专题01 正弦函数的图像与性质重难点题型专训（25大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题01 正弦函数的图像与性质重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 五点法画正弦函数的图象 题型二 y=Asinx+B的图象 题型三 含绝对值的正弦函数的图象 题型四 求sinx的函数的单调性 题型五 求sinx型三角函数的单调性 题型六 利用正弦型函数的单调性求参数 题型七 比较正弦值的大小 题型八 解正弦不等式 题型九 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 题型十 求含sinx(型)函数的定义域 题型十一 求含sinx(型)函数的值域和最值 题型十二 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型十三 求含sinx（型）的二次式的最值 题型十四 求正弦（型）函数的奇偶性 题型十五 求含sinx的函数的奇偶性 题型十六 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型十七 由正弦函数的奇偶性求函数值 题型十八 求正弦（型）函数的最小正周期 题型十九 求含sinx的函数的最小正周期 题型二十 由正弦（型）函数的周期性求值 题型二十一 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型二十二 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型二十三 利用正弦函数的对称性求参数 题型二十四 正弦函数图象的应用 题型二十五 正弦函数对称性的其他应用 知识点01 正弦函数的性质 一、周期性 ①函数的周期定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期 (a)定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；(b)正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π； ③函数y＝sinx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 二、值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1； ①奇偶性 奇函数 ②单调性 在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减； ③正弦函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 五点法画正弦函数的图象】 【例1】（2024高一下·上海松江·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有1个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】因为，列表： 1 0 1 2 1 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的值只有一个， 所以与在上只有1个交点， 结合图象可知或. 故选：D 2．（23-24高一下·上海松江·课前预习）五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象. 在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是 ， ， ， ， . 【答案】 ； ； ； ； ； 【分析】略 【详解】略 3．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，． (3)， 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】根据“五点法”方法作图即可. 【详解】（1）由题知，， 列表如下: 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如下: ； （2）由题知，， 列表如下: 1 0 0 1 根据表格画出图象如下: ； （3）， 根据五点法作图列表得： 画图像得： . 【经典例题二 y=Asinx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·上海静安·期末）函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【点睛】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取，，，，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 1．（23-24高一下·上海·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，再利用正弦型函数的最值再结合其最小正周期的公式逐项分析即可. 【详解】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，都有，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，且当时，，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解. 【详解】当时，； 当时，，， 当时，，， 当时，，， 则函数的图象如图所示：    当时，，解得， 若对任意的，都有， 则， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题. 3．（23-24高一·上海松江·课后作业）用五点法画出函数的大致图象． 【答案】答案见解析. 【分析】按五个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可. 【详解】令，则当x变化时，y的值如下表： X 0 x y 1 1 1 描点画图： 这是一个周期上的图象，然后将函数在上的图象向左、向右平移周期的正整数倍个单位即得的图象． 【经典例题三 含绝对值的正弦函数的图象】 【例3】（23-24高一下·上海奉贤·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果. 【详解】   函数的图像与函数的图像有公共对称轴，分别做出两个函数的图像如图所示， 由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线对称，则所有交点的横坐标之和为. 故选：C 1．（23-24高一下·上海虹口·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）函数的图象与直线的交点共有 个. 【答案】4 【解析】当时，求得，当时，求得，在同一坐标系中画出画出两个函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，，则； 当时，，则， 在同一坐标系中画出与的图象，如图所示， 可的在范围内两者有4个交点. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及正弦函数的图象的应用，其中解答中根据函数的解析式画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于基础题. 3．（23-24高一下·上海松江·课后作业）函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将的解析式变形为分段函数类型，然后根据的图象有个交点确定出的取值范围. 【详解】由条件可知，， 在同一坐标系内，作出函数和函数的图象，如下图所示， 要使方程有个根，则函数和函数的图象有个交点， 由图象可知． 【经典例题四 求sinx的函数的单调性】 【例4】 （23-24高一下·上海·单元测试）若、，，且，则（    ） A．； B．； C．1； D．． 【答案】C 【分析】变形给定等式，构造函数，再探讨奇偶性及单调性求解即得. 【详解】由，得， 即，令函数， 则有，即函数是的奇函数， 函数在上都单调递增，于是函数在上单调递增， 由，得，因此，即， 所以，. 故选：C 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）矩形ABCD中，，，AD的中点为M，折叠矩形使得点A落在边CD上，则点M到折痕的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设折叠矩形使得A落在边上，当在D处时，此时折痕过M，即点M到折痕的距离为0．当到C处时，取得最大值，求出，即可求出答案. 【详解】设折叠矩形使得A落在边上， 当在D处时，此时折痕过M，即点M到折痕的距离为0． 当从D向C运动的过程中（如图1）， 中点为O，则，过M作于点N， 则，此时在增大，也增大， 故当到C处时，取得最大值（如图2）， 此时，所以， 故点M到折痕的距离的取值范围是． 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解. 【详解】（1）函数的递增区间为，， 递减区间为，， 则函数的递增区间为，， 递减区间为，， （2）因为求的单调增区间即求的单调减区间， 因为求的单调减区间即求的单调增区间， 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. （3）令，，得，， 即，， 所以的单调递减区间为，； 令，，得，， 即，， 所以的单调递增区间为，. 