为|z－z1|＝|z－z2|，即Z到Z1的距离和到Z2的距离相等， 则Z的轨迹为x轴，那么点(1，)到x轴的最短距离为. 即|z－1－i|的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$