专题03 向量的坐标表示与应用重难点题型专训（25大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题03 向量的坐标表示与应用重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 利用平面向量基本定理求参数 题型四 用坐标表示平面向量 题型五 平面向量有关概念的坐标表示 题型六 平面向量线性运算的坐标表示 题型七 由向量线性运算结果求参数 题型八 利用坐标求向量的模 题型九 数量积的坐标表示 题型十 向量模的坐标表示 题型十一 坐标计算向量的模 题型十二 向量垂直的坐标表示 题型十三 利用数量积求参数 题型十四 利用向量垂直求参数 题型十五 向量夹角的坐标表示 题型十六 已知向量垂直求参数 题型十七 由坐标判断向量是否共线 题型十八 由向量共线（平行）求参数 题型十九 线段的定比分点 题型二十 三角形的心的向量表示 题型二十一 由坐标解决三点共线问题 题型二十二 根据向量关系判断三角形的心 题型二十三 平面向量基本定理的应用 题型二十四 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型二十五 由向量线性运算解决最值和范围问题 知识点01 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 知识点02 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点03 平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 知识点05 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（23-24高一下·上海松江·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底， 故选：B 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题不正确的是（       ） A．若向量满足，则为平行向量 B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底 C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D．若是等边三角形，则 【答案】C 【分析】由平行向量定义判断A，根据基底的定义判断B，由相等向量的定义判断C，由向量夹角的定义判断D. 【详解】对于A，因为，所以当为零向量时，，是平行向量， 当不是零向量时，，也是平行向量，A正确； 对于B，为一组基底，不共线， 假设共线，则， 所以， 所以，矛盾， 所以不共线， 所以可以作为一组基底，B正确； 对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误； 对于D，为等边三角形，，D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 【答案】-8 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【详解】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）假设，共线，则存在实数，使得，推出，共线，与，是不共线的非零向量矛盾，即可得证． （2）设，得，解得，，即可得出答案． 【详解】（1）假设，共线，所以存在实数，使得， 即，整理得， 则，共线，这与，是不共线的非零向量矛盾， 所以假设不成立，即与不共线，所以可以作为一个基底； （2）设 ， 因为，是不共线的非零向量， 所以，解得， 所以． 【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（北京市丰台区2024-2025学年高一下学期一模数学试题）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 1．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减法结合图形计算得出线性表示求解, 【详解】 在中， 点D是边BC的中点， 所以， 所以，化简得， 则 . 故选：A 2．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在中，已知，E为的角平分线与边BC的交点，点F在边AC上且AF=3，若AE，BF相交于点M，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设结合角平分线定理、平面向量线性运算法则将用基底表示，再根据求向量夹角的方法求解即可. 【详解】∵, ∴ ∵为的角平分线 由角平分线定理得，， . 因为点在边AC上，， 所以，, 所以 , , , 所以.    故答案为：. 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． (1)用与表示； (2)求； (3)设，求xy的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果； （2）根据题意，由共线以及共线，设出向量共线，代入计算，即可得到结果； （3）先将用表示，然后根据向量相等列出方程，从而得到的表达式，再由换元法结合二次函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 又，又，且， 所以， 则， 则， 所以. （2）因为共线，则存在实数，使得， 又因为共线，则存在实数，使得 ， 所以，解得，所以. （3）因为，， 设，则， 因为， 即， 所以，解得， 所以， 令，，则，， ， 令，则，其中， 其对称轴为，开口向下， 当时，，当时，， 所以xy的取值范围是. 【经典例题三 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为一组基底，根据向量的线性运算求，即可得. 【详解】由题意可得： ， 又因为，即， 所以. 故选：B. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 3．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为， 【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可求解； （2）由已知可得，根据，，三点共线，即可求解； （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为是边上的中线，所以， 所以； （2）因为为中点，所以， 因为，，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，即， 即为定值； （3）由（2）知， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时. 【经典例题四 用坐标表示平面向量】 【例4】（2024·上海金山·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】写出向量对应的坐标，通过判断坐标的正负得出答案. 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标表示求解． 【详解】如图，延长交轴于，由已知， ，， 由题意，，， 又，所以， ， 所以点坐标为． 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海虹口·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作交于，则，，，结合可得解； （2）由题意得，将（1）中代入可得结果. 【详解】（1）作交于，又，则， ∴，， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴坐标为. （2）∵， ∴， ∴坐标为. 【经典例题五 平面向量有关概念的坐标表示】 【例5】（23-24高一·全国·单元测试）若，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量模长运算可构造方程得到，采用换元法，令，结合二次函数性质和的范围可得的最小值. 【详解】，， ，， ，， 即，， 两式作和得：， 令，则，； ，，则， 的最小值为. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海松江·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 【答案】D 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设射线为角的终边，可知射线为角的终边，利用两角和的正弦和余弦公式可求得点的坐标. 【详解】设射线为角的终边，则，，且， 由题意可知，射线为角的终边， 且， ， 所以，点的坐标为，即. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，已知点，求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标. 【答案】或或. 【分析】分三种情况①；②；③，利用平行四边形一组对边平行且相等借助向量相等即可求解. 