云南省昆明市第一中学西山学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

昆一中西山学校2025年春季学期高2026届三月月考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 2.为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 3.若，则（ ） A．70 B．90 C．-70 D．-90 4.已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（  ） A． B．3 C．或3 D．3或13 5．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为　　 A． B．0 C．2 D．0或2 6. 已知数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 7. 5个男生，3个女生站成一排，且甲乙之间恰好有3个人，则不同的排法种数为（ ） A． B． C． D． 8．已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（  ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有4条对称轴 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，设，则下列说法正确的是（  ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 10．数列的前项和，且，，则（ ） A.数列为等比数列 B. C. D. 11．设函数，则　　 A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和个1蓝球，若从中1次随机摸出3个球，则3个球中至少有2个球颜色相同的概率为 . 13．已知，，则 ． 14．已知双曲线（），分别为左、右焦点，过的直线交双曲线右支为，以为直径的圆交右支另一点为，且过当，则双曲线离心率为 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16.（15分）已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 17．（15分）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 高二数学 • 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆一中西山学校2025年春季学期高2026届三月月考 数学试卷 （本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号填写在答题卡及试卷上，并在答题卡的规定位置用2B铅笔准确填涂准考证号； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交予监考教师，试卷自行妥善保管． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【解答】因为等比数列的各项均为正数，公比，且满足所以，则.答案：B. 2.为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【解答】因为， 所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得 的图象，故B正确； 经检验，ACD错误. 故选：B. 3.若，则（ ） A．70 B．90 C．-70 D．-90 【解答】因为展开式的通项为 因为 在中,由 由可得 在中，令 所以，故选A. 4.已知直线与圆交于，两点，若的周长为10，则（  ） A． B．3 C．或3 D．3或13 【解答】因为圆，即圆心坐标为，半径， 因为的周长为10，所以， 则圆心到直线的距离， 解得或13. 故选：D. 5．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为　　 A． B．0 C．2 D．0或2 【解答】解：设直线与曲线的切点为，， 由，则， 则，，即切点为，所以直线为， 又直线与圆都相切，则有，解得或． 故选：． 6. 已知数列满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【解答】对两边取倒数，所以，所以是以为首项，公差为的等差数列，所以，，所以，故选C. 7. 5个男生，3个女生站成一排，且甲乙之间恰好有3个人，则不同的排法种数为（ ） A． B． C． D． 【解答】从人中选人排在甲乙之间，这人捆绑在一起与其他人全排列，方法数为，故选D. 8．已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（  ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有4条对称轴 【解答】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D正确； 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，设，则下列说法正确的是（  ） A． B．边上的高是 C．外接圆的周长是 D．内切圆的面积是 【解答】对于A，，解得，故A正确， 对于B，显然是等腰三角形，底边上的高是4，由等面积法可知边上的高是，故B正确； 对于C，外接圆的周长是，故C正确； 对于D，内切圆的面积是，故D不正确. 故选：ABC. 10．数列的前项和，且，，则（ ） A.数列为等比数列 B. C. D. 【解答】因为①，所以当时，可得，当时②，①-②得，可得，所以数列是以1为首项，公比的等比数列，所以，A对 ，B错 ，所以，C错 ，D对，故选AD. 11．设函数，则　　 A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解答】解：对于，， 易知当时，，则函数在上单调递减， 当，，时，，则函数在，上单调递增， 故是函数的极小值点，选项正确； 对于，当时，，且， 又在上单调递增， 则，选项错误； 对于，由于， 一方面，， 另一方面，， 则，选项正确； 对于，由于， 则， 即，选项正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个口袋中装有形状大小相同的6个小球，其中有3个红球，2个黄球和个1蓝球，若从中1次随机摸出3个球，则3个球中至少有2个球颜色相同的概率为 . 【解答】由题可知，“随机摸出个球”的基本事件总数为,“个球中至少有个球颜色相同”的基本事件数为,所以概率. 13．已知，，则 ． 【解答】因为，则，， 又因为， 则①， 等式①的两边同时除以 可得，解得. 故答案为：. 14．已知双曲线（），分别为左、右焦点，过的直线交双曲线右支为，以为直径的圆交右支另一点为，且过当，则双曲线离心率为 ． 【解答】因为，设，则，所以， 依题意：在中，，即， 化简得：， 在中，，即， 所以，化简得：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【解答】（1）设等差数列的公差为，由题意，得 ， 解得或 所以或 （3）当时， 此时 当时， 此时. 16.（15分）已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【解答】解：（1），则， 由题意可得，解得； （2）由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值（1）． 17．（15分）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设，分别为，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】证明：由于，， 平面平面，平面，平面， 所以为二面角的平面角， 则，平面，则． 又， 则是等边三角形，则， 因为，，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，因为平面，故； 解：（Ⅱ）由于平面，如图建系： 于是，则， ， 设平面的法向量，，， 则，，令，则，， 平面的法向量， 设与平面所成角为， 则． 18．（17分） 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【解答】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．   19．（17分）已知，函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解答】（1）解：因为，所以，而， 所以在，处的切线方程为； （2）证明：令，则， 令，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 作出图象 所以当时，与仅有一个交点，令， 则，且， 当时，，，为增函数； 当时，，，为减函数； 所以时，的极大值点，故仅有一个极值点； （3）解：由（2）知， 此时，， 所以， 令， 若存在，使对任意的恒成立， 则等价于存在，使得，即， 而，， 当时，，为单调减函数， 当时，，为单调增函数， 所以（1），故， 所以实数的取值范围，． 高二数学 • 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$