【经典例题五 求sinx型三角函数的单调性】 【例5】（23-24高一下·上海·期末）函数的单调递增区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先换元，求定义域再结合复合函数的单调性，最后根据正弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，即，因为为增函数， 所以，要使单调递增，则需单调递增，且， 所以：，即， 解得：，故函数的单调递增区间为，. 故选：D 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期性判断命题（1），利用正弦函数单调性求出函数的单调区间判断（2），利用正弦函数的对称性求出对称轴判断（3），利用函数平移法则结合函数的对称性判断（4）. 【详解】函数，的最小正周期，（1）正确. 当，时，即，，函数为增函数， ，函数在区间上是增函数，（2）正确. 当，，即，为函数的对称轴，时，， 函数的图象关于直线对称,（3）正确. 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位， 图象关于轴对称，为偶函数,（4）错误. 真命题的个数是3个. 故选：C 2．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案. 【详解】由对恒成立知，， 得到或， 因为，所以或， 当时，， 此时，， ，不合题意，舍， 当 时，， 此时，， ，符合题意， 所以， 所以由 得， 所以的单调递增区间是. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期T； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的单调性即可得解； （3）根据正弦函数的值域即可得解. 【详解】（1）， 则； （2）令，，得， 所以函数的单调增区间为； （3）由，得， 所以， 所以函数的值域为． 【经典例题六 利用正弦型函数的单调性求参数】 【例6】（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简得到，根据图象对称性可求得，排除AD；分别代入BC选项，根据正弦型函数单调性的判断方法可得结果. 【详解】图象关于原点对称， ，解得：，可排除A，D； 当时，，则当时，，此时为减函数，符合题意，B正确； 当时，，则当时，，此时为增函数，不合题意，C错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： 3．（2024·上海普陀·一模）设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求的范围，结合条件列不等式求的取值范围； （2）由条件列关系式，确定的值，再由周期公式求周期. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，， 因为有且只有一个使得函数取得最小值， 所以，解得， 所以的取值范围是， （2）因为对任意，成立， 所以的图像关于点对称， 则， 解得，又因为， 所以， 由，，可得， 因为函数在区间上是严格增函数， 令可得，函数在上严格单调递增， 所以，所以， 所以，，， 所以函数的最小正周期. 【经典例题七 比较正弦值的大小】 【例7】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定. 【详解】由题意得，所以， 所以，即，A正确； 因为，所以，B不正确； 当时，，C不正确； 由，所以，所以， 所以，D不正确. 故选：． 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知，，且，．则是(    ) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【分析】根据cosβ和β的象限求出sinβ，根据sinα和sinβ的大小结合正弦函数在的单调性即可判断α和β的大小关系，从而判断的正负，再根据α和β的象限进一步确定的象限即可. 【详解】∵，，∴， ∵＞，y＝sinx在上为减函数， ∴α＜β，∴α－β＜0， 又∵，， ∴＜＜0， ∴是第四象限角. 故选：D. 2．（2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性，即可判断，，的大小． 【详解】由， ，， 当时，单调递增，且，， 则，故． 故答案为． 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）利用正弦（型）函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据正弦函数的单调性判断正弦值大小； （2）先应用诱导公式化简为同一单调区间，再根据正弦函数的单调性比较函数值即可. 【详解】（1）∵， ∴. （2），， ∵，∴. 从而，即. 【经典例题八 解正弦不等式】 【例8】（23-24高一下·上海金山·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）在上满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦函数图像数形结合去求的取值范围 【详解】在同一坐标系内作出上和的图像， 则在上满足的的取值范围是 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）可以利用正弦函数和的图像，并结合正弦函数的周期性来求解不等式.请根据上述方法求函数的定义域. 【答案】见解析 【分析】先求出时，的解集，再根据正弦函数的周期性即可得出答案；同理可求出函数的定义域. 【详解】正弦函数和的图像如下图， 当时，由可得， 当时，由可得， 函数的定义域为，即， 所以的定义域. 【经典例题九 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域】 【例9】（2024·上海青浦·模拟预测）已知是定义域为R且周期为2的函数，当时，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据函数的周期性及其解析式分别求出、的值，进而求即可. 【详解】∵的周期为2，则，又 ∴，， 故. 故选：D. 1．（2024·上海·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先根据二倍角公式化简条件得：，再根据角的范围及诱导公式得，利用正弦函数的单调性可得，化简求值即可. 【详解】由， 得，① 化简①式，得，又， 所以，即， 因为，， 所以， 且在上单调递增，所以， 所以，则，所以. 故选：B． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数，若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据对称性和周期性，不妨取，，得到，，根据函数的单调性计算得到答案. 【详解】根据周期性和对称性，不妨取，即，则， 对一确定的，取同一单调区间内时有最小， 不妨取，， 故， ，函数在上单调递增， 故最小时，最小， ，，故， 当，时等号成立， 故答案为： 3．（2024·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由已知条件可得出的值，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出，再利用为锐角三角形求出角的取值范围，即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，，，所以，， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 即 ， 因为为锐角三角形，则、、，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，所以，，即， 由可得，故， 因此，的取值范围是. 【经典例题十 求含sinx(型)函数的定义域】 【例10】 （23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 1．（2024高一下·上海松江·阶段练习）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)A (2)C (3)B 【分析】（1）根据条件有，再利用的性质，即可求解； （2）通过换元，得到，由（1）知，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）由（1）知，可将问题转化成在区间恒成立，令，分、和三种情况讨论，求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 所以函数的定义域为，， 故选：A. （2）因为， 令，由（1）知，所以， 则，当时，，对称轴为， 又，所以当时，取到最大值，最大值为， 故选：C. （3）由（2）知，恒成立，即在区间恒成立， 令，对称轴， 当，即时，在区间上单调递增， 此时，得到，所以， 当，即时，，解得， 所以， 当，即时，在区间上单调递减， ，解得，所以， 综上所述，， 故选：B. 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）写出一个定义域为值域为的函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题为开放型题目，答案有多个，但定义域为，值域为的函数容易联想到定义域为，值域为三角函数，而值域可以通过加绝对值来处理，由此可以得到答案. 