【详解】如图所示，设点，以为顶点的平行四边形可以有三种情况： ①若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ②若四边为， 因为，可得， 由，可得，解得，即； ③若四边形为时， 因为，可得， 由，可得，解得，即. 综上可得，点的坐标为或或. 【经典例题六 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可； 【详解】由， 可得：， 所以，当取得最小值； 故选：C 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 ， . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图， 则, 所以， 由可得， 即，解得, 故答案为：； 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 【经典例题七 由向量线性运算结果求参数】 【例7】（23-24高一下·上海虹口·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 1．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由条件可得的坐标，然后列出方程，即可得到结果. 【详解】设，则，将点绕点沿顺时针方向旋转， 即将点绕点沿逆时针方向旋转， 可得， 化简可得，， 又因为， 所以，解得，所以. 故选：D 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量旋转公式求出向量，再结合平面向量的坐标运算即可求得点坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 设，则， 所以，解得， 所以点的坐标为, 故答案为： 3．（23-24高一下·上海青浦·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）解法一：根据结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标； 解法二：根据线段、的中点重合，结合中点坐标公式可求得点的坐标； （2）利用向量旋转公式求出向量的坐标，再结合平面向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】解：（1）解法一：设点，    因为、、，则，， 因为四边形为平行四边形，则，即，解得， 故点的坐标为； 解法二：设点，线段的中点为， 因为四边形为平行四边形，则线段的中点也为点，则，解得， 故点的坐标为； （2）因为点、，则， 设点，将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 则， 又因为，所以，，解得，即点. 【经典例题八 利用坐标求向量的模】 【例8】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可. 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 故选：A 1．（2024·上海·模拟预测）已知点，，则与方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，即得解. 【详解】解：由题意有，所以， 所以与方向相反的单位向量是. 故选：C 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a）， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以当，即时，的最小值为6. 故答案为：6 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】(1) (2)两人约有小时不能通话 【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 因此建立如图所示的平面直角坐标系， ， 设保安甲从C出发小时后达点D，所以有， 设，由， 即，当时，， 由 ； （2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为， 于是有， 因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话， 所以有，所以 解之：或，又 所以两人约有小时不能通话. 【经典例题九 数量积的坐标表示】 【例9】（23-24高一下·上海普陀·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义，结合向量的数量积和模长的坐标计算，求解即可. 【详解】根据题意，可得，，则， 所以在向量上投影数量等于， 可得向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 1．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知中是直角，，点是的中点，为一点． (1)设，，当，请用，来表示，． (2)当时，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案； （2）建立平面直角坐标系，求出相关点坐标以及的坐标，计算，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知点是的中点，故, 则； . （2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当时，E为的靠近B的三等分点，则， 故， 则， 即，故. 【经典例题十 向量模的坐标表示】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由的最小值为可得的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得. 【详解】如下图所示： 在直线上取一点，使得， 所以，当时，取得最小值为，即； 又，所以可得是以为顶点的等腰直角三角形， 建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示： 又可得为的中点， 由以及可得在上， 可得， 所以，可得， 则， 令，由可得， 所以，， 由二次函数在上单调递增可得，. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据题意求出正六边形的半径，设出的坐标，再利用向量的数量积和半径列出方程组，求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ，设，则， 根据正六边形的性质有： ，且， 所以，整理得：，解得：， 根据题意，所以. 故选：C. 2．（2024高一·全国·专题练习）线段AB的端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，如图，，，，若点D为AB的中点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，用表示出点的坐标，结合向量运算表示出，进而可求范围. 【详解】设，，，，同理， ，，， ， 即， . ，，， . 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.    (1)若，线段与交于点，求的值， (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此    （2）因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又,即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 【经典例题十一 坐标计算向量的模】 【例11】（浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）在平面直角坐标系中，点和，点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上运动，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设，利用坐标法表示出，，再根据向量模的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】设，则，， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，且. 故选：C 1．（2024高一·全国·专题练习）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则下列选项错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 【答案】C 【分析】根据新定义的运算，求出向量的模，向量的夹角，针对各个选项分别求解即可. 【详解】对于A：因为，所以或， 所以，A正确； 对于B：因为， 所以，， 所以， ，B正确； 对于C：若Rt中，，所以， 所以，C错误； 对于D：中，， 所以， 则，所以， ∴是等腰三角形，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 3．（23-24高一下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为． (1)求的坐标； (2)求； (3)求的面积及外接圆的半径． 