第10章 复数 章末整合提升(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第十章　复数 章末整合提升 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第十章　复数 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 一、复数的相关概念(题点多探　多维探究) 1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提． 2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义． 角度1　复数的概念 (2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq \f(1－i,2＋2i)，则z－eq \x\to(z)＝(　　) A．－i　　　　　　　　 B． i C．0 D．1 [解析]　因为z＝eq \f(1－i,2＋2i)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－i)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－i)))＝eq \f(－2i,4)＝－eq \f(1,2)i，所以eq \x\to(z)＝eq \f(1,2)i，即z－eq \x\to(z)＝－i. 故选A． [答案]　A 角度2　共轭复数 已知复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，且z1eq \o(z,\s\up16(－))2是实数，则实数a等于(　　) A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,3) C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4) [解析]　复数z1＝3＋4i，z2＝a＋i，eq \o(z,\s\up16(－))2＝a－i， 所以z1eq \o(z,\s\up16(－))2＝(3＋4i)(a－i)＝3a＋4＋(4a－3)i. 因为z1eq \o(z,\s\up16(－))2是实数，所以4a－3＝0，即a＝eq \f(3,4)，故选A． [答案]　A 角度3　复数的几何意义 已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数； (2)若ω＝z＋ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围． [解析]　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i， 所以复数z的共轭复数为－2－4i. (2)ω＝－2＋(4＋a)i，复数ω对应向量为(－2，4＋a)，其模为eq \r(4＋4＋a2)＝eq \r(20＋8a＋a2). 又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2eq \r(5)，由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，即a2＋8a≤0， 亦即a(a＋8)≤0， 所以实数a的取值范围是[－8,0]. 二、复数的运算 复数四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用． 复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化． (多选题)设复数z＝eq \f(3＋i,1＋i)，则下列说法正确的是(　　) A．z的实部为2 B．z的虚部为－i C．|z|＝eq \r(5) D．在复平面内对应点在第四象限 [解析]　z＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(1－i3＋i,1－i1＋i)＝2－i， 知复数z的虚部为－1，实部为2，所以选项A正确，选项B错误； 对于选项C，|z|＝eq \r(22＋－12)＝eq \r(5)，所以选项C正确； 对于选项D，复数z对应的点为(2，－1)，在第四象限，所以选项D正确． [答案]　ACD 已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i,1＋i). (1)计算复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． [解析]　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i) ＝－4－3i－eq \f(4－2i,2)＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0， ∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0， ∴(22－12a－b)＋(26－4a＋b)i＝0， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22－12a－b＝0，,26－4a＋b＝0，)) 解得a＝3，b＝－14. 三、复数中的综合问题 复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇． 已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)． (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹； (2)求方程实根的取值范围． [解析]　(1)设实根为t，则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)， 即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0. 根据复数相等的充要条件， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t2＋2t＋2xy＝0，　　①,t＋x－y＝0， ②)) 由②得t＝y－x， 代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.③ 所以所求的点的轨迹方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2， 即轨迹是以点(1，－1)为圆心，eq \r(2)为半径的圆． (2)由③得圆心为(1，－1)，半径r＝eq \r(2)，直线t＝y－x与圆有公共点， 从而应有eq \f(|1－－1＋t|,\r(2))≤eq \r(2)， 即|t＋2|≤2， ∴－4≤t≤0， 故方程实根的取值范围是[－4,0]． 忽略根的判别式求解复数方程而致误 [典例]　已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值． [错解]　设两根分别为z1，z2， 则z2＝eq \o(z,\s\up16(－))1，|z2|＝|z1|＝1，则z1·z2＝1. 又z1·z2＝k2－2k，所以k2－2k＝1， 即k1＝1－eq \r(2)，k2＝1＋eq \r(2). [正解]　由题意，得 Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k<0， 即k<0或k>eq \f(8,3). 设两根分别为z1，z2，则z2＝eq \o(z,\s\up16(－))1，|z2|＝|z1|＝1， 得z1·z2＝1. 又z1·z2＝k2－2k，所以k2－2k＝1， 即k1＝1－eq \r(2)，k2＝1＋eq \r(2)(舍去)， 所以k＝1－eq \r(2). [纠错心得] 复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程，要注意在复数范围内负数是能开方的，也可以利用求根公式求解，此外，根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解. 复数运算的综合应用 [典例]　(13分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))对应的复数分别为z1，z2. (1)若z1＋z2＝1＋i，求eq \f(1＋i,z1)＋eq \f(1－i,z2). (2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a，b. [审题指导]　(1)根据几何意义，求出复数z1，z2，然后根据运算法则求解；(2)根据复数的概念求参数． [规范解答]　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)， ∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i， ∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i.(3分) (1)又z1＋z2＝1＋i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－4＝1，,b－4＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝5，)) ∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，(5分) ∴eq \f(1＋i,z1)＋eq \f(1－i,z2)＝eq \f(1＋i,4－i)＋eq \f(1－i,－3＋2i)＝eq \f(1＋i4＋i,42＋12)＋eq \f(1－i－3－2i,－32＋22)＝eq \f(3＋5i,17)＋eq \f(－5＋i,13)＝－eq \f(46,221)＋eq \f(82,221)i.(8分) (2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i， z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i， 若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－4＝0，,b－4≠0，,2－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))(13分) $$