专题02 坐标方法的简单应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题02 坐标方法的简单应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型二 由平移方式确定点的坐标 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 题型六 平移综合题 题型七 坐标与图形变化——轴对称 题型八 轴对称综合题 题型九 翻折问题中的坐标计算 题型十 旋转问题中的坐标计算 题型十一 平面直角坐标系中最值问题 题型十二 平面直角坐标系中动点问题 知识点一：平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 【经典例题一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了两点间的距离公式．设，，则．分别根据，列出方程①，②，求出，，再根据平移的规律求解． 【详解】解：设，，则，． ，轴， ． ， ①， ， ②， ①②得，， ， ，． 把代入①，得（负值舍去）， ， 将沿轴向左平移，当点与点重合时，点的坐标为． 故选：D． 1．（23-24七年级下·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 【答案】D 【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题． 【详解】解：由题意，点的坐标为（，）， 即：（，）， ∵点位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型． 2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】解：点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查坐标与图形的变化，解题关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为 ． 【答案】（0，2）或（0，） 【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可． 【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B， ∴B(0，)， 设C（0，m）， 如图所示， 根据题意得：， 解得：m=2或， ∴C(0，2)或（0，）， 故答案为：（0，2）或（0，）． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，坐标的平移，一元一次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【经典例题二 由平移方式确定点的坐标】 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的平移以及关于轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，进而结合关于轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度得到点， ∴，即， ∴点关于轴的对称点， 故选：． 4．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，表示出点Q的坐标，再结合点Q的横坐标和纵坐标相等建立关于n的等式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将点向右平移n个单位长度到达点Q， 则点Q的坐标为， 点Q的横坐标和纵坐标相等， ， 解得，， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知坐标平面内点，若将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．将坐标系向右、向上平移，相当于将原来坐标系中的点向左、向下平移．根据题意，将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，依据坐标的变化规律即可求解． 【详解】解：∵坐标平面内点，将坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴点A的横坐标增大3，纵坐标减小2， ∴点A变化后的坐标为． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． (1)用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． (2)若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； (3)若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【答案】(1)； (2)向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，或向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点， (3)， 【分析】考查了坐标与图形性质、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得出点C的坐标，由点B的横坐标的绝对值即可得出点B到y轴的距离点B 到y轴的距离； （2）分两种情况分别讨论：①点在y轴上，点在x轴上；②点在x轴上，点在y轴上，由平移的性质即可解答； （3）设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：∵点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴． 点到y轴的距离为． 故答案为：； （2）解：当，点，点， 分两种情况讨论： ①如图， 点A、点B同时向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，； ②如图， 点A、点B同时向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，． （3）解：当时，，， 过A作y轴的垂线，过M作x轴的垂线、过B作x轴的垂线，交x轴于G，交前面垂线点P、Q，如图所示： 设， ∴，，，，， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∵点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到M， ∴点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到N， ∴点． 【经典例题三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，根据m的取值分两种情况讨论，利用平移的性质求解即可． 【详解】解：当时，点与点，可看作点P向右平移m个单位，再向下平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，点A的位置与点P的位置关系可看作点P向右平移1个单位，再向下平移个单位得到点，此时，符合平移关系； 当时，点与点，可看作点P向左平移m个单位，再向上平移个单位得到点， 在平面直角坐标系中，没有符合平移关系的点； 故点在图中的位置可能是点A， 故选：A． 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，8 (2) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，能够根据平移前后坐标的变化得出平移方式是解题的关键． （1）根据题意描点，顺次连接A、B、C，即可；再根据长方形减去三个三角形的面积，即可求解； （2）根据图形的位置关系得出平移方式，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； ； （2）解：∵点平移到， ∴平移规律为横坐标加4，纵坐标减3， ∴平移后为， ∴的坐标为． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将三角形平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)将三角形平移后，顶点，，的对应点分别为，，，在图中画出三角形； (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点坐标______． (3)在图中先确定线段的中点，再在边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，画平移图形，无刻度直尺作图． （1）先根据三角形内任意一点的对应点为判断平移的方式，再画图即可； （2）根据平移的方式求解即可； （3）取格点E，F，连接交于点P；取格点D，连接交格线于点N，与格线交于点M，连接交于点Q，则． 