【答案】(1) (2) (3)4， 【分析】（1）设，由求出可得答案； （2）利用向量的夹角公式计算可得答案； （3）利用三角函数的平方关系求出，由三角形面积公式求出的面积；由正弦定理求出外接圆的半径． 【详解】（1）因为向量在x轴非负半轴上的投影向量为， 所以可设， 因为，所以，即，则； （2）因为，， 所以； （3）因为，所以， 所以， 故的面积为， 因为， 所以， 则外接圆的半径为． 【经典例题十二 向量垂直的坐标表示】 【例12】（2025·上海奉贤·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由，， 可得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：C 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，，利用两点距离公式可得，再利用和向量垂直的坐标表示可得，根据题意该一元二次方程至多有一个解，令即可. 【详解】以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系， 因为，所以设，，，， 由可得，解得， 因为，，， 所以，整理得， 由题意可得关于的一元二次方程至多有一个解， 所以，将代入整理得， 解得，所以， 故选：D 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，为正实数，，当时，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算，再结合基本不等式得出参数的范围. 【详解】， ， 又， 整理得为正实数，，即， 当且仅当，即时，取等号，. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，设，再应用三点共线得出向量平行及，应用坐标关系求解即可得出参数 （2）设，再应用垂直的坐标运算计算求解得出点的坐标为，最后应用数量积公式计算即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则. 由，得，所以. 由是的中点，得，所以. 设，则. 因为三点共线， 所以，即①， 因为三点共线， 所以，即②， 联立①②解得点的坐标为， 所以. 所以，所以实数的值为. （2）因为上的点满足， 设， 则. 因为，所以，解得，所以点的坐标为， 所以. 又，所以. 【经典例题十三 利用数量积求参数】 【例13】（23-24高一下·上海闵行·期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) 【答案】A 【分析】由题且不共线，据此可得答案. 【详解】因向量的夹角为锐角，则， 且不共线，即. 综上可知，或. 故选：A 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（    ） ①； ②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则； ③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由，，，结合向量的运算判断①；由三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③. 【详解】对于①：，，，故，故①正确； 对于②：，，因为三点共线，所以，即，解得，故②错误； 对于③：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，，，设，因为，，所以，当时，，当时，，即的取值范围是，故③正确； 故选：C 2．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式 ，即可求得取值范围. 【详解】第一空：解法一：因为，即，则， 可得，所以； 解法二：由题意可知： 以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 第二空：因为点在线段上， 设，且为中点，则， 可得， 则， 因为时函数递增， 所以当时，取到最小值为； 当时，取到最大值为； 则的取值范围为， 故答案为：；. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：求出、、，再代入向量的夹角公式可得答案；法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立平面直角坐标系，求出、的坐标，再由向量的夹角公式的坐标运算可得答案； （2）由（1）中的法二，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以；    （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 【经典例题十四 利用向量垂直求参数】 【例14】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由，得，解得， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为 . 故选：C. 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．若向量是与向量垂直的单位向量，则为 C．与向量同向共线的单位向量为 D．向量在上的投影向量为 【答案】D 【分析】 根据向量数量积，以及共线向量，单位向量的坐标表示，投影向量公式，即可求解. 【详解】A.由，所以与的夹角为锐角，故A错误； B.设，则，得或，即为或，故B错误； C. 与向量同向共线的单位向量为，故C错误； D. 向量在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用点E在直线上，可得，然后利用，即可求解E的坐标. 【详解】由题意可得：， ∵点E在直线上， ∴， 又∵，则， ∴，故点E的坐标为. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理:对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线． (1)若，，，求； (2)若，已知直线；求的一个法向量； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用定义求出 （2）先求出l的方向向量为，由得法向量 【详解】（1）由已知，，， 则，且， 则 ∴； （2）直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为； 设的一个法向量为，由得，； 令，则，； 【经典例题十五 向量夹角的坐标表示】 【例15】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 1．（安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考数学试卷（人教A版）（B卷））一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，结合投影法找到数量积时点的位置，再去求解两向量的数量积的余弦值. 【详解】以点为原点建立直角坐标系如图； 又因为分米，分米，且两个正方形有共同的对称中心与对称轴，所以点，，则，， 又因为，且因为， 则当最大时，最大， 由图象可知，当与点重合时最大，所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 【答案】/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求. 【详解】    设正方形的边长为2，以为原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 所以，，故， 所以， 又， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在等边中，点满足，点满足，点是边上的中点，设，． (1)用，表示； (2)若的边长为4，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算即可求解； （2）法一：由，，代入夹角公式即可；法二：建系，由向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故，， 所以； （2）方法一（基底法）点满足， 故， 等边的边长为4，设与夹角为， ， ，故， ，故， 则． 方法二（坐标法）如图，以的中点为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系． 等边中，，，，， ∴，,． ∵点是边上的中点，∴，∴. ∵，∴，∴． ∵，∴，∴． ∴. 【经典例题十六 已知向量垂直求参数】 【例16】（2024·上海虹口·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解. 【详解】当时，由可知与方向相同，得，解得； 当时，，即，解得． 故选：C 1．（23-24高一下·上海普陀·期末）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为向量，，，且，， 所以，解得， 所以. 故选：D 2．