【详解】令，则易知其定义域为，而由得，即的值域为，故满足题意. 显然也满足题意，即答案不唯一，这里以为代表. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 【经典例题十一 求含sinx(型)函数的值域和最值】 【例11】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的图象关于对称．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的对称性求出，再应用辅助角公式计算得出，有一个根，则有一根即可计算求参. 【详解】由图象关于对称，可得，可得， 所以， 由可得或， 时，得，有一个根， 有一根．由正弦函数的性质知． 故选:C． 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1； 在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误； 又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值； 在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确. 故选：B 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数的零点分别是，函数，则 ． 【答案】2 【分析】令，是的一个零点；再通过讨论的情况解除另外两个解即可. 【详解】令．显然是的一个零点， 当时，令，则， 即， 因为，所以，即，配方得， 当时，等号成立，所以当时，， 故共有3个零点，分别为， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海松江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值； （2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）令，解得， 由已知得，解得， 所以， 当时，，因为，所以， 又在上单调递增，所以 （2） 因为，所以 又，所以， 所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 【经典例题十二 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数】 【例12】（23-24高一下·上海金山·期末）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的函数值，求出的表达式即可得解. 【详解】因为， 所以， 解得， 因为，所以的最小值为. 故选：C 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图像与轴交点求出，由函数在区间上有最大值，求出的取值范围，从而知道函数在区间上无最大值时的取值范围. 【详解】由条件得，又，得，所以. 由，解得. 若在区间上存在最大值，则，解得， 则，所以若在上无最大值，的取值范围为， 故选：D. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 3．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围. 【详解】（1） ， 因为且函数的最小正周期为，故. （2）当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即.     而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得，    ①当时，可得，则有，解得；     ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 【经典例题十三 求含sinx（型）的二次式的最值】 【例13】（23-24高一下·上海·期中）已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　） A．8 B．10 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】连接AC，设，用表示出周长来，利用二次函数求解. 【详解】连接AC，过C作于E， 因为AB为直径且为，则， 设，则，可得， 则， 又因为ABCD为等腰梯形，则， 故其周长为 ， 所以当，即时，周长取到最大值10. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令（），判断出为偶函数，将问题转化为研究 时，有两个零点，令，则有一个零点，分和两种情况，结合二次函数的性质分析求解即可. 【详解】当，（）， 则有，所以函数为偶函数， 由偶函数的对称性， 只需研究时，有两个零点， 设，由， 则有一个零点在上， 若是函数的零点，则，在上只有一个零点，不符合题意， 所以有一个零点， ①当时，，，解得，不符合题意； ②当时，，只需即可， 只需，解得. 所以. 综上：实数的取值范围为， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）利用的最大最小值即可求解； （2）由于，结合二次函数的值域求解即可； （3）利用的最大最小值即可求解； （4）由于，结合二次函数的值域求解即可. 【详解】（1）当时，即时，函数取的最小值，最小值为； 当时，即时，函数取的最大值，最大值为； 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为5，取最大值时对应的取值的集合为 （2）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为3，取最大值时对应的取值的集合为 （3）因为， 所以当时，取最小值，， 当时，取最大值，， 综上，，取最小值时对应的取值集合为， ，取最大值时对应的取值集合为 （4）， 因为，所以当时，即时，函数取最小值，， 当时，即或时，函数取最大值，， 综上，函数的最小值为，取最小值时对应的取值的集合为， 函数的最大值为，取最大值时对应的取值的集合为 【经典例题十四 求正弦（型）函数的奇偶性】 【例14】（2024·上海松江·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案. 【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， ，故. 故选：D. 1．（2024·上海青浦·模拟预测）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象的对称性即奇偶性排除一个选项，再利用函数值的大小排除2个选项后可得． 【详解】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足，为奇函数，排除D； 又选项C中函数满足，与图象不符，排除C； 选项A中函数满足，与图象不符，排除A， 只有B可选． 故选：B． 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 【答案】 4 【分析】先由题设得可得函数周期，接着由函数的周期性和奇偶性即可计算求解函数值. 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为4； 又因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故答案为：4；. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）设，，其中为非零实常数． （1）若，，求； （2）试讨论函数在上的奇偶性与单调性，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；既不是减函数，也不是增函数，证明见解析. 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式对函数进行整理，再结合特殊角的三角函数值即可得到结论． （2）先求出函数的解析式，再通过讨论得到其奇偶性，并通过举例得到其单调性即可． 【详解】（1）（1）由已知， 由得：， ， ，． （2）由已知，得． ①∵当时，对于任意的，总有， ∴是奇函数． ②当时，∵或等． ∴既不是奇函数，又不是偶函数． ∵，故不是增函数， 又∵，故不是减函数． ∴既不是减函数，也不是增函数． 【经典例题十五 求含sinx的函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性单调性与函数值符号确定函数的图象. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误； 因为，所以当时，，所以， 且在定义内为增函数，故A，D错误. 对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确. 故选:C 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知函数关于此函数的说法正确的序号是（    ） ①为周期函数；                   ②有对称轴； ③为的对称中心；          ④. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论. 