【详解】（1）解：∵三角形内任意一点的对应点为 ∴三角形先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得三角形． 如图，三角形即为所求， （2）解：∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得点， ∴． 故答案为：； （3）解：如图，点P和点Q即为所求， 9．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 【答案】(1)画图见解析，， (2)7 (3)24 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形： （1）根据点A和的坐标可得平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，据此得到B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （3）只需要计算出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴，； （2）解：； （3）解：， ∴线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是24． 【经典例题四 已知图形的平移，求点的坐标】 【例4】（23-24八年级上·山东济南·期末）三个顶点的坐标分别为，将平移到了，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据A和的坐标求出平移规律，再利用规律，进而得出答案． 【详解】解：∵顶点的A的坐标为，将平移到了，其中， ∴横坐标减3，纵坐标加2， ∵， ∴对应点的坐标为：． 故选：C． 10．（23-24七年级下·云南红河·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)将先向左平移格，再向下移格，请画出平移后的，写出、、的对应点、、的坐标：        、          、             (2)求的面积． 【答案】(1)、、，图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）分别将点、、先向左平移格，再向下平移格，然后顺次连接可得，再根据平移后的图形写出点、、的坐标； （2）根据三角形面积公式，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 、、， 故答案为：、、； （2）的面积为：． 11．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为．将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为．    (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)①画出三角形； ②求三角形的面积； (3)过点作轴，交于点D，则点D的坐标为 ． 【答案】(1)，， (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，考查了平移的性质，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由平移的性质可得向左平移3个单位，向上平移1个单位，即可求解； （2）①根据点的坐标画出图形即可；②由面积的和差关系可求解； （3）由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：三角形中任意一点，经平移后对应点为， 向左平移3个单位，向上平移1个单位， 三角形三个顶点的坐标分别是，，， 点，点，点， 故答案为：，，； （2）解：①三角形如图所示：   ； ②的面积； （3）解：， ， 点， 点， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，将四边形先向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别为点、、、． (1)画出四边形，并写出点、的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为． (2) 【分析】本题考查了作图——平移变换，根据平移方式求坐标，割补法求面积，掌握平移的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平移方式画出图形，再写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：四边形如图所示． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：四边形的面积为 ． 【经典例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 【例5】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 13．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 【答案】D 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】横坐标从-2到3，说明是向右移动了3-（-2）=5，纵坐标从1到-1，说明是向下移动了1-（-1）=2， 求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2． 则点B的坐标为（-1，2）． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反． 14．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 15．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了作图-平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）先根据题意求出平移方向，从而求出的坐标，画出图形即可； （2）根据（1）中的平移方向，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴平移后的如图所示： （2）由（1）得：平移方向是先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵点的对应点的坐标为， ∴点的坐标为． 【经典例题六 平移综合题】 【例6】（23-24七年级下·福建厦门·期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可． 【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是， 如图，   ， 当线段在线段的下方时，此时， 点，，， ，，， ， 点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移个单位长度， 沿轴正方向平移， ， ， 当线段在线段的上方时，此时， 同理可得：点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移，即， 综上所述，的取值范围为：或， 的值可以是0.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键． 16．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，点Q坐标为或． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了二次根式和绝对值的非负性，平移变换，四边形的面积等知识，掌握面积切割法，分类讨论，利用参数构建方程是解决的关键． （1）根据二次根式和绝对值的非负性即可求得的值； （2）根据平移的性质，得到，，，结合，用坐标表示距离，分情况讨论即可求解； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程求解即可． 