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，存在这样的点，使得，则的长度等于 ． 【答案】或 【分析】 建立平面直角坐标系，分类讨论点的位置，依据条件求解即可. 【详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，则， 设，，，，， ，又，， 由，解得，， 由题得， ①当点在上时，设， ，； ②当点在上时，设， ∴， ，舍去； ③当点在上时，设， ∴，，舍去； ④当点在上时，设， ∴，， 综上，存在，或者，. 故答案为：或 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数（）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设（），写出函数的相伴向量； (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果； （2）首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果； （3）求出，设，由数量积为0列出关于的方程，结合性质即可得结果. 【详解】（1）， 所以函数的相伴向量． （2）由题知， 由，得． 又，即，所以． 又，由正弦定理，得，， 即． 因为，所以， 所以，即的取值范围为． （3）由（2）知， 所以， 设，因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以， 即，所以． 因为，所以， 所以， 又因为， 所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得． 【经典例题十七 由坐标判断向量是否共线】 【例17】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 【答案】BD 【分析】本题可根据向量能否作为一组基底的判定条件，即两个向量不共线时可以作为一组基底，来逐一分析选项. 【详解】选项A：判断与是否共线. ，等式成立，所以与共线，不能作为一组基底，A选项错误. 选项B：判断与是否共线. ，所以与不共线，能作为一组基底，B选项正确. 选项C：判断与是否共线. 设，可得. 若与不共线，则不存在这样的实数使得成立； 若与共线，则与共线. 由于题目未明确与是否共线，所以无法确定与是否能作为一组基底，C选项错误. 选项D：判断与是否共线.设，即. 因为，不共线，所以不存在实数使得成立. 所以与不共线，可以作为一组基底，D选项正确. 故答案为：BD. 2．（2025高一·全国·专题练习）若，，则 （1） ． （2） ． 【答案】 0 【分析】略. 【详解】略. 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，其中. (1)若，求角的值； (2)记，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标关系列出等式，通过三角函数公式化简求解的值；（2）先求出的表达式，再根据已知条件求出的值，最后通过换元法求出的值. 【详解】（1）因为，则 化简得：，即 又，即， 所以，即. （2）由 由，即， 令，则，即 则 【经典例题十八 由向量共线（平行）求参数】 【例18】（2025·上海青浦·模拟预测）已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用坐标表示向量共线可得. 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以设， 即. 故选：B 1．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．若向量与向量垂直，则 D．与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】D 【分析】借助共线、垂直、单位向量，投影向量等知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项：与共线的单位向量为，因为所以所以与共线的单位向量的坐标为或，正确； 对于B选项：在方向上的投影向量为，正确； 对于C选项：由题： 即，正确； 对于D选项：设与垂直的单位向量为，则 ，解得：或，故不正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）关于平面向量有下列四个命题： ①若，则； ②已知，.若，则. ③非零向量和，满足，则与的夹角为30°. ④. 其中正确的命题为 . 【答案】②③④ 【分析】举特例说明①是错误的；根据向量平行的结论求判断②的真假；结合向量加减法的几何运算，判断③的真假；利用平面向量数量积的运算性质判断④的真假. 【详解】①当时，由不能得出，①错误； ②，则，，②正确； ③如图，设，，则，， 由已知，则是等边三角形，四边形是菱形，且，所以与的夹角为，③正确； ④，④正确. 故答案为：②③④ 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对 叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”. 证明:； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，求证：的充要条件是. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“完美坐标”的定义写出，再利用求模公式即可； （2）利用“完美坐标”的定义写出，，再利用数量积的运算律化简即可； （3）当，则显然成立；时，利用向量共线定理即可. 【详解】（1）因为的 “完美坐标” 为，则， 又因为分别为，正方向上的单位向量，且夹角为， 所以，且， 所以. （2） （3）若，则显然成立， 若，则的充要条件为存在，使得， 即，即 消去得: ， 综上，的充要条件是. 【经典例题十九 线段的定比分点】 【例19】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 2．（23-24高一·上海普陀·课后作业）已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算即得. 【详解】由题意可得， 设P（x，y），则（－6，－14）＝3（x－7，y－8）， ∴，解得 即. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【答案】，证明见解析. 【分析】根据向量的线性运算可得，，从而可得，同理可得，…，即可得结论. 【详解】解：结论． 证明如下： 证明：因为， 所以， 同理可得， 所以， 又，， 所以， … 综上所述，． 【经典例题二十 三角形的心的向量表示】 【例20】（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】∵为的内心， ∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 1．（2024高一·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】C 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】， 则，即，故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：C 2．（2024高一·全国·专题练习）设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据奔驰定理可得，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得，利用基本不等式计算即可求解. 【详解】根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据重心将中线长度分成的性质，结合平面向量的线性运算证明即可； （2）根据平面向量的线性运算证明即可； （3）根据欧拉定理与平面向量的线性运算证明即可. 【详解】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且.    在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以.    【经典例题二十一 由坐标解决三点共线问题】 【例21】（2024高一·上海长宁·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】首先根据已知条件，首先求出，的坐标表示，然后利用三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 因为 A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线， 故，即， 解得，，. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知向量在平面直角坐标系中位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中错误的是（    ） A． B．向量在向量方向上的投影向量为 C． D．若，则 【答案】A 【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项. 