9.1.1 正弦定理(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

第九章　解三角形 9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学1 三角形面积公式的拓展 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学2 正弦定理的形成 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 正弦值 任何 对角正弦值 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 导学3 解三角形 三个角及其对边 几个元素 其他元素 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 点击进入Word 课后案·学业评价 03 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 谢谢观看 返回目录 第九章　解三角形 数学•必修　第四册(配RJB版) 1 学业标准 素养目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点) 2．能根据条件，判断三角形解的个数．(难点) 3．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．(重点) 1.通过对正弦定理的探索，培养数学抽象核心素养． 2．通过正弦定理的运用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养. △ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，那么它们如何用已知边和角表示？ [提示]　ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A． 将问题1中得到的结论代入三角形面积公式S＝eq \f(1,2)ah，可以推导出怎样的三角形面积公式？ [提示]　S＝eq \f(1,2)absin C，S＝eq \f(1,2)bcsin A，S＝eq \f(1,2)acsin B． ◎结论形成 若记△ABC的面积为S，则S＝eq \f(1,2)absin C＝____________＝___________． eq \f(1,2)bcsin A eq \f(1,2)acsin B 如果对式子S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B，两边同时除以eq \f(1,2)abc，得到什么式子？ [提示]　能得到eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)＝eq \f(sin C,c). 问题1中的式子能取倒数吗？如果能，得到什么式子？ [提示]　因为sin A>0，sin B>0，sin C>0，所以可以取倒数，得到eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c吗？ [提示]　由于eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)，同理，eq \f(b,c)＝eq \f(sin B,sin C)，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确． ◎结论形成 1．正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边的长和它所对角的________的比相等． 符号语言 eq \f(a,sin A)＝_______＝_______. 2.正弦定理对_____三角形都成立，它反映了一个三角形中各边与其_____________之间的关系． eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 3．正弦定理的变形 (1)eq \f(sin A,sin B)＝___，eq \f(sin B,sin C)＝___，eq \f(sin A,sin C)＝___. (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． (3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b,sin A＋sin B) ＝eq \f(a＋c,sin A＋sin C)＝eq \f(b＋c,sin B＋sin C) ＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R. (R为△ABC外接圆的半径) eq \f(a,b) eq \f(b,c) eq \f(a,c) 　在一个三角形中，已知两个角和一条边，能求出其余的边和角吗？ [提示]　能，可以利用正弦定理求解，还要用到三角形的内角和定理． ◎结论形成 三角形中的元素与解三角形 (1)三角形中的元素：指的是三角形的__________________． (2)解三角形：已知三角形的__________求__________的过程． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在Rt△ABC中，若C为直角，则sin A＝eq \f(a,c).(　　) (2)在△ABC中，若a>b，则A>B.(　　) (3)在△ABC中，C＝π－A－B.(　　) (4)在△ABC中，若sin B＝eq \f(\r(2),2)，则B＝eq \f(π,4).(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　) A．4∶1∶1　　　　　　　 B．2∶1∶1 C．eq \r(2)∶1∶1 D．eq \r(3)∶1∶1 解析　∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1， ∴A＝120°，B＝30°，C＝30°. 由正弦定理的变形公式得 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝eq \f(\r(3),2)∶eq \f(1,2)∶eq \f(1,2) ＝eq \r(3)∶1∶1.故选D. 答案　D 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3eq \r(2)，则b＝(　　) A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3) 解析　由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(3\r(2)sin 45°,sin 60°) ＝eq \f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(3). 答案　C 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(3)，A＋C＝2B，则sin A＝_______. 解析　因为A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1·sin 60°,\r(3))＝eq \f(1,2). 答案　eq \f(1,2) eq \x(题型一　已知两角及一边解三角形) 在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形． [解析]　由三角形内角和定理得 C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 根据正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 30°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(2)， c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 45°)＝eq \f(2sin 75°,sin 45°)＝eq \f(2×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq \r(3)＋1. 已知两角和任意一边解三角形的方法 　 [触类旁通] 1．(2024·安徽宿州高一期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(2)，A＝eq \f(π,6)，cos C＝eq \f(1,3)，则c＝(　　) A．eq \f(\r(3),3)　　　 B．eq \f(2,3)　　　 C．eq \f(8\r(3),9)　　　 D．eq \f(8,3) 解析　由题可得sin C＝eq \f(2\r(2),3)，由正弦定理得eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，解得c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(\r(2)×\f(2\r(2),3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，故c＝eq \f(8,3)，故选D. 