【详解】（1） 点满足， ，， ，， ． （2）将线段向下平移a个单位后得到线段，， 点O与点B对应，点与点对应，轴于点D， ，，， ，， ， ①当点D位于x轴上方时，即， ， ，解得； ②当点D位于x轴下方时，即 ， ，解得； 综上所述或； （3）连接，过点P作x轴的平行线，交于M，交y轴于N， 依题意得，， 将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段, 四边形为平行四边形， ， 又 ， ，， ， ，解得， 设，则， 即， 解得，即， 解得或， 综上所述，点Q坐标为或． 17．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 18．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移变换的性质，平行线的判定和性质，二次根式有意义的条件等知识； （1）由非负数的性质求a，b的值，求出线段的长即可； （2）设出P点坐标，可分两种情况，根据面积关系，构建方程即可解决问题； （3）分三种情形：①当点M在点H的上方且在直线下方时；②如图，点M在H上方且在直线上方时；③当点M在线段上(不与C，H重合)时，由平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 点C在x轴的负半轴， ， 故答案为：，； （2）点P在x轴上，设， ， 由题意得：， 解得：或， 或； （3）①当点M在点H的上方且在直线下方时，， 证明：设交于J，   ， ， ， ； ②如图，点M在H上方且在直线上方时， 同理可得． ③当点M在线段上(不与C，H重合)时，，    作， ， ， ， ． 【经典例题七 坐标与图形变化——轴对称】 【例7】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点，，且，，则点C关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，以及关于轴对称的点的关系，根据等腰直角三角形直角顶点在斜边垂直平分线上，求出点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标之间的关系就可以得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵顶点，， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 19．（23-24八年级上·广东清远·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（    ） A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b） 【答案】D 【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位． 【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵A（－1，b），B（1，b）， ∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可， ∵C（2，b），D（3.5，b）， ∴可以将点C（2，b）向左平移到（－3.5，b），平移5.5个单位， 或可以将D（3.5，b）向左平移到（－2，b），平移5.5个单位， 故选D． 【点睛】本题考查了生活中的平移和关于坐标轴对称的点的坐标关系，注意关于y轴对称的两个点的坐标的关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 20．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标为，，． (1)若点A平移后的对应点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的．并写出另两点的对称点的坐标：____________，____________； (2)经过怎样的平移得到？答：先向____________平移____________个单位，再向____________平移____________个单位； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)右；4；上；3； (3)6 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，割补法求三角形面积： （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用对应点的变化得出平移规律； （3）利用所在的长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴； （2）解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， （3）解：． 21．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． (1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． (2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______． (3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换， （1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据平移和轴对称的性质画图即可；由图可得线段的中点坐标． （3）由平移和轴对称可知，点经过（2）中的平移后得到的点的坐标为，再沿轴翻折得到点的坐标为． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）如图， 即为所求． 由图可知，线段的中点坐标为． 故答案为：． （3）点先向下平移4个单位长度得到的点的坐标为， 再沿轴翻折得到点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题八 轴对称综合题】 【例8】（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，反复运用勾股定理是解题的关键． 连接交于点，过点作轴于点，利用勾股定理逐步求出，，，，进而求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如图，   的坐标为，点的坐标为， ，， 在中， 由勾股定理，得， 将沿翻折得到， ，，， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 在中， 由勾股定理，得， 设，则， 在中， 由勾股定理，得，即， 解得， ， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 即顶点的纵坐标为． 故选：D． 22．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点与点关于轴对称，求点的坐标； (3)若点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用y轴上点的横坐标为解题即可； （2）利用关于轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数解题即可； （3）根据轴得到横坐标相同，解题即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得：， ∴点的坐标为； （2）∵点与点关于轴对称， ∴，解得：， ∴点的坐标为； （3）∵点，且轴， ∴，解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查点的坐标，掌握各点的坐标特点是解题的关键． 23．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示： (1)，两点关于 ___________轴对称； (2)，两点横坐标相等，线段___________轴，线段___________轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为___________． (3)线段与的位置关系是___________；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 ___________． 【答案】(1) (2)，， (3)， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可确定； （2）根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可确定； （3）根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可确定． 