【详解】由函数， ①，可得为周期函数，故①正确； ②由，， 故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确； ③为偶数时，，为奇数时, ， 故不为的对称中心，故③不正确； ④因为，可得正确，故④正确. 下面用数学归纳法证明：． 当时，，不等式成立； 假设当，不等式成立，即， 那么，当时， ，不等式也成立， 综上，． 故选：D 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】2018 【分析】由题意可判断关于对称，即关于对称，则有，，倒序相加计算所求可得结果. 【详解】解：因为， 令，则有，所以为奇函数，则关于对称，则关于对称. 则，， 所以有 . 故答案为：2018 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)奇函数；理由见解析 (2)偶函数；理由见解析 (3)偶函数；理由见解析 (4)非奇非偶函数；理由见解析 【分析】先求出函数的定义域，求出，然后利用函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 则为奇函数. （2）函数的定义域为， ， 则为偶函数. （3）函数的定义域为， ， 则为偶函数 （4）函数的定义域为， ，所以不是奇函数 ，，则，则不是偶函数， 所以非奇非偶函数. 【经典例题十六 由正弦（型）函数的奇偶性求参数】 【例16】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据为偶函数，求，再根据三角函数的性质求的值. 【详解】由于函数，存在常数， 为偶函数， 则：， 由于函数为偶函数，故， 所以，， 当时. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 2．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】(1)由已知结合正弦函数的单调性即可求解； (2)结合周期公式先求出，然后结合正弦函数的奇偶性可求，再由二倍角公式及和差角公式对所求式子进行化简，代入即可求解. 【详解】（1）若，则， 令， 解得， 所以函数的单调减区间； （2）若函数的最小正周期为，则， 所以， 因为为偶函数， 所以，则， 因为为锐角，所以， . 【经典例题十七 由正弦函数的奇偶性求函数值】 【例17】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故选：A 1．（23-24高一下·上海松江·课后作业）定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可函数既是奇函数又是周期函数，且的最小正周期为可得，进而得到答案. 【详解】因为函数既是奇函数又是周期函数,且的最小正周期为， ， 又当时，， ， . 故选：D. 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则 【答案】 【分析】结合诱导公式和三角函数定义可求得，利用正弦函数的奇偶性可求得所求式子的值. 【详解】， ， ， ， 又， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用诱导公式确定，从而根据三角函数定义化简所求式子，利用正弦函数的奇偶性进行求值. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数，函数为奇函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，证明：当时，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据为奇函数可得，则，再由可得答案； （2）根据三角函数图象的变换规律可得，由，求出，进而可得结论. 【详解】（1）由题意知：为奇函数 所以， 因为，所以， 所以 由， 解得：， 所以的单调递增区间为； （2）由题知：将的图象向右平移个单位得， 即,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍， 得， 因为，所以， 因此， 则且， 所以 【点睛】方法点睛：函数的单调区间的求法：,把看作是一个整体，由求得函数的减区间；求得增区间. 【经典例题十八 求正弦（型）函数的最小正周期】 【例18】（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简可得，根据函数图象逐项进行判断即可得到答案． 【详解】由函数， 由此可作出的函数图象，如图所示， 对于A中，由， 所以关于直线不对称，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由函数图象可知，不存在对称中心，所以C错误； 对于D中，因为，，， 所以函数在上不是单调递增函数，所以D错误. 故选：B. 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）设，.若对任意实数，函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次，则的值是（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 【答案】A 【分析】 根据三角函数的性质，表示出其周期，建立不等式，可得答案. 【详解】由，根据函数在每个周期内出现函数值有两次， 而区间的长度为，为了使长度为的区间内出现不少于2次且不多于次的， 必须使不小于个周期长度，小于3个周期长度， 即，且，解得，由，则或. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 【答案】①④ 【分析】利用三角函数的定义得到，，，再逐项判断. 【详解】对于①：由三角函数的定义可知，， ，故①正确； 对于②：由于，， 函数关于原点对称是错误的，故②错误； 对于③：当时，， 图象关于对称是错误的，故③错误： 对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确， 综上，故正确的是①④. 故答案为：①④ 3．（23-24高一下·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【答案】(1)； (2)（）； (3). 【分析】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【详解】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 【经典例题十九 求含sinx的函数的最小正周期】 【例19】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【分析】根据周期函数的定义判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C 1．（2024·上海奉贤·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的最小正周期为 D．在单调递增 【答案】A 【分析】先由周期的定义判断函数的周期为，然后分析函数在一个周期上的值域和单调区间即可 【详解】由于，所以的最小正周期不是.故C错误； 关于函数的值城，我们可以仅考虑一个周期即可，当时，，当时，，所以的值域为，故A正确，B错误； 当时，，我们可得在时递增； 当时，，我们可得在时递减，故D错误； 故选：A. 2．（2024·上海长宁·模拟预测）已知函数，若对任意的，恒成立，且为奇函数，则函数的最小正周期为 ， ． 【答案】 【分析】根据对任意的，恒成立，得到，再根据为奇函数，得到，两式作差求出，进而得出函数的最小正周期；求出函数解析式，可得． 【详解】因为对任意的，恒成立，所以，即，①；易知，因为为奇函数，所以②．②-①得，即．由于，所以，，所以函数的最小正周期，，又，所以，所以，所以． 故答案为：；． 3．（23-24高一·上海松江·课后作业）已知函数． (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期； (3)求此函数的值域． 【答案】(1)见解析； (2)是周期函数，最小正周期为； (3)值域为. 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数解析式，分别作图； （2）根据函数图象判别周期性； （3）直接由图象即可得到其值域. 【详解】（1） 函数图象如图所示： （2）由图象知该函数是周期函数，其图象至少每隔重复一次，故函数的最小正周期是. （3）由图象易得函数值域为. 【经典例题二十 由正弦（型）函数的周期性求值】 【例20】（23-24高一下·上海·期中）设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先讨论的情形，由恒成立得，时，由所以对任意实数x均有，确定只有，由正弦函数的周期性，，再分类确定的值即可得． 【详解】若，则恒成立，故，而，故. 若，因为对任意实数x均有， 所以对任意实数x均有， 又因为，， 所以只能是对任意实数x均有成立， 由三角函数的图象与性质可知，必有， 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时，，解得，， 又，所以； 若，此时方程可化为， 根据三角函数的周期性，此时，，解得，， 又，所以； 综上满足条件的有序实数对为，，共有3个， 故选：B 1．（2024·上海金山·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 【答案】C 【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可知：，可得， 则， 结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角， 所以小明弹奏的音是“角”. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 【答案】 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【详解】（1）依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. （2）当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. （3）由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 【经典例题二十一 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心】 【例21】（23-24高一下·上海徐汇·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解. 【详解】，作出和在区间上的图象如图， 可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为． 同时，，， 可得，故的图象关于直线对称， 因此，故所有零点之和为， 故选：B． 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）如图， 函数的图象经过点和， 则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若， 则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数图象求出周期，即可求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦函数的性质判断即可； 【详解】解：，所以，所以，则A正确； ，由的图象过点，且在附近单调递增，所以，结合，可得，则B正确； 所以， 由，得，所以，则C错误； ，当时，，所以函数的图象关于直线对称，则D正确. 故选：C 2．（2024·上海崇明·一模）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则图象的对称中心为 ． 【答案】 【分析】先通过单调区间确定周期的范围，进而得到的范围，再通过结合的范围可得的值，进而根据正弦函数的性质求对称中心. 【详解】由在上单调递增，在上单调递减可得，解得， 又，解得，解得 所以当时，，所以， 令，得， 所以图象的对称中心为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 【答案】(1)；对称轴为 (2) 【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式； （2）用整体代入法，根据正弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期； 令 对称轴为 ； （2）当 时，  ， 所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增； 所以函数的单调递增区间是. 【经典例题二十二 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例22】（23-24高一下·上海虹口·期末）函数的图象的一条对称轴方程是，则的值是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】A 【分析】 利用三角函数对称轴和最值的关系，列式求解. 【详解】函数的最大值为， 因为函数的图象的一条对称轴方程是， 所以，解得：. 故选：A 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 【答案】C 【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可. 【详解】，，的一个对称中心为， ，，的对称轴方程， 有，解得， 又，所以，，为奇数， 在上单调，则，得， 由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止， 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上不单调，不符合题意； 当时，，有， 得，由得， 此时，可以验证在上单调，符合题意； 综上，的最大值为15. 故选：C． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)对称轴为，单调递增区间为 (2) 【分析】(1)将看成整体，然后求函数对称轴时，令，求出即可，同样求函数的单调递增区间时，因为，所以令，求出其范围即可. (2)由题意知：，同样利用整体思想，只需满足，然后求不等式的解集. 【详解】（1）解：因为， 由，得， 所以函数的对称轴为； 令，得， 所以的单调递增区间为. （2）由可得，, 所以, 解得,即不等式的解集为. 【经典例题二十三 利用正弦函数的对称性求参数】 【例23】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B 1．（2024·上海徐汇·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值. 【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，且函数在附近单调递减， 所以，，解得， 又因为，所以，，则， 因为，可得， 所以，， 因为、，则，， 因为，则，所以，， 故. 故选：C. 2．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则 . 【答案】3 【分析】根据正弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解. 【详解】由题意知的图象关于轴对称， 因此，解出， 因为在上单调递减，， 所以，解得. 又，所以， 即. 故答案为：3 3．（2024·上海·模拟预测）已知函数，． （1）若函数在区间上递减，求实数a的取值范围； （2）若函数的图像关于点对称，且，求点Q的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用二倍角和辅助角公式化简，再结合三角函数的图像和性质可求实数a的取值范围； （2）根据对称问题及，求解范围，再结合图像即可确定点Q的坐标． 【详解】== 令得，所以在单调递减， 又因为在区间上递减， 所以，即实数a的取值范围为： （2）因为，则， 又因为函数的图像关于点对称，所以是函数的一个零点. 令得 所以的坐标为 【经典例题二十四 正弦函数图象的应用】 【例24】（23-24高一下·上海松江·课后作业）当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】在同一坐标系内作出时函数与在内的图象，利用图象的交点个数判断. 【详解】对于A，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有2个交点，A错误； 对于B，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有4个交点，B正确； 对于C，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有6个交点，C错误； 对于D，当时，函数的周期为， 函数与在内的图象如图， 它们有8个交点，D错误. 故选：B 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论． 【详解】设，圆半径为，则， 时，，， 时，如下图，，， 又， 所以，， 由正弦函数的图象知，只有A满足题意． 故选：A． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 . 【答案】0 【分析】作出函数与函数的图象，根据图象结合对称性求解即可. 【详解】函数与函数的图象如下图所示 不妨设方程的所有根从小到大为， 由对称性可知， 则方程的所有根的和等于0. 故答案为：0 3．（2024高一·上海松江·专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＝，若，求C. 【答案】或 【分析】由△ABC中A＝，可知 代入中消角化简可得，解三角方程可得角C. 【详解】△ABC中A＝， 又， ， 最终可得 又△ABC中即 =或= 或 【经典例题二十五 正弦函数对称性的其他应用】 【例25】（23-24高一下·上海杨浦·期末）若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原问题等价于在内有两个不同的解，，利用正弦函数的性质可求得，进而可得答案． 【详解】在内有两个不同的解，， 等价于在内有两个不同的解，， ，则 依题意，得 ，解得， 所以. 故选：B 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数满足关系式，其中，，则在区间内至少有（    ）个零点. A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由函数对称性的定义可得，函数的图像关于点对称，关于直线对称； 求得周期的最大值为，再结合三角函数的图像及其性质即可求解. 