【详解】由图中坐标系可得， 对于A，因为， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，，所以，故，故D正确. 故选：A 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量共线以及向量的线性运算求得点的坐标. 【详解】设是坐标原点， 由于在线段延长线上，且， 所以，则， 所以， 所以点的坐标是. 故答案为：    3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． （2）设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 【经典例题二十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例22】（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 【答案】B 【分析】推出，又所在直线一定为的平分线，从而得到直线AP一定经过的内心，点到三个顶点相等，故点是的外心，作出辅助线，得到三点共线，且，所以是的重心，推导出，，得到为的垂心. 【详解】，变形得到， 其中分别代表方向上的单位向量， 故所在直线一定为的平分线， 故直线AP一定经过的内心， ，即点到三个顶点相等，故点是的外心， 因为，所以， 如图，取的中点，连接， 则，所以， 故三点共线，且， 所以是的重心，    由可得， 故，同理可得， 故为三条高的交点，为的垂心. 故选：B 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点. （1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ； （2）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的 . 【答案】 重心 内心 【分析】先化简目标式，结合平面向量的运算规则及三角形重心，内心的特点可得答案. 【详解】（1）设的中点为，则； 因为，所以； 因为的重心一定在直线上，所以点的轨迹一定通过的重心. （2）因为， 所以； 又分别表示平行于的单位向量， 故平分∠BAC，即平分∠BAC， 所以点的轨迹一定通过的内心. 故答案为：重心   内心. 3．（23-24高一·上海金山·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 【答案】(1)详解见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)如图，根据向量加法的平行四边形法则和重心的定义可得，进而得出； (2)如图，根据向量加法的平行四边形法则和可得，结合平行四边形的性质可得G在中线CD上且CG=2GD，同理可证G也在其它两边的中线上，即可证明G为的重心. 【详解】（1）设点D、F分别是AB、BC的中点，连接CD、AF交于点G，则G为的重心， 延长CD到点E，使得DE=GD，连接AE、BE、BG，如图， 由向量加法的平行四边形法则，得， 因为G为的重心，所以， 故，所以， 所以的重心G满足题意； （2）因为，所以， 以GA、GB为邻边作，连接GE，由向量加法的平行四边形法则， ，所以， 设AB与GE交于点D，由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点， 所以，即G在中线CD上，且CG=2GD， 同理可证G也在其它两边的中线上，即G是三角形三条中线的交点， 所以G为的重心. 【经典例题二十三 平面向量基本定理的应用】 【例23】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求的取值. 【详解】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 【答案】A 【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取， ， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则， 综上，， 选项A：取，满足，此时， 因此点P不一定是的中点，故A错误； 选项B：若， 当时，，则，点P为B点； 当时，，则，，点P为B点； 当时，，则，点P为的中点， 所以满足的点P有两个，故B正确； 选项C：若， 当时，有，则，，得点P为点； 当时，有，则，点P为点， 所以满足的点P有且只有一个，故C正确； 选项D：若， 当时，有，故，，此时， 当时，有，故，， 此时点P有两个，故D正确； 故选：A. 2．（2025·上海宝山·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）过作垂足为，则，再用数量积的运算律结合垂直向量求解即可； （2）在延长线上取点，使，取中点，由已知可得过圆心，求得，进而可求得梯形的高与上底，从而可求面积. 【详解】（1）过作垂足为，则， 所以； （2）在延长线上取点，使，取中点， 又因为，所以， 由，可得，所以直线MN过圆心， 在中，，，所以，， 因为，所以,所以， 所以等腰梯形高为， ， 所以等腰梯形面积为．   故答案为：①；②. 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 【经典例题二十四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例24】（2024高一·全国·模拟预测）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A．B．C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方，又，则取不到边，即可得出答案. 【详解】因为，且， ，则， 所以点表示以为一组邻边的正方形过原点的对角线的下方， 又，则取不到边，故B,C,D不正确. 故选：A. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 2．（2025·上海奉贤·一模）我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为 ；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为 . 【答案】 5 10 【分析】建立坐标系，根据每次行走只能按向量或行走，列方程得，即可求解. 【详解】以“马”的初始位置为原点，棋盘的横竖两边为轴建立坐标系， 以题意可得：“马”每次只能按向量或行走， 设落点为（），按上述两个向量前进的此时分别为， 则 所以，即     第一空：由于，所以， 第二空：由于所以 又为3的倍数，且只能往右前方前进，所以 当时，此时对应的点有，, 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有， 当时，此时对应的点有 综上可得，共有10种情况， 故答案为：5，10 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算和线性运算分别求解即可. 【详解】（1）因为是线段的中点， 所以， 所以点的坐标为； （2）由，得， 则， 所以点的坐标为； （3）设，则， 因为，即， 又由题意易知， 所以，解得， 所以点的坐标为. 【经典例题二十五 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例25】（23-24高一下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值. 【详解】设、、， 则、、， 由，则有，即， 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此，因，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围 【详解】设， 则 因为，所以 即，解得， 所以 因为，所以 即 1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知向量，，若与共线，则实数（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】求出的坐标，再根据两向量共线的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】已知，，可得： 因为与共线，，，可得： 求解：实数. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过将转化为与已知向量、相关的表达式，利用向量的线性运算规则，逐步将其他向量用、表示出来，进而得出的表达式. 【详解】根据向量加法的三角形法则，. 因为点为线段BC的中点，则. 同理可得. 已知，.由；， 又因为， 所以. 将，代入可得： 把，代入上式： 故选：B. 3．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向， 建立如图所示的直角坐标系. 作，交BA的延长线于点， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以， 则解得故. 故选：B 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 5．