第18章 平行四边形（单元复习课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第18章 平行四边形 单元复习课 Unit Review Session for Math π 5种识别方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 研究内容 研究步骤 研究方法 平行四 边形 矩形 菱形 正方形 边、角、对 角线的特征 下定义→探性 质→研判定 观察、猜想、证明；把四边形问 题转化为三角形问题；从性质定 理的逆命题讨论中研究判定定理 边、角、对 角线的特征 下定义→探性 质→研判定 一般到特殊的方法， 类比平行四边形 边、角、对 角线的特征 下定义→探性 质→研判定 一般到特殊的方法，类 比平行四边形和矩形 边、角、对 角线的特征 下定义→探性 质→研判定 一般到特殊的方法， 类比矩形和菱形 一、几种特殊四边形的性质 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 四边形 条件 平行 四边形 矩形 菱形 正方形 二、几种特殊四边形的常用判定方法： 1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等 3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分 5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形 四、其他重要概念及性质 1.两条平行线之间的距离： 2.三角形的中位线定理： 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例1 例2 如图 , 在□ ABCD 中, AE⊥BC 于点 E , AF⊥DC交 DC 的延长线于点 F． 若∠FCB ＝ 30°, AE ＝ 3,AF＝5, 求 □ ABCD 的周长． 解: 在□ ABCD 中, CD∥AB, ∴∠B ＝ ∠FCB ＝ 30°． 又∵AE⊥BC , ∴在 Rt△ABE 中, AB＝2AE＝6． 又∵ ∠B ＝ ∠D , AF⊥DF , ∴ 在Rt△AFD 中, AD ＝ 2AF＝10． ∴ □ ABCD 的周长为 2(AD＋AB)＝32． 例3 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长. 解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=5. ∵△ABC是直角三角形， AO= AC=2， ∴BD=2BO= BO 32+22 例4 例4 例4 例5 如图，在□ABCD中，AB∶BC＝5∶4，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AD，BD＝6. (1)求AB，BC，AC的值；(2)求□ABCD的面积. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，OB＝OD. ∵AB∶BC＝5∶4，∴设AB＝5x，则AD＝BC＝4x. 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2＋BD2＝AB2，即（4x）2＋62＝（5x）2， 解得x＝2.∴AB＝10，BC＝AD＝8. 在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝OA2，∴82＋32＝OA2， 解得 （2）S□ABCD＝AD·BD＝8×6＝48.　 例6 如图， ABCD中，E，F分别是对角线AC 上的两点，并且 AE=CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． A　 B　 C　 D　 E　 F　 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC，AB∥DC， ∴∠BAF＝∠DCF， 在△ABF和△CDF中 BA=DC ∠BAF＝∠DCF AE=CA ∴△ABF≌△CDF(SAS) ∴BE=FD 同理可得BF=ED ∴四边形BFDE是平行四边形． 例7 如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由． 解：四边形BMDN是平行四边形． 理由如下：连接BD交AC于O． ∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N， ∴∠AND=∠CMB=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAN=∠BCM, ∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM， ∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM, ∴四边形BMDN是平行四边形． O 例8 如图 , 在四边形 ABCD 中 , AD ∥ BC,E 是 CD 的中点 . BE 的延长线与 AD 的延长线相交于点 F, 连接 BD, CF. 判断四边形 BCFD 的形状 , 证明你的结论 . 解:四边形 BCFD 是平行四边形 . 证明：因为 E 是 CD 的中点 , 所以 DE = CE. 又因为 AD ∥ BC, 点 F 在 AD 的延长线上 , 所以 ∠ DFE =∠ CBE, ∠ FDE =∠ BCE. 在 △ FDE 与 △ BCE 中 , ∵ ∠ DFE =∠ CBE, ∠ FDE =∠ BCE, DE = CE, 所以 △ FDE ≌ △ BCE ( AAS ) , 所以 DF = BC. 又因为 DF ∥ BC, 所以四边形 BCFD 是平行四边形 . 例9 如图，在△ABC中，CD平分AD⊥CD于点D，点E为AB的中点，若AC=3,BC=7, 求DE的长. 例10 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE= DE, ∴△DFE ≌△DCE, ∴DF=DC. 例11 例11 例12 如图，三角形 ABC 是直角三角形，BO 是它斜边 AC 上的中线，延长BO至 D， 使OD = OB， 连接 AD，DC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 解：∵AO = OC，BO = OD， 且 AC，BD 是四边形 ABCD 的两条对角线， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又 BO =0.5AC， ∴AC = 2BO = BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. 例12 例12 例13 如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． 又 CE=CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． A D C B F E 例14 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC， 交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠E=50°，求∠DAB的度数． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE， 又∵CE⊥AC， ∴BD∥EC， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB， ∴∠ADB=∠ABD， ∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE， ∴∠CEA=∠DBA=50°， ∴∠ADB=50°， ∴∠DAB=180°-50°-50°=80°． 例15 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， ∴AO＝BE . 例16 证明：在Rt△BON和Rt△DOM 中， ∵ BO = DO， ∠DBN = ∠BDM， ∴ Rt△BON≌Rt△DOM. ∴OM=ON. ∵BD，NM 是四边形 BNDM的两条对角线且互相平分， ∴四边形 BNDM 是平行四边形. 又 MN⊥BD， ∴四边形 BNDM 是菱形. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 MN⊥BD，分别交 AD，BC 于点M，N . 求证：四边形 BNDM 是菱形. 例17 例18 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG. 