专题01 向量的概念和线性运算重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题01 向量的概念和线性运算重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 零向量与单位向量 题型三 向量加法的法则 题型四 向量减法的法则 题型五 向量加法的运算律 题型六 向量减法的运算律 题型七 平行向量（共线向量） 题型八 相等向量 题型九 向量的模 题型十 相反向量 题型十一 向量数乘的有关计算 题型十二 平面向量的混合运算 题型十三 向量加法法则的几何应用 题型十四 向量减法法则的几何应用 题型十五 向量的线性运算的几何应用 知识点01 向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点03 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点04 向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点05 向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 知识点06 向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 知识点07 向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【经典例题二 零向量与单位向量】 【例2】（2024·上海闵行·一模）直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（    ） A．或 B． C． D．或 1．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知向量，则 （1）与同向的单位向量的坐标表示为 ； （2）向量与向量夹角的余弦值为 ． 3．（23-24高一·上海静安·课后作业）（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 【经典例题三 向量加法的法则】 【例3】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，满足，，，则（    ） A． B． C．65 D．25 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，，. 【经典例题四 向量减法的法则】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，在空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，若，则 ， ， ．    3．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【经典例题五 向量加法的运算律】 【例5】（23-24高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，F为线段的中点，设向量，，则 A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面四边形中，，，则 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图       （2）求下列未知向量； （3）化简下列式子 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例6】（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）记，设，为平面内的非零向量，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，、、、是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 3．（23-24高一下·全国·课后作业）在中，，， 所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时， 有最大值． 【经典例题七 平行向量（共线向量）】 【例7】（2024·上海崇明·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【经典例题八 相等向量】 【例8】（23-24高一下·上海宝山·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 3．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【经典例题九 向量的模】 【例9】（23-24高一下·上海宝山·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 1．（2024高一·全国·专题练习）已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【经典例题十 相反向量】 【例10】 （23-24高一·全国·单元测试）如图所示，是圆上的三点，且三等分圆周,若，则 (　　) A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小称为向量的 （或长度），记作 ． （2）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量． （3）单位向量：模等于 的向量称为单位向量． （4）平行向量（共线向量）：如果两个非零向量的方向 ，则称这两个向量平行，通常规定零向量与任意向量 ． （5）相等向量：大小 、方向 的向量． （6）相反向量：大小 、方向 的向量． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【经典例题十一 向量数乘的有关计算】 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3) 【经典例题十二 平面向量的混合运算】 【例12】（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 3．（2024高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【经典例题十三 向量加法法则的几何应用】 【例13】（24-25高一下·上海静安·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为 .    3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【经典例题十四 向量减法法则的几何应用】 【例14】（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 3．（23-24高一·全国·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【经典例题十五 向量的线性运算的几何应用】 【例15】（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 2．（2024·上海奉贤·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 2．（2025·上海宝山·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 7．（2025高一·上海闵行·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 9．（23-24高一下·上海虹口·期末）在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．    10．（23-24高一下·全国·期末）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 12．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 13．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，在中，，，点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，试用，表示.    14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 15．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 向量的概念和线性运算重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 零向量与单位向量 题型三 向量加法的法则 题型四 向量减法的法则 题型五 向量加法的运算律 题型六 向量减法的运算律 题型七 平行向量（共线向量） 题型八 相等向量 题型九 向量的模 题型十 相反向量 题型十一 向量数乘的有关计算 题型十二 平面向量的混合运算 题型十三 向量加法法则的几何应用 题型十四 向量减法法则的几何应用 题型十五 向量的线性运算的几何应用 知识点01 向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点02 向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 知识点03 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 知识点04 向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 知识点05 向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 知识点06 向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 知识点07 向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（23-24高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④. 【详解】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤ 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想. 【经典例题二 零向量与单位向量】 【例2】（2024·上海闵行·一模）直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义求，由条件结合向量垂直的坐标表示求. 【详解】因为为直线上的单位向量， 所以， 所以或， 因为，为直线上两点，， 所以，故， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故选：D. 1．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知向量，则 （1）与同向的单位向量的坐标表示为 ； （2）向量与向量夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】（1）先求出，进而可得其单位向量； （2）先求出向量，再根据夹角公式计算即可. 