专题02 向量的数量积重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题02 向量的数量积重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 题型二 求投影向量 题型三 数量积的运算律 题型四 用定义求向量的数量积 题型五 已知数量积求模 题型六 向量夹角的计算 题型七 已知模求数量积 题型八 已知模求参数 题型九 垂直关系的向量表示 题型十 平面向量数量积的几何意义 知识点01 向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【经典例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（2024·上海嘉定·模拟预测）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得. 【详解】在直角梯形中，且，过作于， 则，故，从而. 因此， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 1．（2024·上海虹口·三模）设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p和命题q都是真命题 D．命题p和命题q都是假命题 【答案】B 【分析】由向量的最小值为1，分析可得，然后判断命题真假即可. 【详解】因为， 所以当时，取得最小值. 所以， 化简得 所以若确定，则唯一确定，若确定，则不唯一. 所以命题p为假命题，命题q为真命题. 故选：B. 2．（2024高一下·上海金山·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【分析】根据网格图得到，然后求数量积即可. 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且米，．记． (1)当时，求； (2)请写出病房区OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用正弦定理求出，再利用数量积的定义求解作答. （2）利用正弦定理用表示出，再利用三角形面积公式、结合三角恒等变换求解作答. 【详解】（1）四边形是平行四边形， 在中，，， ， 由正弦定理得：，即， 于是，， 所以. （2）四边形是平行四边形， 在中，，， 由正弦定理得：，即， 因此， 从而 ，， 显然，因此当，即时，，取得最大值， 所以，当时，取得最大值. 【经典例题二 求投影向量】 【例2】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量关系得出向量夹角，再结合向量的投影向量公式计算即得. 【详解】因为，所以O是的中点，所以,可得 所以，所以. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】设与的夹角为，由向量数量积的定义可得当在方向上的投影最小时即可求解. 【详解】设与的夹角为，所以， 因为表示在方向上的投影， 当点与点重合时，最小， 此时，， 所以的最小值是. 故选：. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】由投影向量公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，整理得， 又，所以，即， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由化简解得，再结合用正弦定理可得，进而求在上的投影向量即可； （2）先用三角形面积公式求，再利用求得，又为中线，所以由求得，从而计算的值. 【详解】（1） ，解得，又，故. 因为在中，，而，即， 所以投影向量为. （2）， 由可得 ， ， 所以. 【经典例题三 数量积的运算律】 【例3】（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得. 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若 均为单位向量，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可. 【详解】因为 均为单位向量，且， 因为，所以， 所以， 则. 则的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则 . 【答案】1 【分析】根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为为中点，，是的三等分点，则， 所以，则，即， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知不共线的向量满足. (1)若，求； (2)若，求向量夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可； （2）利用向量数量积的运算律及垂直的向量表示，向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 因为， 所以，整理得， 所以，即， 设与的夹角为，则. 【经典例题四 用定义求向量的数量积】 【例4】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】A 【分析】由平面向量数量积的定义计算可得结果. 【详解】作，垂足为，如下图所示： 则为的中点， 故 . 故选：A 1．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的几何意义，即投影向量的意义计算即得. 【详解】 如图过点作直线，交于点， 因，又， 则，而即在直线上投影的数量， 要使取最大值，则需使在直线上投影的数量最大， 由图知，当点与点或重合时投影向量的数量最大. 因，由对称性知，， 在中，，因，解得， 则，故的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 【答案】 【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可. 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． (1)求的取值范围； (2)当为的中点时，用表示； (3)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则可得，结合余弦函数性质求解即可. （2）由图可得，再根据投影向量确定，再代入角度求解即可. （3）结合题意将用三角函数表示，再利用正弦函数的性质求最大值即可. 【详解】（1）如图，设，连接， 而， 因为，故， 所以的取值范围为． （2）因为为的中点，所以， 由平面向量加法法则得， 则在方向上的投影向量为， 在方向上的投影向量为， 得到， 故， 将代入，得． （3）因为，， 所以， 又由（2）知， 故，则， 因为，所以当且仅当时，取得最大值1， 故的最大值为． 【经典例题五 已知数量积求模】 【例5】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件对进行变形，再结合向量模的计算公式以及不等式求出的最小值. 【详解】由可得. 根据向量数量积的性质，则有， 已知，所以，两边同时平方可得. 根据向量模的平方等于向量自身平方，， 已知，，则，， 所以. 那么，展开得， 移项化简可得，即. 由于，展开. 因为，所以当时，取得最小值. 则的最小值为. 故选：B. 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得向量的模长，根据数量积的运算律，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由，，则，， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 由图易知，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，，，，点，在边上且，. (1)若，用，表示，并求线段的长； (2)若，，求的值. 【答案】(1), (2) 【分析】(1)由向量的线性运算得到，再由向量的模的运算求解； (2) 因为，所以，，再分别计算数量积与向量的模，再由求解． 【详解】（1）依题意，， 则， 故， 由， 则 ， 故线段的长为：． （2）因为， 所以，， 则 ， ， ， 故． 【经典例题六 向量夹角的计算】 【例6】（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的模可求得，可求的取值范围. 【详解】因为与均为单位向量，其夹角为， 由，可得，所以， 所以，所以， 由，，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以的取值范围是. 