精品解析：河南省南阳市卧龙区南阳市第二十一学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年春期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 的相反数为（ ） A. -4 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，再根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 2. 下列调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解某品牌电脑的使用寿命 B. 了解全国中小学生的视力情况 C. 调查河南卫视的收视率 D. 检测我国研的神舟十三号飞船的零部件的质量 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的特点进行逐一判断即可． 【详解】A、了解某品牌电脑的使用寿命，适合抽样调查； B、了解全国中小学生的视力情况，适合抽样调查； C、调查河南卫视的收视率，适合抽样调查； D、检测我国研的神舟十三号飞船的零部件的质量，适合全面调查． 故选D． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算法则求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式和积的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 如图，直线∥，AC⊥AB，AC交直线于点C，∠1=52°，则∠2等于（ ） A. 28° B. 32° C. 30° D. 38° 【答案】D 【解析】 【分析】由直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，再根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数． 【详解】∵， ∴∠BAC=90°， ∵， ∴∠B=90°-∠1=38°， ∵a∥b， ∴∠2=∠B=38°，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等是解答的关键． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， ∴且， ∴整数a的最大值为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在反比例函数的图象上，求出反比例函数解析式，即可求出，，再比较大小即可作答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：． ∵，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了比较反比例函数值的大小的知识，根据求出反比例函数解析式是解答本题的关键． 9. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， 令x=0，则y=，令y=0，则x=， 则A（，0），B（0，）， 则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°， ∴AB==2， 过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵∠CAD=∠OAB=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x， ∴AC==x， ∵旋转， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2CD=2x， ∴BD==x， 又BD=AB+AD=2+x， ∴2+x=x， 解得：x=+1， ∴AC=x=（+1）=， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 10. 如图1，点E从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C停止．过点E作，与边AB（或边BC）交于点F，图2是点E运动时△AEF的面积y（）关于点E的运动时间t（s）的函数图象，当点E运动3s时，△AEF的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数图象得到y的最大值为cm2，AD=DC=2cm，然后利用三角形面积公式结合解直角三角形得到60°角，然后求出所求即可． 【详解】解：由函数图象知，当E与C重合时，t=4， y的最大值为cm2，此时E与D重合， 在菱形ABCD中，AD=DC=cm， 过点B作BH⊥AD与H， 则有 ， 解得 ， ∴sin∠BAH= ， ∴∠BAD=60°， ∴∠BCD=∠BAD=60°， 当t=3时，AD+DE=3， DE=1， ∴CE=1， 又∵EF∥BD， ∴△CFE是等边三角形， ∴EF=EC=1， CG= , 又∵AO=OC=BH= ， ∴AG=AC=CG= , ∴y=S△AEF= ， 故选D． 【点睛】本题考查函数图象与几何动点问题，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，根据函数图象上的特殊点坐标得到对应几何图形的要素是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个图像经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式_____． 【答案】y=﹣x+2（答案不唯一） 【解析】 【分析】由图像经过点（0，2），则b=2，又y随x的增大而减小，只要k＜0即可． 【详解】解：设函数（k≠0，k，b为常数）， ∵图像经过点（0，2）， ∴b=2， 又∵y随x的增大而减小， ∴k＜0，可取k=﹣1． 这样满足条件的函数可以为：y=﹣x+2． 故答案为：y=﹣x+2（答案不唯一） 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，熟知一次函数的图像及其性质是解题的关键. 12. 不等式组的最小整数解是_____． 【答案】-2 【解析】 【详解】分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 详解： . ∵解不等式①得：x＞-3， 解不等式②得：x≤1， ∴不等式组的解集为-3＜x≤1， ∴不等式组的最小整数解是-2， 故答案-2． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键． 13. 若点、、都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______________．（用“>”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=1，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵y=−(x−1)2+3， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 关于直线x=1的对称点是(3，y3)， ∵1<2<3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 14. 如图，中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．则阴影部分面积为_____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，扇形的面积、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法取阴影部分面积． 连接，，运用勾股定理分别算出，再结合计算即可． 【详解】解：如图，连接，． 在中， ，， ∴， ∴， ∴，则， ∵是直径， ∴， ， ∵O是的中点， ∴是中线， ∴， 故答案为． 15. 如图，中，，点P为上一个动点，将沿直线折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若为直角三角形时，的长为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，证明点Q在上，利用折叠的性质和求解；当时，证明四边形是正方形，求出，再利用勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，如图， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴； 当时，如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 在直角三角形中，； 综上，的长是2或； 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，全面分类、数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算、负整数指数幂、分式混合运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行绝对值运算、立方根运算以及负整数指数幂运算，然后相加减即可； （2）首先进行括号内运算，然后将除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们]恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）72；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）圆心角=某项所占的百分比； （2）算出读2部的学生人数，补全统计图即可； （3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母、、、表示，进行简化，画树状图可以得到一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，即可得到概率． 【详解】解：（1）本次调查的人数为：（人， 扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：， （2）读2部的学生有：（人， 补全的条形统计图如下图所示； （3）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用字母、、、表示， 树状图如图所示： 一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种， 故他们恰好选中同一名著的概率是 【点睛】本题考查了圆心角的计算、条形统计图、树状图求概率等知识点．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点为轴上一点，若的面积为1，请求出点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1）， （2）点P的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系等，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，即可求出反比例函数的解析式．将点代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数即可求出一次函数解析式； （2）设，待定系数法求出直线的解析式为．过点A作轴于点C，交于点D，则，根据的面积为1求出n的值，即可解答； （3）观察函数图象，找出一次函数的图象在反比例函数图象上方所对应的x的值即为所求． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， ∵一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设，直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点A作轴于点C，交于点D，则， ∴， ∵， ∴或， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：由图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集为或． 19. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得； （2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB． 【小问1详解】 证明：连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，． 20. 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加． ，两种型号车的进货和销售价格表： 型车 型车 进货价格（元辆） 1100 1400 销售价格（元辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年6月份型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】（1）2000元；（2）型车17辆，型车33辆 【解析】 【分析】（1）设去年6月份型车每辆销售价元，那么今年6月份型车每辆销售元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题． （2）设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，先求出的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题． 【详解】解：（1）设去年6月份型车每辆销售价元，那么今年6月份型车每辆销售元， 根据题意得， 解得：， 经检验，是方程的解． 时，． 答：今年6月份型车每辆销售价2000元． （2）设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元， 根据题意得， 解得：， ， 随 的增大而减小， 当时，可以获得最大利润． 答：进货方案是型车17辆，型车33辆． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价总价数量，列出关于的分式方程；（2）根据总利润单辆利润购进数量，找出关于的函数关系式． 21. 如图①，南阳光武大桥横跨白河两岸，是连接南阳中心城区和南阳机场及高铁站的重要交通要道，该桥为独塔斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量光武大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数； 数据收集：A，B两点的距离为63米，测角仪AD和BE的高度为米，，； 问题解决：求光武大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） （1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程； （2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）． 【答案】（1）37米，过程见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过点C作，并延长CG交AB于点H，则米，米，设米，再分别在和中，解直角三角形求出的长，然后根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）要确保，，即测角仪测量时要与地面垂直． 【小问1详解】 解：过点C作，并延长CG交AB于点H， 由题意得：米，米， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴光武大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离约为37米； 【小问2详解】 我认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项是：使用测角仪测量时，要与地面垂直．（答案不唯一） 22. 某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75 米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？ 请结合图象，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）利用待定系数法，把，代入，求出、的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； （3）令，求出的值，即为m的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，、、、、， 把，代入得， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：能，理由如下： ， 抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时的高度为米， ， 绳子能顺利从他头顶越过； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 23. 综合实践活动课上，伍老师带领学生们分小组进行折纸探究活动，操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕．与交于点．则点为的三等分点，即． 问题解决：如图1，若正方形的边长是2． （1）长为 ． （2）请通过计算的长度，说明点是的三等分点． （3）类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，求解即可； （2）证明，得到，求出，，即可得证； （3）设，，，得到，，在中，，即①，由（2）有，得到②， 由①②可得，即，从而． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， 设，则，， ∵在中，， 即， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P为的三等分点． 【小问3详解】 解：∵， ∴点P是靠近点A的三等分点， 设，，， ∵点P为的三等分点， ∴， ∴在长方形中，， 由折叠有， ∵在中，， ∴①． 由（2）有， ∴，即， ∴②， 由①②可得， ∴， 把代入，整理得， ∴或（不合题意，舍去）， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春期九年级第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的） 1. 的相反数为（ ） A. -4 B. C. 2 D. 4 2. 下列调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解某品牌电脑的使用寿命 B. 了解全国中小学生的视力情况 C. 调查河南卫视的收视率 D. 检测我国研的神舟十三号飞船的零部件的质量 3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线∥，AC⊥AB，AC交直线于点C，∠1=52°，则∠2等于（ ） A. 28° B. 32° C. 30° D. 38° 6. 若关于x一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ） A 0 B. 1 C. D. 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，在反比例函数的图象上，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点E从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C停止．过点E作，与边AB（或边BC）交于点F，图2是点E运动时△AEF的面积y（）关于点E的运动时间t（s）的函数图象，当点E运动3s时，△AEF的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个图像经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式_____． 12. 不等式组最小整数解是_____． 13. 若点、、都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______________．（用“>”连接） 14. 如图，中，，，，以为直径的半圆交斜边于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．则阴影部分面积为_____．（结果保留π） 15. 如图，中，，点P为上一个动点，将沿直线折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为______度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们]恰好选中同一名著的概率． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）点为轴上一点，若的面积为1，请求出点的坐标； （3）根据图象直接写出不等式的解集为 ． 19. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O切线； （2）若，，求AB的长． 20. 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加． ，两种型号车的进货和销售价格表： 型车 型车 进货价格（元辆） 1100 1400 销售价格（元辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年6月份型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 21. 如图①，南阳光武大桥横跨白河两岸，是连接南阳中心城区和南阳机场及高铁站的重要交通要道，该桥为独塔斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量光武大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 方案设计：如图②，分别在A，B两点放置测角仪测得和的度数； 数据收集：A，B两点的距离为63米，测角仪AD和BE的高度为米，，； 问题解决：求光武大桥某组斜拉索最高点C到桥面AB的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） （1）根据上述方案及数据，请你完成求解过程； （2）你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些（写出一条即可）． 22. 某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75 米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？ 请结合图象，直接写出m的取值范围． 23. 综合实践活动课上，伍老师带领学生们分小组进行折纸探究活动，操作过程及内容如下： 第一步：如图1，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合．再将正方形展开，得到折痕； 第二步：将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕．与交于点．则点为的三等分点，即． 问题解决：如图1，若正方形的边长是2． （1）的长为 ． （2）请通过计算的长度，说明点是的三等分点． （3）类比探究：将长方形纸片按问题背景中的操作过程进行折叠，如图2，若折出的点也为的三等分点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$