【详解】解：（1）由题知，所以， 所以与同向的单位向量的坐标表示为； （2）由题知， 所以向量与向量夹角的余弦值为. 故答案为：； 3．（23-24高一·上海静安·课后作业）（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据正多边形的性质，将正边形绕中心顺时针旋转，易知中心与各顶点的连线必重合，即它们所代表的向量之和不变，即可确定结果. 【详解】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图： 向量在旋转后对应位置为， 所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. （2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转， 同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. 【经典例题三 向量加法的法则】 【例3】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，满足，，，则（    ） A． B． C．65 D．25 【答案】D 【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可. 【详解】如图所示， 因为在中，满足，，， 所以，即， 所以. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 2．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由平面向量的线性运算和数量积运算可得，结合的取值范围，计算即可． 【详解】如图，为圆心，连接，    则 ． 因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以， 则，即的取值范围是， 故答案为：． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，，. 【答案】，， 【分析】应用向量的线性运算数形结合，用已知向量表示得出 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. . 【经典例题四 向量减法的法则】 【例4】（24-25高一下·全国·课后作业）设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意可知，以，，为边长的三角形为直角三角形，两直角边长设为m，n，则，再根据基本不等式计算最值即可. 【详解】根据平行四边形法则可知，是平行四边形的对角线长， 依题意，，则平行四边形为矩形， 所以以，，为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为， 两直角边长设为m，n，则， 则三角形面积，当且仅当时等号成立， 则以，，为边长的三角形面积最大值为1． 故选：A. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．梯形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据向量减法的三角形法则计算，得到四边形一定是平行四边形．再得，判定即可. 【详解】如图所示，由向量减法的三角形法则， 得，得，， 所以四边形一定是平行四边形． 又，得， 所以平行四边形一定是矩形． 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图，在空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，若，则 ， ， ．    【答案】 /0.5 /0.5 【分析】由向量加减法法则，利用表示，从而得到的值. 【详解】 ， 故，，， 故答案为：；；. 3．（24-25高一下·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    【经典例题五 向量加法的运算律】 【例5】（23-24高一·全国·课后作业）若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 若与共线，由则中有一个必为零向量， 与不共线，即， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，F为线段的中点，设向量，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，垂足为G，利用平面向量的线性运算用表示出，由此确定正确选项. 【详解】作，垂足为G，如下图所示，则，又，，所以.故选C. 【点睛】本题考查平面向量的线性表示，考查化归与转化的数学思想，属于基础题. 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面四边形中，，，则 【答案】 【分析】分别用和表示和，然后根据数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意得，， ， 因为，， 从而. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图       （2）求下列未知向量； （3）化简下列式子 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【分析】（1）根据正弦函数的五点法完成表格并画出图象即可： （2）根据向量运算律计算可得答案； （3）根据向量运算律化简可得答案. 【详解】（1）画图象：已知函数.请用“五点法”列表，并在下图中作出函数在上的简图 0 1 0 0 1 1 3 1 （2）由得，所以； （3）. 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例6】（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）记，设，为平面内的非零向量，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题. 【详解】若，则，故A错误； 根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立， 又， 所以它们的较大者一定大于等于，故B正确，D错误； 若， 则，故C错误． 故选：B. 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，、、、是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法减法运算法则，即可求解. 【详解】 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法及几何意义，属于中档题. 2．（23-24高一·全国·课后作业）在三角形ABC中，若，且，则 【答案】1 【分析】根据，即可得出，从而可求出x，y，进而得出 【详解】 ， 又，， 故答案为：1． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）在中，，， 所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时， 有最大值． 【答案】与共线且同向 【解析】由向量的线性运算及向量的数量积运算可得，再结合求解即可. 【详解】解：∵，， ∴ ． 当与同向时，取得最大值，最大值为， 即当与共线且同向时，有最大值． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了向量的线性运算，属中档题. 【经典例题七 平行向量（共线向量）】 【例7】（2024·上海崇明·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】，，，，，，， 【分析】根据图形，结合平行向量和向量模的定义直接得出结果. 【详解】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，，共8个． 【经典例题八 相等向量】 【例8】（23-24高一下·上海宝山·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 1．（2024高一·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项. 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 3．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    【经典例题九 向量的模】 【例9】（23-24高一下·上海宝山·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】由题知，进而得，，再根据菱形的定义即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 1．（2024高一·全国·专题练习）已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值. 【详解】由条件得， 和的取值只有三种可能，分别为､､， 但二者不可能同时一个取，另一个取， ∴的化简结果只有四种形式：､､､， 而，故所有可能取值只有或两种结果， ∴的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值. 2．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解. 【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．    根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值， 即 （点、分别是点、在直线上的射影点）； 同时根据的存在性，问题转化为求的最大值． 设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、， 则， 当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立． 所以，即所求实数的最大值是． 故答案为： 【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 【经典例题十 相反向量】 【例10】 （23-24高一·全国·单元测试）如图所示，是圆上的三点，且三等分圆周,若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的运算法则求解， 【详解】由题意得，且三个向量两两夹角为， 由平面向量的运算法则可得，即， 故， 故选：A 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）设单位向量，，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果. 