大题预测05（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

大题预测05（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在三棱锥中，平面，． (1)在线段上找一点，使平面平面，求的长； (2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16． （15分）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 17． （15分）已知四边形中，与相似，且． (1)求； (2)求的面积． 18． （17分）在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． (1)求玩家在游戏中获得10分的概率． (2)设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． (3)根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率． 19．（17分）定义：对于一个多项式，如果存在正整数，使得可以表示为，其中，则称为“阶整数分解多项式”． (1)判断多项式是否为整数分解多项式？并说明理由； (2)若，且互不相同，求的值； (3)若为5阶整数分解多项式，为的互不相等的整数根，试用的根来表示的整数根． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 16（15分）已知函数，其导函数为，曲线与曲线交于两点，其中点的横坐标为1． (1)求点的纵坐标； (2)证明：点的横坐标大于1； (3)设，证明：． 17（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，． (1)证明：； (2)若平面平面，求点到平面的距离． 18（17分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点． (1)当直线不垂直于轴时，证明：直线轴； (2)若，求； (3)若，求． 19． （17分） 数列各项均为正整数，，从中任取个不同的数.若不同取法对应的个数之和不同，则称数列是覆盖数列． (1)若，求所有的，使数列是覆盖数列； (2)若，证明：数列是覆盖数列； (3)若当时，成等差数列，当时， 成等差数列，证明：且，数列是覆盖数列． 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，. (1)求证：平面PBD； (2)若，求平面PAB与平面PBD所成锐二面角的余弦值. 16． （15分） 已知，，且函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)设，若函数与在上有相同的最大值，求a的取值范围. 17． （15分） 某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ (2)复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 18． （17分） 在平面直角坐标系中，点到定点的距离与点到直线：的距离之比为2，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的最大值． 19．（17分） 设定义域为的函数，对于，定义. (1)若，求； (2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$金学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 大题预测05(A组+B组+C组) 【A组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB=BC=2,AC=2√5，PC=3,AE=2EP. B (I)在线段AC上找一点F,使平面BEF⊥平面PAC,求AF的长： (2)若D为PC的中点，求DE与平面PAB所成角的正弦值， 【答案】)F=5(235 8 【详解】(1)取AC中点为F,连接BF,因为AB=BC=2,所以BF⊥AC, 又PC⊥平面ABC,BFC平面ABC，PC⊥BF，3 因为ACc平面PAC,PCc平面PAC,AC∩PC=C, 所以BF⊥平面PAC,因为BFC平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAC, 此时4F-号4C-5: ,6 (2)取AC中点为O,连接OB,在平面PAC内过点O作PC的平行线为z轴，以O为坐标原点，OA,OB所 在直线分别为不，y轴建立如图所示的空间直角坐标系， F(O B 1/21 金学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 则A6.0,0.80L0,P-5.0,3D-5,03,E5 ,02 所以=5L0=(2503E=(25a3 8 设平面PAB的一个法向量为n=(:y,z): AB=-√3x+y=0 则 令x=√5，则y=3,=2, 4P=-2V5x+3z=0 所以平面PAB的一个法向量为n=(5,3,2), 6 DE. 0+1 所以DE与平面PAB所成角的正弦值sin0=cos DE,= 3v57 DE·园 3+9+4× 12,1 38 9 4 16.(15分) 已知双曲线C号片a>0b>0的左、右焦点分别为小、乃，腐心幸为5，C上一点与个、月的阳 离的差的绝对值等于4. (I)求双曲线C的方程； (2)过点F作斜率为k的直线/与C交于A、B两点，当4AFB为锐角时，求k的取值范围. 