解： 因为四边形ABCD是正方形 根据正方形的四边相等，得 AD=CD 又知四边形DEFG也是正方形 所以 DE=DG 又因为正方形的每个内角为90° 所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC 所以∠ADE＝∠CDG 所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针 旋转 90° 得到. 所以AE=CG. A B C D E F G 例19 例20 如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B D P M N 证明：（1）∵BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵AB = BC, ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. （2）∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. 1 2 又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. 练1 A.AB=DC B.ED⊥CD C.+DEC-ECB=90° D.DFC=DE+BCE D 练2 如图，在□ABCD中 (2)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ ，∠B=______. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 100° 80° 16 (1)若∠A =130°，则∠B =_____ ，∠C =_____ , ∠D=_____. (3)若∠A:∠B= 5:4， 则∠C=______ ，∠D=______. （4）若AB=3,BC=5,则它的周长= ______. 练3 (1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则 S□ABCD= . 提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值. 40cm2 (2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是 . 20cm2 提示：△PBC与□ABCD是同底等高. 练4 练5 练6 练6 练7 如图 , 点 B, E, C, F 在一条直线上 , AB =DF, AC = DE, BE = FC. (1) 求证： △ ABC ≌ △ DFE ； (2) 连接 AF, BD, 求证：四边形 ABDF 是平行四边形． 解　 (1) 证明： ∵ BE = FC, ∴ BC = FE. 在 △ ABC 和 △ DFE 中 , ∵ AB = DF, AC = DE, BC = FE, ∴△ ABC ≌ △ DFE (SSS) . (2) 由 (1) 知 △ ABC ≌ △ DFE, ∴∠ ABC =∠ DFE, ∴ AB ∥ DF. 又 ∵ AB = DF, ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形 . 练8 练9 A M B C N 如图, MN 为△ABC 的中位线,若∠ABC =59° 则∠AMN = , 若MN =13 ,则BC =_______. 59° 26 如图,已知△ABC中,AB = 4㎝,BC=4.6 ㎝ ,AC=6㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的中点,则△DEF的周长是 ㎝. A B C D E F 7.3 练10 在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 . A B D C E F G H 11 练11 如图，已知平行四边形ABCD中，AD=5,AB=6,E为AB的中点，DE⊥AB, F为CE的中点，AF与DE相交于点G，求GF得长. 练12 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； 解：（1）∵AD是△ABC的高， E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF＝ 5＋5＋4＋4＝18 . (2)求证：EF垂直平分AD. （2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 练13 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60∘，对角线长15， 求这个矩形较短边的长. A D B C O 解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=15(矩形的对角线相等), OA=OC= AC, OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OB=7.5. ∵∠AOB=60∘， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=7.5，即较短的边长为7.5. 练14 如图，在平行四边形ABCD中，角线AC、BD相交于点O，动点E以1个单位每秒的速度从点A出发沿AC向运动，点F同时以1个单位每秒的速度从点C发沿CA方向运动，若AC=12，BD=8，求出经过几秒后，四边形BPDQ是矩形？ 解析：设经过t秒后，四边形BPDQ是矩形； 则AE=CF=t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=4， ∴OE=OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 当EF=BD，即OE=OD时，四边形BFDE是矩形， 此时6-t=4，或t-6=2， 解得t=2，或t=8， 即经过2秒或8秒后，四边形BPDQ是矩形． 练15 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 练16 解 ∵ AC 是∠DAB 的平分线， ∴点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 AD 的距离，故点 P 到 AB 的距离是 4 cm . 如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一点，PE⊥AD 于点 E，PE = 4 cm，求点 P 到 AB 的距离. 练17 练18 如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm, 一只甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFGABCD …的 顺序沿菱形的边循环爬行,当甲虫爬行2020 cm 时停下,则它停下的位置是（ ） A. 点 F B. 点 E C. 点 A D. 点 C C 如图, 在菱形 ABCD 中, AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 F , 垂足为 E , 连接 DF．若∠CDF ＝24°, 则∠DAB 等于（ ） A. 100° B. 104° C. 105° D. 110° B 练19 练20 练20 练20 练21 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AB ＝ ，OA＝2，OB＝1. 求证： ABCD是菱形． 证明：在△AOB中， ∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1， ∴AB2＝AO2＋OB2. ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)． 练22 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F. 试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC 而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° ∴四边形PECF是矩形 ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF 练23 练24 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形EDFC是正方形. 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D. DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. A B C D E F G $$