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知向量，，若与共线，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】, 依题意, 解得, 故答案为： 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量加法的几何意义，数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：    （1） = （用来表示）； （2） . 【答案】 【分析】空1：由已知可得，向量的线性运算的几何应用可得； 空2：设，通过向量的线性运算得到，再结合，利用，，共线可求得，即可求得结果. 【详解】空1：根据， 故， 空2：设，则，， 所以， 又， ，，三点共线，， ，解得，所以， . 故答案为：；. 10．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则 ．      【答案】 【分析】将用表示，再将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】依题意夹角为，所以， 因为，，， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知在中，，，且的最小值为3，为边上任意一点，求的最小值． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算律以及数量积的坐标表示求解. 【详解】因为 ， 当且仅当时等号成立． 又因为的最小值为3，所以， 解得，所以．    如图所示建立直角坐标系，则，，， 设，． 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 12．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则，即，则，. （2），则，则， ，得. 13．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，. (1)当，时，用向量和分别表示向量和； (2)当，时，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）用表示，利用数量积的运算律求出，根据二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）当 ，时， ， （2）当，时， ， ， 故 ， 因为 ，故 故 的取值范围为 . 14．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）将所有平面向量组成的集合记作是从到的对应关系，记作或，其中，都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值： (1)若，求； (2)如果，计算的特征值； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 【答案】(1) (2) (3)，，证明见解析 【分析】（1）根据列方程，根据不等式的性质求得. （2）根据列方程组，化简求得的特征值. （3）根据列方程组，根据向量平行、由与的定义、特征值的定义进行判断，从而确定正确答案. 【详解】（1）由于此时，又因为是在的条件下， 有，当时取最大值，所以此时有； （2）由，可得：， ，两式相乘得，不恒为， 所以，从而． （3）解方程组，可得， 从而向量与平行， 从而有应满足：． 当，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 15．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）从低压变压器输出的电路中，输送的是交流电，其电压变化规律符合三角函数，原理图如图（1）所示，线路为零线，线路、、均为火线.如图（2）则是变压器的简单模型，.其中，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，以此类推，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：交流电的频率一般是赫兹，即每秒变化次，其中频率是周期的倒数. (1)求的值； (2)之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；同理，之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长，其中向量、、的模长均为它们对应电压三角函数的最大值，用户张先生连接的家庭用电连接的是，用户李先生的工厂若连接的是，其中之间的电压等价于之间的电压，其大小为向量的模长.请分别求出张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值. 【答案】(1) (2)张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值分别为、 【分析】（1）求出交流电的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得的值； （2）由题意可得出张先生家庭电压的最大值，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出李先生工厂电压的最大值. 【详解】（1）由题意可知，交流电的最小正周期为， 则. （2）由题意可知，张先生家庭电压的最大值为， 且，， 所以， . 故李先生工厂电压的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 向量的坐标表示与应用重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 基底的概念及辨析 题型二 用基底表示向量 题型三 利用平面向量基本定理求参数 题型四 用坐标表示平面向量 题型五 平面向量有关概念的坐标表示 题型六 平面向量线性运算的坐标表示 题型七 由向量线性运算结果求参数 题型八 利用坐标求向量的模 题型九 数量积的坐标表示 题型十 向量模的坐标表示 题型十一 坐标计算向量的模 题型十二 向量垂直的坐标表示 题型十三 利用数量积求参数 题型十四 利用向量垂直求参数 题型十五 向量夹角的坐标表示 题型十六 已知向量垂直求参数 题型十七 由坐标判断向量是否共线 题型十八 由向量共线（平行）求参数 题型十九 线段的定比分点 题型二十 三角形的心的向量表示 题型二十一 由坐标解决三点共线问题 题型二十二 根据向量关系判断三角形的心 题型二十三 平面向量基本定理的应用 题型二十四 向量坐标的线性运算解决几何问题 题型二十五 由向量线性运算解决最值和范围问题 知识点01 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 知识点02 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识点03 平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 知识点05 平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【经典例题一 基底的概念及辨析】 【例1】（23-24高一下·上海松江·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题不正确的是（       ） A．若向量满足，则为平行向量 B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底 C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D．若是等边三角形，则 2．（23-24高一下·上海徐汇·阶段练习）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 3．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 【经典例题二 用基底表示向量】 【例2】（北京市丰台区2024-2025学年高一下学期一模数学试题）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 1．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）如图， 在△ABC中， 点D是边BC的中点， 则用向量 表示 为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在中，已知，E为的角平分线与边BC的交点，点F在边AC上且AF=3，若AE，BF相交于点M，则的值为 ． 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． (1)用与表示； (2)求； (3)设，求xy的取值范围． 【经典例题三 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）如图所示，在中，是边上的中线，为中点，过点的直线交边，于，两点，设，，，（，与点，不重合） (1)求和的值； (2)证明：为定值； (3)求的最小值，并求此时的，的值． 