【1o号-云-1o兽号a网 2a=4 [a-2 【详解】(1)依题意e=9=5,解得c=25, a c=√a2+b b=2v2 所以双曲线的方程为父-上 =1 48 4 (2)由(1)知E-25,0、F(25,0, 依题意直线1的斜率k≠0，则直线1的方程为y=kx-2√5(k≠0)， y=k(x-2V3) 由 x2 y2 ,消去y整理得(2-k)x2+43k2x-12k2-8=0, 6 =1 48 设Ax,月)，Bx2,2, 2/21 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 当2-2≠0，即k≠±√2，由△=48k*+412k2+8)(2-k）=64(k2+1>0, 则：+与= 2-P15=122-8 4V3k2 2-k2 47 所以yy2=k2x-25x2-25)=k2[xx-25x+x)+12] 2-+12 2-k2 9 因为4AFB为锐角，所以FB·FA>0, 即FB-FA=:+2x+25)+yy=x2+25(x+x)+12+y -122.8-2N5×45 2-k2 2-0+12+166 12 2-k2 0,第特<兮，2 则-5<k<2或k>互或k<-反， …14 又6，所以值怎。同9小0号a+ ）5 B 17.(15分) 已知四边形ABCD中，ABC与△BCD相似，且∠BAC=∠DBC,AB=4,CD=1,AC=3√2. (1)求BD: (2)求△ABD的面积. 【昏103o2 16 【详解】(1)因为ABC与△BCD相似，且∠BAC=∠DBC,AB=4,CD=1,AC=3V2, 当∠ABC=∠BCD,∠BCA=∠CDB时， 器品是.单华8点得02,09 1 BD BC 3/21 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 当LABC=LCDB,∠BCA=LBCD时，A、C、D共线，不符合题意： 综上可得BC=2,BD=3 2 6 (2)在ABC中，由余弦定患os∠ABC-4B+BC2-AC_4+2-B_ 2AB·BC 2×2×4 8 所以sin∠ABC=-cos'∠ABc_3V 8 32) +22-1日 在△D8C中，由余弦定理cos∠DBC=BD+BC-CD 2 5v2 2BD·BC 2x2x3 8 所以sin∠DBC=-cos'ZD8C=4 所以sin∠ABD=sin(∠ABC-∠DBC)=sin∠4BCcos∠DBC-cos∠4BCsin∠DBC 3万5211474 888832 所以5o=x4 32,714_2万 2 2x3216 15 18.(17分) 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子.箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个 红球和3个白球.游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从 箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家 4/21 金学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球， 查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分. (1)求玩家在游戏中获得10分的概率. (2)设玩家在游戏中获得的分数为X,求X的分布列和数学期望E(X). (3)根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱 子B的概率均为，)，然后从选中的箱子中随机摸出2个球.求这2个球都是红球的概率. 133113 【答案】0256 525 【详解】(1)得10分的情况有： 从A中摸出2个红球的概率乃=S=3 C101 有4个红球和3个白球，从B中摸出一个红球的概率为号，一 从A中模出2个白球的新幸R一号-。此时B中有2个红球和5个白袋。从8中摸出一个红球的概幸为 所以玩家在第轮新成中失得1和分的据半为品号品号 (2)X的所有可能取值为3,5,810， 当从A中摸出1红1白，再从A中摸出白球的概率为 P叫x=3到=CxCx2.6 C*525 7 当从A中摸出2红或2白，再从B中摸出白球的概率为 PX=列=0号+0行 33.151 8 当从A中摸出1红1白，再从A中摸出白球的概率为 P(X-8)-CxCix3-9 C525’ 9 由)知P(x=10)= 5 11 所以EX=3x+5 *+8x+10 133 25 25 55 12 (3)由(2)知，共有三种情况： 5/21 金学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 从A中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球， 当从A中摸出2个红球时，B中有4个红球和3个白球，A中有1个红球和2个白球，13 当从A中摸出2个自球时，B中有2个红球和5个白球，A中有3个红球， 14 当从A中摸出1个红球1个白球时，B中有2个红球和3个白球，A中有3个红球和2个白球，15 所以取出两个球都是红球的概率为： 4417 19.(17分) 定义：对于一个多项式P(x,如果存在正整数k,使得P(x)可以表示为P(x=(x-a)(x-a)(x-a), 其中a,a2,…,a∈Z,则称Px为“k阶整数分解多项式”. (I)判断多项式P(x)=x+6x2+1lx+6是否为整数分解多项式？并说明理由： 2喏P心=x-ax-ax-ax-a,且a,a,4,不相同，求∑p的@ (3)若P(x为5阶整数分解多项式，0，a,a2,a,a4为P(x=0的互不相等的整数根，试用P(x的根来表示 P(Px)=0的整数根， 【答案】(1)是，理由见解析；(20；(3)PP(x)=0的根为0，a,a2,a3,a4 【详解】(1)因为P(x)=x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3), 所以多项式P(x)=X3+6.x2+11x+6是3整数分解多项式。44…4 (2)P'(a=Π(a-a, P(a)(a-a:)(a-a)(a-a)"(a.-aN(a;-a)a;-a)* (as-a)(a3-a:)(a3-a.)(a-a)(a.-a:](a.-a3) (a-a)a+a2-a3-a4 (a4-a(a3+a-a-a2) (4-4)(a-0lla.-0.)la-@.la-0.][a-aY(a-a)la-g,)o.