【详解】由题意得，，可知函数的图像关于点对称， 又有可得函数关于直线对称， 根据正弦函数的周期性，其周期的最大值为， 此时有，（），因为， ， 所以，；即或， 所以或；令，得（）， 即（），由题意得：，解得，， 所以，共有个值，即或在内存在个零点. 当周期缩小时，对应的零点数必增多，所以在至少有个零点， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数图象，根据三角函数对称性得，解得，进而得答案． 【详解】作出函数图象，不妨设，如图， 根据三角函数的对称性得可得， 另一方面，，即， 所以， 故答案为： 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 【答案】(1)函数的最小值，此时的值为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数分析运算. 【详解】（1）∵ ， 即， 令，解得， 故函数的最小值，此时的值为. （2）由（1）可知：， ∵，则，， 故，且， 结合正弦函数可得：若在上有四个不同的根，则的取值范围为， 设在上的四个不同的根由小到大依次为， 当时，则， 整理得，故； 当时，则， 整理得，故； 综上所述：当时，四个根之和为； 当时，四个根之和为. 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定. 【详解】由题意得，所以， 所以，即，A正确； 因为，所以，B不正确； 当时，，C不正确； 由，所以，所以， 所以，D不正确. 故选：． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】注意到当时，在上的最小值为，最大值为1； 在上的最小值为，最大值为1，但不满足，这个形式，故①错误； 又注意到当时，在上，当时，取最小值，时，取最大值； 在上，当时，取最小值，时，取最大值；满足且，故②正确. 故选：B 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期性判断命题（1），利用正弦函数单调性求出函数的单调区间判断（2），利用正弦函数的对称性求出对称轴判断（3），利用函数平移法则结合函数的对称性判断（4）. 【详解】函数，的最小正周期，（1）正确. 当，时，即，，函数为增函数， ，函数在区间上是增函数，（2）正确. 当，，即，为函数的对称轴，时，， 函数的图象关于直线对称,（3）正确. 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位， 图象关于轴对称，为偶函数,（4）错误. 真命题的个数是3个. 故选：C 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令的值最大，根据，根据正弦函数图象进行推断． 【详解】解：令的值最大，当，，为最大值， ，，都能构成某个三角形的三条边， ，即， 当，在直线的上方时满足条件， 故的最大值为， 故选：． 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，圆半径为，则，分和分别求出，得的表达式，结合正弦函数的性质可得结论． 【详解】设，圆半径为，则， 时，，， 时，如下图，，， 又， 所以，， 由正弦函数的图象知，只有A满足题意． 故选：A． 6．（23-24高一下·上海闵行·期中）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求得的单调递增区间. 【详解】函数的单调区间为 由， 解得 所以函数的单调递增区间是 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 8．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 9．（2024·上海浦东新·三模）函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则 . 【答案】/ 【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【详解】设函数的最小正周期为， 由题意可得：函数的最大值为，最小值为， 则，可得，且，解得， 可得， 因为，则，解得， 又因为，则， 可得， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 11．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，. 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用“五点法”按照列表、描点、连线的过程画出函数图象； （2）列表，描点，画出图像，再结合函数的奇偶性，画出完整图像. 【详解】（1）因为， 列表： 描点、连线，函数图象如下图所示：    （2）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 解：列表 x 0 0 1 0 1 0 作图：先作出的图像，又原函数是偶函数， 图像关于y轴对称，即可作出的图像.    12．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）下图是函数的图像，请根据图中的信息，写出该图像的一个函数表达式．    【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据图象结合正弦函数性质，利用五点法求，进而可得结果. 【详解】由图可知：，即，不妨取， 且函数的最小正周期， 即，可得，不妨取， 可得， 代入点，可得， 注意到点在单调递增区间之内，可得， 即，不妨取， 所以. 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【详解】（1）依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. （2）依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. （3）因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 15．（23-24高一下·上海·阶段练习）某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中点G、M分别在AB和AD上，点H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，． (1)当时，求健身室的面积；（精确到0.1平方米） (2)求健身室的面积的最大值，并指出此时点H的位置． 【答案】(1) (2)，点或点 【分析】（1）延长交于，通过解直角三角形，就可以求出矩形的面积； （2）通过令，则，，再化简面积关于的函数，就可以得到二次函数求出最大值． 【详解】（1） 延长交于，当时，则，， ， ， ∴. （2）又由，， ， 其中； 令，因为，所以， 则， ， 根据二次函数的性质可知：当，即时，取得最大值500， 此时有，又，或， 即， ∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正弦函数的图像与性质重难点题型专训（25大题型+15道提优训练） 题型一 五点法画正弦函数的图象 题型二 y=Asinx+B的图象 题型三 含绝对值的正弦函数的图象 题型四 求sinx的函数的单调性 题型五 求sinx型三角函数的单调性 题型六 利用正弦型函数的单调性求参数 题型七 比较正弦值的大小 题型八 解正弦不等式 题型九 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 题型十 求含sinx(型)函数的定义域 题型十一 求含sinx(型)函数的值域和最值 题型十二 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 题型十三 求含sinx（型）的二次式的最值 题型十四 求正弦（型）函数的奇偶性 题型十五 求含sinx的函数的奇偶性 题型十六 由正弦（型）函数的奇偶性求参数 题型十七 由正弦函数的奇偶性求函数值 题型十八 求正弦（型）函数的最小正周期 题型十九 求含sinx的函数的最小正周期 题型二十 由正弦（型）函数的周期性求值 题型二十一 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 题型二十二 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 题型二十三 利用正弦函数的对称性求参数 题型二十四 正弦函数图象的应用 题型二十五 正弦函数对称性的其他应用 知识点01 正弦函数的性质 一、周期性 ①函数的周期定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②最小正周期 (a)定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期；(b)正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π； ③函数y＝sinx的周期都是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π； ④函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝； 二、值域与最值 定义域：R； 值域：[－1,1]； 最值：x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1； ①奇偶性 奇函数 ②单调性 