故选：D. 1．（24-25高一下·上海崇明·期末）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果. 【详解】在正方体中，因为，且， 所以， 所以， 故选：D. 2．（2025·上海虹口·一模）已知非零向量，满足，且向量，的夹角为，则向量，的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，然后分别求得以及，结合向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又，为非零向量，且向量，的夹角为， 则，即， 又， ， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 【经典例题七 已知模求数量积】 【例7】（2025·上海静安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意可得，，结合平面向量的数量积求. 【详解】由题意：，. 所以. 故选：B 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】/ 【分析】利用投影向量公式和模的运算公式即可求出结果. 【详解】， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    【答案】 【分析】设，，利用求出，再利用计算即得． 【详解】设，，则，， 而， 所以，所以， 又， 所以， 即． 【经典例题八 已知模求参数】 【例8】（23-24高一下·上海长宁·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得， 由配方可得答案. 【详解】当时，取得最小值，因为， 所以此时点为线段的中点， 因为，所以，故， 则， 因为， 故． 故选：B. 1．（2024高一·全国·专题练习）已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题                     其中真命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别转化，，分别求出的范围，结合，即得解 【详解】由 得，又 . 由 得，又 ． 故选：A 2．（2024·上海金山·模拟预测）已知中，，则 ．    【答案】/0.6 【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案. 【详解】由图可得，因，则 ，则， 因，则，，代入上式有： ，.则. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出，再判断即可. 【详解】（1）依题意， ． （2）因为， 所以， 所以． 因为，所以， 所以，即，解得或． 连接交于，因为，所以，所以， 则． 因为在线段上，所以，故．    【经典例题九 垂直关系的向量表示】 【例9】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要卖给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出，进而求出向量夹角. 【详解】由及，得，解得， 又，则，， 所以与的夹角. 故选：C 1．（2024高一·全国·专题练习）设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】理解向量垂直的表示、共线的性质判断A、B、C；应用向量数量积的运算律判断D. 【详解】对于A，，不一定，结论不成立，命题为假； 对于B，当与方向相反时，结论不成立，命题为假； 对于C，当与共线时，结论不成立，命题为假； 对于D，若，则，即，则， 所以，命题为真． 故选：D 2．（23-24高一下·上海崇明·期中）如图，在中，，则 【答案】/ 【分析】将用基底两个表示，后用数量积运算性质,结合垂直的向量结论计算即可 【详解】， 由于则，则. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. (3)若的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，利用平面向量数量积的定义可求出的值，由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可； （2）由重心的性质推导得出，由、、三点共线，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）设，推导出，利用平面向量数量积的运算性质可得出，再结合二次函数的基本性质可求出的最小值为可求得的值，即为所求. 【详解】（1）因为，， 所以由余弦定理得， 即，即，解得， 由平面向量数量积的定义可得， 若与垂直，则， 所以，所以，解得， 即当时，与垂直. （2）因为为的重心，所以， 又因为，，所以， 由于、、三点共线，所以存在实数使得， 所以，化简为， 因为、不共线，所以，，所以，所以. 显然，，则， 当且仅当时，即当时，取最小值. （3）设，取线段的中点，连接，则， 则， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值时，． 【经典例题十 平面向量数量积的几何意义】 【例10】（23-24高一下·上海嘉定·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由图可知对于线段长和夹角的值，由向量的相关计算分别得出对于命题的结果，从而得出结论. 【详解】由题意可知：， ∴，故①不成立； ∵， ∴，故②成立； ∵在上的投影： ∴在上的投影向量为，成立；故③成立； 如图：    当点在线段上时，此时在上的投影最大， 在中，，∴ ∴ ，故④不正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角形外心的性质将转化为即可. 【详解】取的中点，因为为正三角形，故为的中垂线， 则外接圆圆心一定在上，如图所示， ， 故. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且． (1)求cos A的值； (2)若a =，b = 5，求向量在方向上的投影． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换将已知式化简，即可得到的值； （2）先利用余弦定理求出，也即是，再根据投影的定义，即得. 【详解】（1）由 可得， 即， 即； （2）由正弦定理，得 ． 由题意可知，即，所以B =． 由余弦定理，可知 ， 解得或（舍去）． 向量在方向上的投影：． 1．（23-24高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用可得答案. 【详解】分别是方向上的单位向量，设， ， 一定与向量垂直的是， 故选：A. 2．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的计算方法，结合题干条件即可求解. 【详解】设非零向量，的夹角为， 所以在向量方向上的投影向量为， 又，所以， 所以与夹角的余弦值为. 故选：. 3．（2025高一·全国·专题练习）设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法错误的有（    ） A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B．若，（且），则直线AD经过的垂心 C．若，且x，，，则是面积的一半 D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 【答案】D 【分析】A左右两边同时减去向量，运用向量的运算法则即可；B左右两边同时乘以向量，再利用数量积的运算法则以及数量积的定义化简即可；C设，再利用结论可得三点共线，即可画出图形，数形结合；D取，数形结合即可判断. 【详解】对于A，由可得，， 即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确； 对于B，因， 则 ， 即，故直线AD经过的垂心，即B正确； 对于C，因，则， 设，则，因，故三点共线， 如图1所示，， 故的边上的高是的边上的高的一半， 故是面积的一半，即C正确；             对于D，由可得，， 如图2，取，则有， 以为两邻边作平行四边形， 易知平行四边形是菱形，故平分，且， 故得，， 故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误. 故选：D. 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出． 【详解】因为， 所以， 即，解得， 又因为，可知点E为AB的中点， 则， 所以. 故选：D． 5．