【详解】（1）解：由图可知，，两点到轴距离相等，且横坐标互为相反数，根据对称的性质得，，两点关于轴对称， 故答案为：． （2）解：，两点横坐标相等，线段轴，线段轴， ∵点在直线AD上， ∴点的横坐标为， 故答案为：，，． （3）解：由图可知，，，， ∴， ∵点是直线上任意一点， ∴点纵坐标为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，线与坐标轴的关系，掌握平面直角坐标系中点坐标的表示，及坐标之间的关系，线与坐标轴之间的关系是解题的关键． 24．（23-24八年级上·山西大同·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中建立平面直角坐标系； (2)若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______；并画出； (3)在轴上找一点，使的值最小，请在图上标出点的位置． 【答案】(1)答案见解析 (2)，图形见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据三点坐标确定平面直角坐标系即可； （2）分别作出关于y轴的对应点，连接即可； （3）作点A关于x轴的对称点D，再连接，与x轴相交与点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下图所示： （2）如（1）图，作关于y轴的对应点，连接，即为所求； （3）如（1）图，作点A关于x轴的对称点D，再连接，与x轴相交与点P，点P即为所求，因为两点之间，线段最短，所以的值最小． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，作图一轴对称变换，最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【经典例题九 翻折问题中的坐标计算】 【例9】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，等边三角形的顶点，规定，把“先沿x轴翻折，再向右平移2个单位长度”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，等边三角形的顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折，平移变换，解题的关键是求出翻折，平移变换中，点坐标的变换规律． 过作于，由是等边三角形，可求出，出把“先沿轴翻折，再向右平移2个单位长度”可得的对应点坐标为；再作一次同样的变换可得对应点坐标为；作第三次变换可得对应点坐标为，．．．坐标变化规律可求得答案． 【详解】解：过作于，如图： ∵是等边三角形，， 把“先沿轴翻折，再向右平移2个单位长度”可得的对应点坐标为；再作一次同样的变换可得对应点坐标为 作第三次变换可得对应点坐标为， ∴连续经过2024次变换后，等边三角形的顶点的对应点坐标为)， 即； 故选：C． 25．（23-24八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(   )    A．（11，1） B．（-11，1） C．（11，﹣1） D．（-11，-1） 【答案】C 【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案． 【详解】解：∵B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）， ∴BC中点的坐标为（2，1）， ∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1， ∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（2+3，-1），即（5，-1）， 经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（5+3，1），即（8，1） 经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（8+3，-1），即（11，-1） 故选：C． 【点睛】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题． 26．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，等边三角形的顶点A(1，1)、B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ． 【答案】(2，)． 【分析】据轴对称判断出点C变换后在y轴的右侧，根据平移的距离求出点C变换后的纵坐标，最后写出即可． 【详解】∵△ABC是等边三角形，AB=3﹣1=2， ∴点C到y轴的距离为1+2×=2，点C到AB的距离为=， ∴C(2，+1)， 把等边△ABC先沿y轴翻折，得C’(-2，+1)，再向下平移1个单位得C’’（ -2，） 故经过一次变换后，横坐标变为相反数，纵坐标减1， 故第2020次变换后的三角形在y轴右侧， 点C的横坐标为2， 纵坐标为+1﹣2020=﹣2019， 所以，点C的对应点C'的坐标是(2，﹣2019)． 故答案为：(2，﹣2019)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到三角形在y轴右侧是解题的关键． 27．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，点A坐标为，点B坐标为. (1)在正方形网格内，画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的，点的坐标为______； (3)若点在的内部，当当沿y轴翻折后，点P对应点的坐标是______. 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据点A及点B的坐标，可建立直角坐标系即可； （2）根据对称轴垂直平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接，可得答案； （3）根据当沿y轴翻折，对应点的横坐标互为相反，纵坐标相等，可得答案． 【详解】（1）解：， 平面直角坐标系如下图： （2）根据对称轴垂直平分对应点连线，画出点的对称点，连接，即可得，由图可知：的坐标是； （3）当沿y轴翻折，点在内部， ． 【点睛】本题考查了轴对称作图的知识及直角坐标系的建立，解题的关键是掌握轴对称的性质，准确作图． 【经典例题十 旋转问题中的坐标计算】 【例10】（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）在直角坐标系中，等腰直角三角形在如图所示的位置，点B的坐标为，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到，则点A'的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，过点A作于C，过点作于，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质可得，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作于C，过点作于， ∵是等腰直角三角形，点B的横坐标为2， ∴， ∵是绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 28．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，把正方形纸片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形纸片上，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，点第一次旋转至图①的点位置，第二次旋转至图②的点位置……，则正方形纸片连续旋转2023次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律．依次求出每次旋转后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点作的垂线，垂足为N，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点P的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴． 