第10章 复数 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题正确的是(　　)

A．复数的模是正实数

B．虚轴上的点与纯虚数一一对应

C．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数

D．相等的向量对应着相等的复数

解析　复数的模可能是0，故A错误；虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错误；实部相等、虚部互为相反数的两个复数是共轭复数，故C错误；D正确，故选D.

答案　D

2．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)

A．1－2i　　　　　　　 B．1＋2i

C．2－i  D．2＋i

解析　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.

故选B.

答案　B

3．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　)

A．4  B．4

C．2  D．2

解析　由z＝1＋i，故iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，|iz＋3|＝|2－2i|＝2.

答案　D

4．如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z的共轭复数＝(　　 )

A．1＋3i  B．1－3i

C．－1＋3i  D．－1－3i

解析　依题意，点Z的坐标是(1,3)，则z＝1＋3i，所以＝1－3i.

答案　B

5．复数z满足z(2－i)＝|3＋4i|，则复数z的虚部是(　　 )

A．2  B．2i

C．1  D．i

解析　因为z(2－i)＝|3＋4i|＝＝5，

则z＝＝＝＝2＋i，故复数z的虚部是1.

答案　C

6．若复数3＋i为方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的一个根，则该方程的另一个根是(　　 )

A．－3－i  B．3－i

C．i－3  D．i＋3

解析　根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为3－i.

答案　B

7．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3＋4i|最小值是(　　 )

A．3  B．4

C．5  D．6

解析　|z|＝2是复平面内复数z对应点的轨迹为以原点O为圆心，2为半径的圆，

|z＋3＋4i|＝|z－(－3－4i)|是上述圆上的点到复数－3－4i对应点A(－3，－4)的距离，

而|OA|＝＝5>2，所以|z＋3＋4i|的最小值是|OA|－2＝3.

答案　A

8．在复数范围内，下列命题是真命题的为(　　 )

A．若z≠0，则z－是纯虚数

B．若z2＝－|z|2，则z是纯虚数

C．若z＋z＝0，则z1＝0且z2＝0

D．若z1，z2为虚数，则z12＋1z2∈R

解析　对于A选项，取z＝1，则＝1，所以，z－＝0，此时，z－不是纯虚数，A错误；

对于B选项，取z＝0，则z2＝－|z|2成立，但z不是纯虚数，B错误；

对于C选项，取z1＝i，z2＝1，则z＋z＝0，但z1≠0且z2≠0，C错误；

对于D选项，若z1，z2为虚数，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则1＝a－bi，2＝c－di，所以，z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝(ac＋bd)＋(bc－ad)i＋(ac＋bd)＋(ad－bc)i＝2(ac＋bd)∈R，D正确．

答案　D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是(　　)

A．|z|＝2

B．z2＝2i

C．z的共轭复数为－1＋i

D．z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根

解析　由题意得z＝＝＝1＋i，故|z|＝＝，A错误；z2＝(1＋i)2＝2i，B正确；z＝1＋i的共轭复数为1－i，C错误；(1＋i)2－2(1＋i)＋2＝2i－2(1＋i)＋2＝0，即z是关于x的方程x2－2x＋2＝0的一个根，D正确，故选BD.

答案　BD

10．方程x2＋6x＋13＝0的根为(　　)

A．－3＋2i  B．－3－2i

C．3＋2i  D．－2＋3i

解析　解法一　x＝＝－3±2i.

解法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，

∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，