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解. 【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接， 由题意易得是等腰直角三角形，，则， 不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况， 过作，垂足为，则，又， 所以， 显然，当点与点重合时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：A. 6．（23-24高一下·上海·期中）已知点，则在 方向上的投影为 【答案】 【分析】根据向量在向量上的投影的定义求解. 【详解】因为，， 所以在 方向上的投影为, 故答案为： 7．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）在中，，为边上的中点，，．则(1) （2） ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】, 故答案为：,    8．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图，直线与的边分别相交于点．设．则 ． 【答案】 【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解． 【详解】因为，则， 即， 又因为， ， ， 所以， 即. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    【答案】 【分析】求出线段长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【详解】正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点到其中心的距离，    因此 ， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（2024高一·全国·专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）． ①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； ③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； ⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中． 【答案】①②③④⑤ 【分析】对于①，由题意可得，再由向量加法的平行四边形法则判断即可；对于②，由题意可得，从而可得与的平分线所在向量共线，即可判断；对于③，由题意可得，，过点作，则，从而有向量与边的中线共线，即可判断；对于④，由题意可得，进而可得，即可判断；对于⑤，设，结合④可得，从而有点的轨迹为过的的垂线，即可判断. 【详解】解：对于①，因为动点满足， ， 则点是的重心，故①正确； 对于②，因为动点满足， ， 又在的平分线上， 与的平分线所在向量共线， 所以的内心在满足条件的点集合中，②正确； 对于③，动点满足， ，， 过点作，垂足为，则， ，向量与边的中线共线， 因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确； 对于④，动点满足， ， ， ， 所以的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确； 对于⑤，动点满足， 设， 则， 由④知， ， ， 点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线； 所以的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确． 故正确的命题是①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 11．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量的夹角为，，． (1)求的值； (2)若和垂直，求实数的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）由数量积的定义式计算可得； （2）由数量积的运算律结合数量积的定义和垂直关系的向量表示求解即可. 【详解】（1）. （2）因为和垂直，所以， 即. 12．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）我们可以利用向量知识求一些三角式的值．比如，在平面上有一边长为1的正五边形，边长与数轴l成角，顶点A、B、C、D、E在数轴l上的垂直投影分别．可以通过计算：，的值来计算的值．大家可以通过上述提示，利用向量计算下面代数式的值：． 【答案】 【分析】利用平面向量的加法运算和数量积的几何意义求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为正五边形的边长为1，边长与数轴l成角， 所以向量在l上的投影，同理向量在l上的投影， 在l上的投影， 所以=0， 所以， 可看为正七边形的边长为1，其中一条边与数轴l成角， 所以， 所以 13．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用向量的中线公式，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （2）利用向量的运算得，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （3）根据条件，利用向量的运算得到，利用利用向量数量积的定义及运算，得，，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又与的夹角为，所以， 故. （2）因为①，②， 由①②得，所以， 又与的夹角为，所以， 得到. （3）因为与的夹角为， 又由（2）知①，②， 所以， 得到，所以， 又，， 所以向量与向量夹角的余弦值为.    14．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量坐标运算结合二次函数的性质得到所求最小值； （2）设正三角形的边长为，设，则， 则,，利用向量的投影向量关系在上的投影向量为,在上的投影向量为, 得到、的关系，利用三角函数公式化简，利用三角函数的性质求得正三角形的面积的取值范围. 【详解】（1）以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,    由已知可得点的坐标为，设, 则， ∴， 当且仅当时，取得最小值； （2）设正三角形的边长为， 对于直线l上任意一点A，对于不同的情况如图所示：          设，则，则,， 在上的投影向量为,在上的投影向量为, , ∴，∴， 又∵，∴，∴, 面积的取值范围是. 15．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)① 证明见解析；②证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合数量积的运算律及垂直的向量表示列式求解. （2）①②利用数量积的运算律及数量积的定义推理得证. （3）建立仿射坐标系，利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系， 设，则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 向量的数量积重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 题型二 求投影向量 题型三 数量积的运算律 题型四 用定义求向量的数量积 题型五 已知数量积求模 题型六 向量夹角的计算 题型七 已知模求数量积 题型八 已知模求参数 题型九 垂直关系的向量表示 题型十 平面向量数量积的几何意义 知识点01 向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 【经典例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（2024·上海嘉定·模拟预测）在直角梯形中，且与交于点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海虹口·三模）设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p和命题q都是真命题 D．命题p和命题q都是假命题 2．（2024高一下·上海金山·模拟预测）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 3．