-o)o,-0J-0 下面对通分后的分子为0进行简单计算说明， (a2-a(a+a2-as-a(a-a)+(a-a2)(a-a)(a,+a-a-a2) =a2-a1）a1+a1-a3-a4j(ay-a4）-a1-a1ja1+a2-a3-a4j(a1-a,）=0m…-10 (3)由题意P(x)=xx-ax-aJ(x-a)x-a4), 6/21 金学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 于是P(P(x)=P(x)川P(x)-a,)(P(x)-ap(x)-a(P(x)-a, 因为P(Px)=0,所以P(x)=0或P(x)=a,0=1,2,3,4) 从而0，a,a2,a,a4仍为PPx)》=0的根， .12 下面证明对ie{1,2,3,4},P(x)=a,无整数根， 若不然，不妨设i=4,P(x)=a,有整数根B, 则a4=Bp-a)B-aB-a,川B-aa), Bi(B-a)(B-a2)(B-as) 求出a1+BB-a(B-aB-a 因为B与1互质，所以k∈Z,B与1+kB互质 取k=(B-a(B-a2川B-a, 则B与1+f(B-a川B-a2(B-a）互质. 14 再取k=B(B-a)(B-a:(B-a,,即有B与1+k互质 对于任意绝对值大于1的整数k,有k与k+1互质，所以k与1+k互质. 即B'(B-a1川B-a(B-a与1+B(B-a)(B-a川B-a互质， 所以1+B(B-a川B-a2B-a=1. 由于B≠0，B≠a,i=1,2,3, 则1+B(p-a,川p-a(B-a=-1, 即B(B-aB-a2(B-a=-2, 所以PP(x)》=0的根为0，a,a,a,a4 【B组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记ABC的内角4，B,C所对的边分别为a,,c,已知asinB=bcos (I)求A: (2)若ABC的周长为20，a+b=3c,求ABC的面积. 7/21 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 【答案】(5(2105 A 【详解】（D因为asinB=bcos2,由正弦定理可得2Rsin4simB=2 RsinBo2 因为0<B<x,所以sinB≠0，可得sinA=cos号.即2 sincos号=c0s A A 2 2 2 2 因为0<4，所以o0,得到2加子-1，即血 A1 .4 22 所以子则4号 3 (2)因为a+b+c=20,又a+b=3c, 所以c=5,a+b=3x5=15 由余弦定理得a2=b2+25-5bc, .9 又因为a=15-b,c=5, 故(05-b)2=b2+25-5h,解得b=84 10 则a=15-8=7,所以bc=8×5=40 所以5c 0*40x3 2×40 sin-1x40 =10V5 32 2 .13 16(15分) 已知函数f(x)=xnar-ar+l(a>O),其导函数为f(x),曲线y=f(x)与曲线y=f(x)交于A,B两点，其中 A点的横坐标为1. (I)求B点的纵坐标： (2)证明：B点的横坐标大于1 (3)设CI,1),证明：|BCAC. 【答案】(1)1：(2)证明见解析：(3)证明见解析 【详解】(1)函数f(x)=xnar-ax+1的定义域为(0，+oo),求导得f'(x)=lnar-a+1, 由xnar-ar+l=lnar-a+1,得(c-l血ar-a)=0,解得x=1或x=e, …2 由A点的横坐标为1，得点B的横坐标为二，所以B点的缴坐标为f白)=15 0 (2)由(1)令ga=g,a>0.ga)=ea-D 当0<a<1时，g'(a)<0;当a>1时，g(a>0, 7 函数g(d在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增，则g(a)2g(1)=e>1, 8/21 金学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 所以B点的横坐标大于1 9 (3)由(1)知，4，na-a+1),Bg,),令a)=lna-a+1,求导得h(a=1-1, 10 当0<a<1时，(a)>0;当a>1时，h(a)<0,函数(a)在(0，)上递增，在(L,+o)上递减， 11 h(a)h=0,I4Ca-Ina.lBC-1. 4…412 a 令函数pa)=g-a+lna-1, a 求导得o'a=e(a-》-1+1=a--), aaa 当0<a<1时，9'a<0:当a>1时，0'a>0, 。c 函数p(a)在(0,1D上递减，在(L,+o)上递增，p(a)≥p0)=e-2>0, 所以|BC ACI. 15 17(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60,PA⊥AC,PD⊥CD. B (I)证明：AD⊥PC; (2)若平面PAC⊥平面PCD,AD=2,求点C到平面PAB的距离. 【答案】1)证明见解析2)2y6 【详解】(1)由题意可知，AD=DC,且∠ABC=∠ADC=60, 所以△ADC是等边三角形，所以AC=CD,且∠PAC=∠PDC=90°，PC=PC, 所以△PAC兰△PDC,所以PA=PD, 3 取AD的中点M,连结CM,PM, 则AD⊥CM,AD⊥PM,且CM∩PM=M,CM,PMc平面PCM, 所以AD⊥平面PCM,PCc平面PCM, 所以AD1PC: 6 9/21 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 D (2)作DN⊥PC,点N为垂足，连结AN,则AN⊥PC 因为平面PAC⊥平面PDC,平面PACn平面PDC=PC,ANc平面PAC, 所以AN⊥平面PDC,DNc平面PDC,则AN⊥DN,且AN=DN, 且AD=2,所以AN=ND=√2， 8 设PA=x,则aPAC中，根据等面积公式可知，2x=√2+4×√互， 解得：x=2,则PC=2√互，9 又因为PC⊥AD,且ADIBC,所以PC⊥BC,所以PB=VPC2+BC2=2N5, 2+22-(25 cos∠PAB= 1,所以∠PAB=120， 11 2×2×2 所以aPAB的面积为x2x2x5=5, 2 三棱锥P-ACD中，设点P到底面ACD的距离为h, a4CD的面积为片×2x2×5.5,6P4C的面积为}×2×2=2，且DN1平面P4C, 2 因为-4en=Pc,即x5h=X2x反，得A=26 3 13 三棱锥P-ABC中，设点C到平面PAB的距离为h',V-ABc='c-PMB, 号52-x5x.得.26 3 B 所以点C到平面PAB的距离为26 18(17分) 10/21