在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减； ③正弦函数y＝sinx的图像特征 图像 对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 二、定义 三角函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y＝cosx 正切函数y＝tanx 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 最大值 x＝＋2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； x＝2kπ(k∈Z)时， ymax＝1； 无最值 最小值 x＝－＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时， ymin＝－1 无最值 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 在 (k∈Z)上递增； 在 [(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)上递增； 在 (k∈Z)上递增 单调减区间 在 (k∈Z)上递减 在 [2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)上递减 无 图像 【经典例题一 五点法画正弦函数的图象】 【例1】（2024高一下·上海松江·专题练习）利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 2．（23-24高一下·上海松江·课前预习）五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象. 在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是 ， ， ， ， . 3．（2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，． (3)， 【经典例题二 y=Asinx+B的图象】 【例2】（23-24高一下·上海静安·期末）函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知定义在上的函数满足：，且当时，.若对任意的，都有，则实数m的取值范围是 . 3．（23-24高一·上海松江·课后作业）用五点法画出函数的大致图象． 【经典例题三 含绝对值的正弦函数的图象】 【例3】（23-24高一下·上海奉贤·期末）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．8 B．10 C．12 D．14    1．（23-24高一下·上海虹口·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24高一下·上海松江·课后作业）函数的图象与直线的交点共有 个. 3．（23-24高一下·上海松江·课后作业）函数，方程有个根，求实数的取值范围． 【经典例题四 求sinx的函数的单调性】 【例4】 （23-24高一下·上海·单元测试）若、，，且，则（    ） A．； B．； C．1； D．． 1．（23-24高一下·上海·期中）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）矩形ABCD中，，，AD的中点为M，折叠矩形使得点A落在边CD上，则点M到折痕的距离的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【经典例题五 求sinx型三角函数的单调性】 【例5】（23-24高一下·上海·期末）函数的单调递增区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知． (1)求函数的最小正周期T； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域． 【经典例题六 利用正弦型函数的单调性求参数】 【例6】（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 3．（2024·上海普陀·一模）设函数的表达式为，其中. (1)设，，若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围； (2)若对任意的，皆有成立，且函数在区间上是严格增函数，求函数的最小正周期. 【经典例题七 比较正弦值的大小】 【例7】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知，，且，．则是(    ) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 2．（2024高一下·上海·专题练习）设，，，则，，的大小关系为 按由小到大顺序排列 3．（23-24高一下·上海·课堂例题）利用正弦（型）函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与. 【经典例题八 解正弦不等式】 【例8】（23-24高一下·上海金山·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海长宁·期中）在上满足的的取值范围是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）可以利用正弦函数和的图像，并结合正弦函数的周期性来求解不等式.请根据上述方法求函数的定义域. 【经典例题九 利用正弦型函数的单调性求函数值或值域】 【例9】（2024·上海青浦·模拟预测）已知是定义域为R且周期为2的函数，当时，则（    ） A． B． C． D．1 1．（2024·上海·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数，若，则的最小值是 . 3．（2024·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【经典例题十 求含sinx(型)函数的定义域】 【例10】 （23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 1．（2024高一下·上海松江·阶段练习）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）写出一个定义域为值域为的函数 . 3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【经典例题十一 求含sinx(型)函数的值域和最值】 【例11】（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的图象关于对称．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数的零点分别是，函数，则 ． 3．（23-24高一下·上海松江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【经典例题十二 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数】 【例12】（23-24高一下·上海金山·期末）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 3．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)若函数的最小正周期为，求的值； (2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【经典例题十三 求含sinx（型）的二次式的最值】 【例13】（23-24高一下·上海·期中）已知线段AB的长为4，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，其中∥（如图）则这个梯形的周长的最大值为（　　） A．8 B．10 C． D．以上都不对 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知关于的方程（）在有四个不同的实数解，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时的所有值的集合： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【经典例题十四 求正弦（型）函数的奇偶性】 【例14】（2024·上海松江·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 1．（2024·上海青浦·模拟预测）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的周期为 ： ． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）设，，其中为非零实常数． （1）若，，求； （2）试讨论函数在上的奇偶性与单调性，并证明你的结论． 【经典例题十五 求含sinx的函数的奇偶性】 【例15】（23-24高一下·上海崇明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）已知函数关于此函数的说法正确的序号是（    ） ①为周期函数；                   ②有对称轴； ③为的对称中心；          ④. A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 2．