专项突破训练五 矩形中的折叠问题 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

专项突破训练五 矩形中的折叠问题 学科网（北京）股份有限公司 类型1 利用矩形的性质巧求折叠中的角 方法指引 折叠后对应角相等，再结合矩形的对边平行或内角为90°进行求解. 1.将矩形ABCD沿AE 折叠,得到如图Z--5--1所示的图形.已知 则 2.如图Z--5--2所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,点 E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于点 F,将△BCE沿BE 折叠,点 C恰好落在AB 边上的点C'处,则 3.如图Z--5-3,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB,BC均落在对角线 BD 上,得到折痕 BE,BF,求∠EBF的度数. 类型2 利用矩形的性质巧求折叠中线段的长 方法指引 通过折叠，将所求边长转化到一个直角三角形中，进而利用折叠的性质、勾股定理求解. 4.如图Z-5-4,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点 F处，连接CF，则CF的长为 ( ) A B C D. 5.如图Z-5-5,在矩形ABCD中,AB=6cm,点E,F分别是边BC,AD上一点.将矩形 ABCD沿EF折叠,使点 C,D 分别落在点 C',D'处.若C'E⊥AD,则EF的长为 cm. 6.如图 Z--5--6，在直角坐标系中，长方形纸片ABCO的边AB∥CO,点 B 坐标为(8,4),若把图形按如图所示折叠，使B，O两点重合，折痕为EF. (1)求证:△OEF为等腰三角形; (2)求折痕 EF的长. 类型3 利用矩形的性质巧求面积 方法指引 根据折叠后对应边相等，利用勾股定理求出相应的边长，进而由相关图形的面积公式即可求解. 7.如图Z-5-7,把矩形ABCD沿EF 翻折,点 B恰好落在 AD 边的点 B'处,若 AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 ( ) A.12 B.24 D.16 8. 如图Z-5-8，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点 A,C重合,折痕为 FG.若AB=4,BC=8,则△ABF 的面积为 . 9.如图Z-5-9,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿对角线AC折叠，点D 落在点D'处，求重叠部分△AFC的面积. 类型4 利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系 方法指引 由翻折得出边角之间的关系，再结合矩形的性质得出结论. 10.如图Z-5-10,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点 E 处,BE交AD 于点F,连接AE.证明: (1)BF=DF; (2)AE∥BD; (3)若AB=6,BC=8,求 AF 的长,并求△FBD的周长和面积. 类型5 利用矩形的性质巧求折叠中线段的比 11.如图Z-5-11,将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠,使点 C落在点 A 处,点 D 落在点 E处,直线 MN交BC 于点M,交 AD 于点 N. (1)求证:CM=CN; (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,求 的值. 专项突破训练五 矩形中的折叠问题 1.65° 2.10° 3.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC-90°. 根据折叠的性质，可得 (∠ABD|∠DBC)=45°,即∠EBF=45'. 4.1) 5.6 6.(1)证明:∵AB∥(°).∴∠BEF=∠OFE. 由折叠的性质可得∠BEF--∠OEF.∴∠OEF=∠OFE. ∴OE=OF.∴△OEF是等腰三角形. (2)解:由折叠的性质可得 BE=OE.设BE=OE=. r,则AE=8-. r。 在Rt△AEO中. AE+OA'=OE'. 解得. r=5. ∴OF=OE=5. AE=3. ∴E(3.1). F(5.0). 7. D 8.6 9.解:设AF=x,则BF=8-x.依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有∠D'-∠B-90°.∠AFD'-∠CFB. AD'-BC. ∴△ADF≌△CBF.∴CF=AF=x.在 Rt△BCF 中,有 B(°+BF=FC',即 解得x=5. 10.(1)证明:∵四边形 ABCD是矩形,∴AD∥BC∴∠DBC°=∠FDB.根据翻折RI∠FBD=∠DBC'.∴∠FBD=∠FDB. ∴BF-DF. (2)证明：由矩形的性质及折叠的性质.得AD=BC=BE.∵BF-DF.∴AD-DF=BE--BF.即AF=EF.∴∠AEF=∠EAF.又∵∠AEF+∠EAF=∠ADB+∠FBD.∴∠AEF=∠FBD.∴AE∥BD. (3)解:设AF=. r.则DF=BF=8-x.在Rt△ABF中,AF÷AB=BF.即(6'+x-(8-x)'.解得 在 Rt△BDC中.根据勾股定理得 BD=10. ∴△FBD的周长为 的面积为 11.(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MY对称,∴∠ANM=∠CNM.∵四边 形 ABCD 是 矩 形, ∴ AD ∥BC.∴∠ANM=∠CMN. ∴∠CMN=∠CNM. ∴CM=C'N. (2)解:过点 N作NH⊥BC于点H,可得四边形 NHCD 是矩形.∴HC=DN. NH=DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3DN=3HC.∴MH=2HC.设DN=x,则HC=x,MH=2. r.∴CM=3x=CN.在Rt△CDN中.1 在 Rt△MNII 中. 学科网（北京）股份有限公司 $$