（23-24高一下·上海闵行·期中）“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且米，．记． (1)当时，求； (2)请写出病房区OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值． 【经典例题二 求投影向量】 【例2】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的投影向量为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．100 2．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量满足，则在上的投影向量为 ． 3．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 【经典例题三 数量积的运算律】 【例3】（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若 均为单位向量，且，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则 . 3．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）已知不共线的向量满足. (1)若，求； (2)若，求向量夹角的余弦值. 【经典例题四 用定义求向量的数量积】 【例4】（24-25高一下·上海松江·阶段练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（    ） A． B．32 C． D．64 1．（24-25高一下·上海青浦·阶段练习）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，O是线段的中点，P为正八边形内的一点（含边界），则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点． (1)求的取值范围； (2)当为的中点时，用表示； (3)若，求的最大值． 【经典例题五 已知数量积求模】 【例5】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（   ） A．1 B． C． D． 1．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 . 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）在中，，，，点，在边上且，. (1)若，用，表示，并求线段的长； (2)若，，求的值. 【经典例题六 向量夹角的计算】 【例6】（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海崇明·期末）如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（   ） A． B． C．4 D． 2．（2025·上海虹口·一模）已知非零向量，满足，且向量，的夹角为，则向量，的夹角为 . 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【经典例题七 已知模求数量积】 【例7】（2025·上海静安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着三个重物1，2，3，它们所受的重力分别为4N，4N，N，以分别表示重物1，2对点O的拉力，则（    ） A．16 B．8 C． D．4 2．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为 . 3．（23-24高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    【经典例题八 已知模求参数】 【例8】（23-24高一下·上海长宁·期中）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 1．（2024高一·全国·专题练习）已知，均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题                     其中真命题是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海金山·模拟预测）已知中，，则 ．    3．（23-24高一下·上海宝山·期中）如图，在梯形中，，，，，在线段上．    (1)若，用向量，表示，； (2)若AE与BD交于点F，，，，求的值． 【经典例题九 垂直关系的向量表示】 【例9】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一·全国·专题练习）设，为非零向量：，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·上海崇明·期中）如图，在中，，则 3．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）如图，圆的半径为，其中、为圆上两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值. (3)若的最小值为，求的值. 【经典例题十 平面向量数量积的几何意义】 【例10】（23-24高一下·上海嘉定·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则 . 3．（23-24高一下·上海长宁·期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且． (1)求cos A的值； (2)若a =，b = 5，求向量在方向上的投影． 1．（23-24高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法错误的有（    ） A．若，则D是BC边上靠近B的三等分点 B．若，（且），则直线AD经过的垂心 C．若，且x，，，则是面积的一半 D．若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（    ） A． B． C． D．9 5．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海·期中）已知点，则在 方向上的投影为 7．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）在中，，为边上的中点，，．则(1) （2） ． 8．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）如图，直线与的边分别相交于点．设．则 ． 9．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    10．（2024高一·全国·专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）． ①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中； ③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中； ④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中； ⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中． 11．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量的夹角为，，． (1)求的值； (2)若和垂直，求实数的值． 12．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）我们可以利用向量知识求一些三角式的值．比如，在平面上有一边长为1的正五边形，边长与数轴l成角，顶点A、B、C、D、E在数轴l上的垂直投影分别．可以通过计算：，的值来计算的值．大家可以通过上述提示，利用向量计算下面代数式的值：． 13．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）（1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值．    14．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上. (1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值； (2)若为等边三角形，求面积的范围. 15．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$