答案　D eq \x(题型二　已知两边及一边的对角解三角形) 在△ABC中，解三角形． (1)b＝4，c＝8，B＝30°； (2)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°. [解析]　(1)由正弦定理，得 sin C＝eq \f(c·sin B,b)＝eq \f(8sin 30°,4)＝1. ∵30°<C<150°，∴C＝90°. 从而A＝180°－(B＋C)＝60°. a＝eq \r(c2－b2)＝4eq \r(3). ∴C＝90°，A＝60°，a＝4eq \r(3). (2)由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， ∵a<b，∴B>A＝30°， ∴B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时， C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， 又eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)， ∴c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(\r(2)sin 105°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)sin 75°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(1,2))＝eq \r(3)＋1. 当B＝135°时， C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°， ∴c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq \r(3)－1. ∴B＝45°，C＝105°，c＝eq \r(3)＋1或B＝135°，C＝15°，c＝eq \r(3)－1. 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 　 [触类旁通] 2．(1)(2024·浙江杭州高一期中)已知在△ABC中，AB＝2，AC＝2eq \r(2)，C＝eq \f(π,6)，则B＝(　　) A．eq \f(π,4)　　　 B．eq \f(3π,4)　　　 C．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)　　　 D．eq \f(π,2) (2)在△ABC中，a＝6，b＝8，∠A＝40°，则∠B的解的个数是(　　) A．0　　 B．2　　　 C．1　　 D．无法确定 解析　(1)由正弦定理得eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，即eq \f(2,sin\f(π,6))＝eq \f(2\r(2),sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(2),2)，又0<B<eq \f(5π,6)，所以B＝eq \f(π,4)或B＝eq \f(3π,4). (2)过点C作CH⊥AB于点H， 因为a＝6，b＝8，∠A＝40°，所以CH＝8sin 40°<8sin 45°＝4eq \r(2)<6， 所以CH<a<b，这样的∠B可能为锐角，也可能为钝角，如图所示，解的个数为2个． 答案　(1)C　(2)B 一题多变)eq \x(题型三　三角形形状的判断　) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． [解析]　因为(a2＋b2)sin(A－B) ＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， 所以2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B． 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 所以sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B. 所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2). 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． [母题变式] (变条件)将本例条件“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”改为“acoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))”，其他条件不变，试判断△ABC的形状． 解析　解法一　因为acoseq \f(π,2)－A＝bcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))， 所以asin A＝bsin B． 由正弦定理可得a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，所以a2＝b2， 所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形． 解法二　因为acoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))， 所以asin A＝bsin B． 由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2 B，即sin A＝sin B，所以A＝B.(A＋B＝π不合题意，舍去)． 故△ABC为等腰三角形． [素养聚焦]　利用正弦定理求三角形的角，突出考查数学运算和逻辑推理核心素养． 判定三角形形状的两种方法 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π，这个结论． 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．　 [触类旁通] 3．(2024·临沂高一期中)在△ABC中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若sin A＝2sin B·cos C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，则△ABC的形状是_______． 解析　因为sin A＝2sin B·cos C， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＝2sin B·cos C， 则sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin B·cos C， 所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－C))＝0， 因为B，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))，所以－π<B－C<π， 所以B－C＝0， 即B＝C，则b＝c，所以△ABC为等腰三角形， 又sin 2A＝sin 2B＋sin 2C， 由正弦定理可得a2＝b2＋c2，则A＝eq \f(π,2)， 所以△ABC为直角三角形， 综上可得△ABC为等腰直角三角形． 答案　等腰直角三角形 [缜密思维提能区]　　　　　　　 易错辨析 利用正弦定理解三角形 [典例]　在△ABC中，若A＝60°，BC＝4eq \r(3)，AC＝4eq \r(2)，则角B的大小为(　　) A．30°　　　　　　　　 B．45° C．135° D．45°或135° [错解]　根据正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)， 即eq \f(4\r(3),sin 60°)＝eq \f(4\r(2),sin B)， 解得sin B＝eq \f(\r(2),2). 又B为三角形的内角， 所以角B为45°或135°.(忽略了对角大小的判断) [答案]　D [正解]　根据正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)， 即eq \f(4\r(3),sin 60°)＝eq \f(4\r(2),sin B)，解得sin B＝eq \f(\r(2),2). 又BC>AC，所以A>B，所以角B为45°. [答案]　B [纠错心得] 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现两解、一解或无解三种情况，一般要根据大边对大角进行判断. 知识落实 技法强化 (1)正弦定理的推导及应用． (2)三角形的面积公式及其应用． (3)应用正弦定理解三角形：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. (1)本节课应用了转化与化归、分类讨论的思想方法． (2)应用正弦定理易忽略对角的讨论，进行边和角的正弦相互转化时易出现非等价变形. $$