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）已知函数，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4). 【经典例题十六 由正弦（型）函数的奇偶性求参数】 【例16】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，设. (1)若，求函数的单调减区间； (2)设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值. 【经典例题十七 由正弦函数的奇偶性求函数值】 【例17】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C．0 D．-1 1．（23-24高一下·上海松江·课后作业）定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海虹口·阶段练习）在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数，函数为奇函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，证明：当时，. 【经典例题十八 求正弦（型）函数的最小正周期】 【例18】（2024高一下·上海·专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的周期为 C．是的一个对称中心 D．在区间上单调递增 1．（23-24高一下·上海普陀·期中）设，.若对任意实数，函数在区间上函数值出现的次数不少于2次且不多于6次，则的值是（    ） A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是 .（填上所有正确的序号） ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 3．（23-24高一下·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【经典例题十九 求含sinx的函数的最小正周期】 【例19】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 1．（2024·上海奉贤·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的最小正周期为 D．在单调递增 2．（2024·上海长宁·模拟预测）已知函数，若对任意的，恒成立，且为奇函数，则函数的最小正周期为 ， ． 3．（23-24高一·上海松江·课后作业）已知函数． (1)画出函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期； (3)求此函数的值域． 【经典例题二十 由正弦（型）函数的周期性求值】 【例20】（23-24高一下·上海·期中）设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（2024·上海金山·二模）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式在上有解，求实数m的取值范围； (3)将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【经典例题二十一 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心】 【例21】（23-24高一下·上海徐汇·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海静安·阶段练习）如图， 函数的图象经过点和， 则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若， 则 D．函数的图象关于直线对称 2．（2024·上海崇明·一模）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则图象的对称中心为 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期和对称轴． (2)当时，求函数的单调增区间． 【经典例题二十二 正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系】 【例22】（23-24高一下·上海虹口·期末）函数的图象的一条对称轴方程是，则的值是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 1．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ） A．17 B．16 C．15 D．13 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）若函数的图像关于直线对称，则 . 3．（23-24高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数． (1)求的对称轴和单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【经典例题二十三 利用正弦函数的对称性求参数】 【例23】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 1．（2024·上海徐汇·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海虹口·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则 . 3．（2024·上海·模拟预测）已知函数，． （1）若函数在区间上递减，求实数a的取值范围； （2）若函数的图像关于点对称，且，求点Q的坐标． 【经典例题二十四 正弦函数图象的应用】 【例24】（23-24高一下·上海松江·课后作业）当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 . 3．（2024高一·上海松江·专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A＝，若，求C. 【经典例题二十五 正弦函数对称性的其他应用】 【例25】（23-24高一下·上海杨浦·期末）若关于的方程在内有两个不同的解，，的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知函数满足关系式，其中，，则在区间内至少有（    ）个零点. A．4 B．6 C．7 D．9 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，若满足（互不相等），则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海黄浦·期中）已知函数. (1)求函数的最小值及取得最小值时相应的的值； (2)若在上有四个不同的根，求的取值范围及四个根之和. 1．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，在上的最小值为，最大值为，在上的最小值为，最大值为，有以下两个命题：①且的充要条件是，；②存在，使且；下列选项正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海杨浦·期中）如图，为定圆的直径，点为半圆上的动点.过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为.记弧的长为，线段的长为，则函数的大致图像是（    ） A． B． D． D． 6．（23-24高一下·上海闵行·期中）函数的单调递增区间是 . 7．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 8．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 9．（2024·上海浦东新·三模）函数在一个周期内的部分取值如下表： 1 则 . 10．（23-24高一下·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 11．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，. 12．（2024·上海·模拟预测）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 13．（23-24高一·上海·课堂例题）下图是函数的图像，请根据图中的信息，写出该图像的一个函数表达式．    14．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函数的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 15．（23-24高一下·上海·阶段练习）某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，半径为40米，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中点G、M分别在AB和AD上，点H在弧EF上，设矩形AGHM的面积为S，． (1)当时，求健身室的面积；（精确到0.1平方米） (2)求健身室的面积的最大值，并指出此时点H的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$