【详解】因为，，为单位向量， 所以，当且仅当、、方向都相同时，等号成立， 作，，， 当时，如下图所示： 以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且， 所以，为等边三角形，且， 又因为，，由图可知，， 即， 综上所述，. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）向量的有关概念 （1）向量：既有 又有 的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小称为向量的 （或长度），记作 ． （2）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量． （3）单位向量：模等于 的向量称为单位向量． （4）平行向量（共线向量）：如果两个非零向量的方向 ，则称这两个向量平行，通常规定零向量与任意向量 ． （5）相等向量：大小 、方向 的向量． （6）相反向量：大小 、方向 的向量． 【答案】 大小 方向 模 1 相同或者相反 平行 相等 相同 相等 相反 【分析】根据向量的有关概念，定理，即可填写. 【详解】（1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小称为向量的模（或长度），记作． （2）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量． （3）单位向量：模等于1的向量称为单位向量． （4）平行向量（共线向量）：如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，通常规定零向量与任意向量平行． （5）相等向量：大小相等、方向相同的向量． （6）相反向量：大小相等、方向相反的向量． 故答案为：大小；方向；模；；1；相同或者相反；平行；相等；相同；相等；相反 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 【经典例题十一 向量数乘的有关计算】 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到，再由向量共线的判定逐个判断即可； 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 1．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由，故，故， 则，故B正确； 对C：由，故， 故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则 ， ． 【答案】 2 2 【分析】先化简为，再利用向量的减法法则化简即得解. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴． 故答案为：2，2. 3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【经典例题十二 平面向量的混合运算】 【例12】（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解. 【详解】，所以，， 所以. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解. 【详解】根据向量运算公式可知， . 故选：B. 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】．/ 【分析】取的中点为，转化为的最值，由圆的几何性质可得解. 【详解】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 3．（2024高一·全国·竞赛）如图，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点．若，，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. 【详解】设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． 【经典例题十三 向量加法法则的几何应用】 【例13】（24-25高一下·上海静安·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为 .    【答案】[1，] 【详解】如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    3．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形及向量相加的三角形法则，可知，后可得答案； （2）如图，做，连接CF，BD.后由图形及向量相减的三角形法则可得答案. 【详解】（1）由已知得， ∵，∴延长AC到E，使，如图所示， 则，且．∴． （2）做，连接CF，BD，则， 而， ∴且． ∴． 【经典例题十四 向量减法法则的几何应用】 【例14】（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法法则，结合向量的模及三角形三边的关系逐一分析判断即可. 【详解】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法、减法法则可判断各选项. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 2．（2024·上海金山·二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题用向量减法的模的几何意义解决. 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·假期作业）如图，O为内一点，，，.求作： (1)+-； (2)--. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. 【详解】（1）设是的中点，连接并延长，使. +-. （2）--=-（+）. 【经典例题十五 向量的线性运算的几何应用】 【例15】（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解. 【详解】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为. 故选：A 1．（24-25高一下·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ） ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. 2．（2024·上海奉贤·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案. 【详解】， 取的中点，连接， 因为，故， 又，所以，故，且， 所以的最大值为，此时点与点重合. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【详解】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 2．（2025·上海宝山·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”； 综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 4．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 5．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 6．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知三点共线，O为直线外一点，存在三个不全为零的实数，使，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】由共线向量的线性运算即可求解； 【详解】因为三点共线， 则, 所以, 所以， 对比系数，所以， 故答案为：0 7．（2025高一·上海闵行·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 8．（2025高一·全国·专题练习）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 9．（23-24高一下·上海虹口·期末）在中，是边上一点，且，点为的延长线上一点，写出使得成立的，的一组数据为 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的线性运算表示出，再结合向量的共线即可求得答案. 【详解】由题意知，而， 故, 则， 又点为的延长线上一点，故, 可取，则， 故使得成立的，的一组数据为， 故答案为：（答案不唯一）. 10．（23-24高一下·全国·期末）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 11．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 12．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，进而可求解. 【详解】（1）证明：，，， 则， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线； （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数， 使，且， 又，不共线，所以，解得或， 因为，所以， 所以． 13．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，在中，，，点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，试用，表示.    【答案】 【分析】结合图形根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点O是AC与BD的交点，点G是DO的中点，所以， 所以，所以. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，所以，． ． （2）与共线的向量有，，，，，，． 15．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花! (1)如图1，在中，，点是上一点，且满足：，以点为圆心，的长为半径作圆交于点，交于点.若，求的值. (2)如图2，在中，点分所成的比为，点为线段上一动点，若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设，根据直角三角形和圆的性质可由求出的值，再分析得点为中点，从而求解. （2）根据平面向量线性运算法则得到， 再由点分所成的比为，得到，即可得到，设，则，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）设，则，， 又， 所以， 又， 所以， 所以， 所以． （2）因为 ， 又点分所成的比为，即，所以， 则， 设，则， 当或时， 当时 ，当且仅当，即时取等号． 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$