【经典例题四 用坐标表示平面向量】 【例4】（2024·上海金山·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（23-24高一下·上海长宁·期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为 ． 3．（23-24高一下·上海虹口·期中）如图，在平行四边形ABCD中，，E为DC上靠近D的三等分点，G为BC上靠近C的三等分点，且恰为3∶5，若以A为原点，AC为x轴，AD为y轴，，为基底． (1)求坐标； (2)求坐标． 【经典例题五 平面向量有关概念的坐标表示】 【例5】（23-24高一·全国·单元测试）若，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·期中）下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 2．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是 ． 3．（23-24高一下·上海静安·期中）如图，已知点，求以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标. 【经典例题六 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25高一下·上海崇明·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则 ， . 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【经典例题七 由向量线性运算结果求参数】 【例7】（23-24高一下·上海虹口·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D．    1．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 ． 3．（23-24高一下·上海青浦·期中）（1）已知平行四边形的三个顶点、、、的坐标分别是、、，试用两种方法分别求点的坐标； （2）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点、；把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点坐标. 【经典例题八 利用坐标求向量的模】 【例8】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·上海·模拟预测）已知点，，则与方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 3．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时. (1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值； (2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？ 【经典例题九 数量积的坐标表示】 【例9】（23-24高一下·上海普陀·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）已知中是直角，，点是的中点，为一点． (1)设，，当，请用，来表示，． (2)当时，求证：． 【经典例题十 向量模的坐标表示】 【例10】（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）在中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是正六边形的中心，若，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）线段AB的端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，如图，，，，若点D为AB的中点，则的取值范围是 . 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.    (1)若，线段与交于点，求的值， (2)若，求的最小值. 【经典例题十一 坐标计算向量的模】 【例11】（浙江省强基联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷）在平面直角坐标系中，点和，点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上运动，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（2024高一·全国·专题练习）对非零向量，定义运算“（*）”：，其中为与的夹角，则下列选项错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若Rt中，，则 D．若中，，则是等腰三角形 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 3．（23-24高一下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，且向量在轴非负半轴上的投影向量为． (1)求的坐标； (2)求； (3)求的面积及外接圆的半径． 【经典例题十二 向量垂直的坐标表示】 【例12】（2025·上海奉贤·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，，点为射线上两动点，且，若射线上至多有一个点，使得，则长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，为正实数，，当时，的取值范围为 . 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足与交于点. (1)设，求实数的值； (2)设是上一点，且，求的值. 【经典例题十三 利用数量积求参数】 【例13】（23-24高一下·上海闵行·期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（    ） ①； ②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则； ③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【经典例题十四 利用向量垂直求参数】 【例14】（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．与的夹角为钝角 B．若向量是与向量垂直的单位向量，则为 C．与向量同向共线的单位向量为 D．向量在上的投影向量为 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为 ． 3．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理:对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线． (1)若，，，求； (2)若，已知直线；求的一个法向量； 【经典例题十五 向量夹角的坐标表示】 【例15】（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考数学试卷（人教A版）（B卷））一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）在正方形中，点，分别是，的中点，则＝ . 3．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在等边中，点满足，点满足，点是边上的中点，设，． (1)用，表示； (2)若的边长为4，试求与夹角的余弦值． 【经典例题十六 已知向量垂直求参数】 【例16】（2024·上海虹口·模拟预测）已知向量，，若当时，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高一下·上海普陀·期末）设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 2．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，存在这样的点，使得，则的长度等于 ． 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数（）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）． (1)设（），写出函数的相伴向量； (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【经典例题十七 由坐标判断向量是否共线】 【例17】（2025高一·全国·专题练习）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）下列正确的是（    ） A．若，则与能作为一组基底 B．，则与能作为一组基底 C．与可以作为一组基底 D．若不共线，则与可以作为一组基底 2．（2025高一·全国·专题练习）若，，则 （1） ． （2） ． 3．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，向量，其中. (1)若，求角的值； (2)记，若，求的值. 