所以点的坐标为； 同理可得， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每旋转四次，点P对应点的位置即循环一次， 所以点的横坐标为：，纵坐标为：2． 因为， 所以点的横坐标坐标为：，纵坐标为：2； 所以点的坐标为． 故选：B． 29．（23-24八年级下·江苏·周测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将矩形绕O按顺时针方向旋转α度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 【答案】 【分析】先确定点P的位置，根据题意求出，，，再作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，即可求出答案． 【详解】∵， ∴点P在点B的右侧． ∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是， ∴，，． 过点Q作于点H，连接，如图，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 则，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键． 30．（23-24七年级·全国·单元测试）已知点，O为坐标原点.点A关于y轴的对称点为点B，线段OA绕O点顺时针方向旋转到达OC的位置. （1）试在坐标平面内画出点B、点C的位置，并写出它们的坐标； （2）利用割补的方法，求的面积. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）分别根据轴对称的性质和旋转的性质画出点B和点C，在平面直角坐标系中确定它们的坐标即可； （2）运用割补法求解△BOC的面积. 【详解】（1）如图，B（-2，5），C（5，-2）； （2）S△BOC=7×7- =. 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 【经典例题十一 平面直角坐标系中最值问题】 【例11】（23-24七年级下·山东德州·期中）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，点，， ， 当时，线段最短， ， 即时，线段的长度最小为， 故选：B． 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据方向角的定义画出图形即可； （4）连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图．点即为所求； （4）解：如图，点即为所求，作图依据是：两点之间线段最短． 32．（23-24七年级下·四川泸州·期中）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件                      ；        (1)求a，c的值以及点A，C的坐标． (2)求的面积． (3)如图（2）：在y轴上是否存在一点P，使的面积等于面积的2倍．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (4)点为x轴上的一个动点，当_______时，线段的长最小． (5)线段轴，直接写出D点坐标 ． 【答案】(1)， (2)22 (3)或 (4)4 (5)或 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）利用非负性求出的值，进而写出点A，C的坐标即可； （2）直接利用面积公式进行求解即可； （3）设，列出方程进行求解即可； （4）根据垂线段最短，进行求解即可； （5）根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴； （2）∵，； ∴， ∴的面积； （3）设， 由题意，得：，即：， ∴， ∴， ∴或． （4）∵点为x轴上的一个动点， ∴轴时，线段的长最小， ∵， ∴； 故答案为：4； （5）∵，， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离．      【答案】方法分析：图见解析，；问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，图见解析，桥与铁路的距离为． 【分析】方法分析：根据小刚的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设， 根据，求出的值即可． 【详解】解：方法分析：如图，点即为所求作；      设，则， 点与点关于轴对称， ， , , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则，    由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【经典例题十二 平面直角坐标系中动点问题】 【例12】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 【详解】解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故选C． 34．（23-24七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，有一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，则何时三角形的面积为4，并求出此时点P的坐标． 【答案】当运动时间为秒时，三角形的面积为4，此时点P的坐标为；当运动时间为秒时，三角形的面积为4，此时点P的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意可知，，，，设点的运动时间为秒，再分四种情况列方程求解即可． 【详解】解：四边形是边长为4的正方形，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上， ，，， 设点的运动时间为秒， ①当点在上时，， 则， ， 解得：， ， 点P的坐标为； ②当点在上时，不存在，不满足题意； ③当点在上时，， ， 解得：， ， ， 点P的坐标为； ④当点在上时，，不满足题意； 综上可知，当运动时间为秒时，三角形的面积为4，此时点P的坐标为；当运动时间为秒时，三角形的面积为4，此时点P的坐标为． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)存在，见解析 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）解：分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 36．（23-24七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． （1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）设点，根据三角形面积等于列出关于的方程，解此方程可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：点，，且将线段平移得到线段，由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 可判断线段先向下平移个单位，再向右平移个单位， ，； （2）如图所示，设点， ，， ，， ， ， 或， 或； （3）① ， 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，设，，当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ， ， ， ，， ； ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，，此时，，，， ， ， ， ，， ，设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ，， ， ∵， ， ， 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ， ， ， ，， ， 设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ， 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标以及所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标特点是解题关键．判断出点位于第二象限内，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0即可得． 【详解】解：∵以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，图中点的坐标为， ∴由图可知，点位于第二象限内， ∴点的横坐标小于0、纵坐标大于0， 观察四个选项可知，只有是第二象限内的坐标， 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，第二象限内的点的坐标特点，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到，再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴，， 故选：D． 4．（2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移得到三角，若点A，B的对应点坐标分别为，，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，利用平移变换中点的坐标的变化规律即可得． 【详解】解：∵三角形的顶点坐标分别为，， 将三角形平移得到三角形点A，B的对应点坐标分别为，， 可得，， ∴是将三角形向上平移2个单位长度，向左平移4个单位长度得到三角形． ∵， ∴点C的对应点的坐标是，即为． 故选：A． 5．（23-24七年级下·北京丰台·期末）地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标以及平面直角坐标系的性质，注意在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，分别根据每个选项的原点坐标进行逐个查找具体地点的坐标，再逐一比较，即可作答． 【详解】解：∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； 故①是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ∴故②是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． ∴故③是正确的； 故选：D 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为 ． 【答案】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是求出每小时横纵坐标移动的距离及方向．根据上午两个小时的移动位置确定移动规律，据此规律推算，即可解题． 【详解】解：上午6时到上午8时横坐标向右移动个单位，纵坐标向下移动个单位， 上午10时的位置为，即为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，正确得出平移规律是解题关键．利用已知对应点平移距离进而得出答案． 【详解】解：∵线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，点A的对应点的坐标为， ∴点A向右平移5个单位，向下平移1个单位， ∴点B的对应点的坐标为：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案． 【详解】解：∵把点向右平移5个单位得到点， ∴，即： ∴． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【详解】解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 10．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 【详解】解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图是某校的平面示意图． (1)以大门A所在位置为原点，小正方格的边长为1个单位长度，请在图中画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，直接写出教学楼B、实验楼C、图书馆D、操场E的坐标； (3)若体育馆F的位置坐标为，在图中标出它的位置． 【答案】(1)见解析 (2)教学楼，实验楼，图书馆，操场 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系（实际问题中用坐标表示位置），直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点等知识点，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键． （1）依题意画出平面直角坐标系即可； （2）根据所建立的平面直角坐标系，写出各点坐标即可； （3）在图中标出点的位置即可． 【详解】（1）解：如图，以大门A所在位置为原点，建立平面直角坐标系如下： （2）解：写出各点坐标如下： 教学楼， 实验楼， 图书馆， 操场； （3）解：点的位置如图所示， ． 12．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积； (3)在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是的面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了作图—平移变换，坐标与图形，求三角形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平移找出的对应点，然后连接各点即可； （）先描出点，由坐标系可知，然后用三角形面积公式即可求解； （）设，则，由题意可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可； ∴即为所求； （2）解：如图， 由网格可知， ∴的面积为； （3）解：∵点在轴上， ∴设，则， 由（）得：的面积为， ∵的面积是的面积的倍， ∴的面积是， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点的坐标： ______，______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)三角形是由三角形向左平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到 (3)， 【分析】本题考查作图-坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移称变换的性质． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的性质，构建方程组求解． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）三角形是由三角形向左平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到； （3）由平移得， ，． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． (1)求，两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，平移的规律，解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用非负数的性质，结合条件得：，，解出、的值即可； （2）根据列出关于的方程，解方程求得的值，据此求解得出点的坐标，由平移的规律可得点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 两点的坐标分别为，； （2）解：如图，， 故由题意得：， 解得：， 点的坐标为，由点平移到点可知，横坐标向左移个单位长度，纵坐标向下移个单位长度， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 15．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 坐标方法的简单应用重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型二 由平移方式确定点的坐标 题型三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型四 已知图形的平移，求点的坐标 题型五 已知平移后的坐标求原坐标 题型六 平移综合题 题型七 坐标与图形变化——轴对称 题型八 轴对称综合题 题型九 翻折问题中的坐标计算 题型十 旋转问题中的坐标计算 题型十一 平面直角坐标系中最值问题 题型十二 平面直角坐标系中动点问题 知识点一：平面内点的平移 1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）； 2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）； 3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。 