【经典例题十八 由向量共线（平行）求参数】 【例18】（2025·上海青浦·模拟预测）已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（    ） A． B． C． D．2 1．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．若向量与向量垂直，则 D．与垂直的单位向量的坐标为或 2．（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）关于平面向量有下列四个命题： ①若，则； ②已知，.若，则. ③非零向量和，满足，则与的夹角为30°. ④. 其中正确的命题为 . 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对 叫做向量的“完美坐标”. (1)若向量的“完美坐标”为，求； (2)已知，分别为向量，的“完美坐标”. 证明:； (3)若向量，的“完美坐标”分别为，，求证：的充要条件是. 【经典例题十九 线段的定比分点】 【例19】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 2．（23-24高一·上海普陀·课后作业）已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为 ． 3．（23-24高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【经典例题二十 三角形的心的向量表示】 【例20】（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹经过的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 2．（2024高一·全国·专题练习）设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是 . 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．   (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【经典例题二十一 由坐标解决三点共线问题】 【例21】（2024高一·上海长宁·学业考试）若点A(-2，-3)､B(0，y)､C(2，5)共线，则y的值等于(    ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 1．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知向量在平面直角坐标系中位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中错误的是（    ） A． B．向量在向量方向上的投影向量为 C． D．若，则 2．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为 . 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【经典例题二十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例22】（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形    1．（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点. （1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的 ； （2）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的 . 3．（23-24高一·上海金山·课后作业）用向量运算刻画三角形的重心． (1)已知，求一点G满足． (2)求证：满足条件的点G是的重心． （提示：说明点G同时在的三条中线上．） 【经典例题二十三 平面向量基本定理的应用】 【例23】（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（    ） A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 2．（2025·上海宝山·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 3．（24-25高一下·上海闵行·阶段练习）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【经典例题二十四 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例24】（2024高一·全国·模拟预测）平面直角坐标系中，点为原点，，若，且，则满足条件的点表示的阴影区域为（     ）. A．B．C． D． 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 2．（2025·上海奉贤·一模）我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶点，，…，，如图1.请据此完成填空：如图2，假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向“右前方走”，则其运动到点所需的步数为 ；该马运动到点所有可能落点（不包括点）的个数为 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）设是线段上的一点，点． (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当时，求点的坐标； (3)当时，求点的坐标． 【经典例题二十五 由向量线性运算解决最值和范围问题】 【例25】（23-24高一下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围． 1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知向量，，若与共线，则实数（   ） A．2 B． C．6 D． 2．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 7．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）已知向量，，若与共线，则的值为 ． 8．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 9．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）如图，中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：    （1） = （用来表示）； （2） . 10．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则 ．      11．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知在中，，，且的最小值为3，为边上任意一点，求的最小值． 12．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； 13．（24-25高一下·上海杨浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，. (1)当，时，用向量和分别表示向量和； (2)当，时，求的取值范围. 14．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）将所有平面向量组成的集合记作是从到的对应关系，记作或，其中，都是实数，定义对应关系的模为：在的条件下的最大值记作，若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值： (1)若，求； (2)如果，计算的特征值； (3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 15．（24-25高一下·上海静安·阶段练习）从低压变压器输出的电路中，输送的是交流电，其电压变化规律符合三角函数，原理图如图（1）所示，线路为零线，线路、、均为火线.如图（2）则是变压器的简单模型，.其中，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，以此类推，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：交流电的频率一般是赫兹，即每秒变化次，其中频率是周期的倒数. (1)求的值； (2)之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；同理，之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长，其中向量、、的模长均为它们对应电压三角函数的最大值，用户张先生连接的家庭用电连接的是，用户李先生的工厂若连接的是，其中之间的电压等价于之间的电压，其大小为向量的模长.请分别求出张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$