【经典例题一 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】．（2023·河南南阳·一模）如图，在等腰中，，，点A，B分别在x轴，y轴上，且轴，将沿x轴向左平移，当点A与点O重合时，点B的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（　　） A．m＞0，n＜0 B．m＞1，n＜2 C．m＞1，n＜0 D．m＞﹣2，n＜﹣4 2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期末）点向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度对应点的坐标为 ． 3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为 ． 【经典例题二 由平移方式确定点的坐标】 【例2】（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知坐标平面内点，若将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则点A的对应点的坐标为 ． 6．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． (1)用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． (2)若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； (3)若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【经典例题三 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知点在图中的位置，则点在图中的位置可能是（      ） A．点A B．点B C．点C D．点D 7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为． (1)在图中画出，并求其面积； (2)已知是由经过平移得到的，若为三角形内的一点，求点P在内的对应点的坐标． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，将三角形平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)将三角形平移后，顶点，，的对应点分别为，，，在图中画出三角形； (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点坐标______． (3)在图中先确定线段的中点，再在边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 9．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，所给的正方形网格的每个小正方形边长均为1个单位，每个小正方形的顶点称为格点，三角形的三个顶点均在格点上，位置如图所示，其中．现将三角形沿 的方向平移，使得点A平移至的位置． (1)在图中画出三角形，写出点的坐标为 ．点的坐标为 ； (2)三角形的面积为 ． (3)线段沿的方向平移到的过程中扫过的面积是 ； 【经典例题四 已知图形的平移，求点的坐标】 【例4】（23-24八年级上·山东济南·期末）三个顶点的坐标分别为，将平移到了，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·云南红河·期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)将先向左平移格，再向下移格，请画出平移后的，写出、、的对应点、、的坐标：        、          、             (2)求的面积． 11．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为．将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为．    (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)①画出三角形； ②求三角形的面积； (3)过点作轴，交于点D，则点D的坐标为 ． 12．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，将四边形先向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别为点、、、． (1)画出四边形，并写出点、的坐标； (2)求四边形的面积． 【经典例题五 已知平移后的坐标求原坐标】 【例5】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 14．（2022·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 15．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是．现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点、．    (1)请画出平移后的，并写出点的坐标； (2)点P是内的一点，当平移到后，若点P的对应点的坐标为，则点P的坐标为． 【经典例题六 平移综合题】 【例6】（23-24七年级下·福建厦门·期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 16．（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）在平面直角坐标系中，点满足． (1)直接写出点A的坐标； (2)如图1，将线段沿y轴向下平移a个单位后得到线段(点O与点B对应)，过点C作轴于点D．若，求a的值； (3)如图2，点在y轴上，连接，将线段沿y轴向上平移3个单位后得到线段(点O与点F对应)，交于点P．y轴上是否存在点Q，使？若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标是，点B的坐标是且点C在x轴的负半轴上，且． (1)直接写出点B坐标______，点C的坐标______ (2)在x轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线，连接，点M在射线上运动(不与点C、H重合)，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【经典例题七 坐标与图形变化——轴对称】 【例7】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点，，且，，则点C关于y轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·广东清远·期末）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），移动y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则移动的方法可以是（    ） A．将B移到（－2，b） B．将B移到（－3.5，b） C．将C移到（－2，b） D．将D移到（－2，b） 20．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标为，，． (1)若点A平移后的对应点为，请在坐标系中画出作同样的平移后得到的．并写出另两点的对称点的坐标：____________，____________； (2)经过怎样的平移得到？答：先向____________平移____________个单位，再向____________平移____________个单位； (3)求的面积． 21．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，三个顶点在格点上．已知点，点． (1)画出平面直角坐标系（要求：画出坐标轴，标注坐标原点）． (2)现将先向下平移4个单位长度，再沿轴翻折得到，在图中画出，连接，则线段的中点坐标为______． (3)若内有一点，则点经过（2）中的平移、对称后得到的点的坐标是______． 【经典例题八 轴对称综合题】 【例8】（2024·江苏苏州·一模）如图，中，，顶点A在第一象限内，点B的坐标为，点C的坐标为，将沿AB翻折得到，此时点恰好落在x轴上，则顶点A的纵坐标为（    ）    A．10 B． C． D． 22．（23-24八年级上·福建漳州·期中）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点与点关于轴对称，求点的坐标； (3)若点，且轴，求点的坐标． 23．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图所示： (1)，两点关于 ___________轴对称； (2)，两点横坐标相等，线段___________轴，线段___________轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为___________． (3)线段与的位置关系是___________；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 ___________． 24．（23-24八年级上·山西大同·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中建立平面直角坐标系； (2)若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______；并画出； (3)在轴上找一点，使的值最小，请在图上标出点的位置． 【经典例题九 翻折问题中的坐标计算】 【例9】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，等边三角形的顶点，规定，把“先沿x轴翻折，再向右平移2个单位长度”为一次变换，这样连续经过2024次变换后，等边三角形的顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(   )    A．（11，1） B．（-11，1） C．（11，﹣1） D．（-11，-1） 26．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图，等边三角形的顶点A(1，1)、B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ． 27．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，点A坐标为，点B坐标为. (1)在正方形网格内，画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的，点的坐标为______； (3)若点在的内部，当当沿y轴翻折后，点P对应点的坐标是______. 【经典例题十 旋转问题中的坐标计算】 【例10】（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）在直角坐标系中，等腰直角三角形在如图所示的位置，点B的坐标为，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到，则点A'的坐标（    ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级上·河南开封·期末）如图，把正方形纸片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形纸片上，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，点第一次旋转至图①的点位置，第二次旋转至图②的点位置……，则正方形纸片连续旋转2023次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·江苏·周测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将矩形绕O按顺时针方向旋转α度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 30．（23-24七年级·全国·单元测试）已知点，O为坐标原点.点A关于y轴的对称点为点B，线段OA绕O点顺时针方向旋转到达OC的位置. （1）试在坐标平面内画出点B、点C的位置，并写出它们的坐标； （2）利用割补的方法，求的面积. 【经典例题十一 平面直角坐标系中最值问题】 【例11】（23-24七年级下·山东德州·期中）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)画射线； (2)连接，并延长至点，使； (3)画点，使点在点的东北方向，且点在点西北方向； (4)画点，使最小，并写出画图的依据． 32．（23-24七年级下·四川泸州·期中）如图（1）：在平面直角坐标系中，点，点，点，且a与c满足条件                      ；        (1)求a，c的值以及点A，C的坐标． (2)求的面积． (3)如图（2）：在y轴上是否存在一点P，使的面积等于面积的2倍．若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (4)点为x轴上的一个动点，当_______时，线段的长最小． (5)线段轴，直接写出D点坐标 ． 33．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离．      【经典例题十二 平面直角坐标系中动点问题】 【例12】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（23-24七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为4的正方形，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，有一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，则何时三角形的面积为4，并求出此时点P的坐标． 35．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 36．（23-24七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出点，点的坐标； (2)若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； (3)若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 3．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移得到三角，若点A，B的对应点坐标分别为，，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京丰台·期末）地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）某台风的中心沿直线匀速行进．若在坐标平面上台风中心在上午6时的位置为，在上午8时的位置为，则台风中心在上午10时的位置为 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点是，平移线段AB得到线段，若点A的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 10．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图是某校的平面示意图． (1)以大门A所在位置为原点，小正方格的边长为1个单位长度，请在图中画出平面直角坐标系； (2)在（1）的基础上，直接写出教学楼B、实验楼C、图书馆D、操场E的坐标； (3)若体育馆F的位置坐标为，在图中标出它的位置． 12．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积； (3)在（2）的条件下，点在轴上，当的面积是的面积的倍时，求点的坐标． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点的坐标： ______，______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． (1)求，两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 15．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$