专题03 函数y= Asin(ωx + φ)的图像重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020必修第二册）

专题03 重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 相位变换及解析式特征 题型二 上下平移变换及解析式特征 题型三 周期变换及解析式特征 题型四 振幅变换及解析式特征 题型五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型六 求图象变化前（后）的解析式 题型七 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型八 识别正（余）弦型三角函数的图象 题型九 由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型十 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型十一 正、余弦型三角函数图象的应用 知识点01 形如的函数： （1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相； （2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定， （3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 （4）函数的图象与图象间的关系： ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位， （5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。 【经典例题一 相位变换及解析式特征】 【例1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移8个单位长度 B．向左平移8个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度 2．（23-24高一下·全国·课后作业）将函数的图象向右平移 个单位长度后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．    3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象． (1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式； (3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【经典例题二 上下平移变换及解析式特征】 【例2】（23-24高一下·上海宝山·期末）几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换，以下两个函数与，其中可以由通过平移得到的是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知函数，把的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，则的解析式为 ；的递减区间为 . 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数： （1）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 【经典例题三 周期变换及解析式特征】 【例3】（23-24高一下·上海松江·阶段练习）将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数的部分图像如图所示，将图像上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图像对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①为奇函数；②为偶函数；③在上的值域为. 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）根据表中数据，求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）条件下，求在上的增区间. 【经典例题四 振幅变换及解析式特征】 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）函数的振幅为（    ） A． B． C． D．2 1．（2024高一下·全国·专题练习）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课堂例题）函数的振幅是 ，周期是 ，频率是 ，初相是 ，图象最高点的坐标是 ．     3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知函数相邻两个最高点的距离等于． （1）求的值； （2）求出函数的对称轴，对称中心； （3）把函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数，再把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，不需要过程，直接写出函数的函数关系式. 【经典例题五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例5】（23-24高一下·上海青浦·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 1．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 2．（23-24高一下·上海·课前预习）图像变化的两种操作思路 思路一： ， 得到， ， 得到， ， 得到. 思路二： ， 得到， ， 得到， ， 得到. 3．（23-24高一下·全国·课前预习）如图是与的图象，你能发现什么？ 【经典例题六 求图象变化前（后）的解析式】 【例6】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．1 D．0 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则的可能取值为 （写出一个满足条件的答案即可）． 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为，且经过点 (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值． 【经典例题七 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例7】（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求的对称轴方程． 【经典例题8 识别正（余）弦型三角函数的图象】 【例8】（23-24高一下·全国·课后作业）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海宝山·三模）如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是 ． 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．    (1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 【经典例题九 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 【例9】（23-24高一下·全国·课后作业）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数在一个周期内的图象如下图所示，则函数解析式为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 【经典例题十 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 【例10】（2024·上海普陀·二模）设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（    ） A． B． C．2 D． 1．（2024·天津西青·模拟预测）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数（，，），的图像，图像的最高点为，曲线段上的入口D到海岸线的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路的长为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．3千米 2．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【经典例题十一 正、余弦型三角函数图象的应用】 【例11】（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 1．（2024·上海虹口·二模）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 1．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，的图象可以看做是把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，则为(　　) A． B．2 C．3 D． 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 5．（2024·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·全国·课堂例题）φ对函数的图象的影响 一般地，函数的定义域为______，值域为______，周期是______． 7．（23-24高一下·全国·随堂练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为 ． 8．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的图象如图所示，则 . 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为，，，，且，则的取值范围是 . 10．（2024·上海崇明·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 11．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合； (2)用“五点法”画出在上的图象. 12．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定的解析式. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 13．（23-24高一下·上海长宁·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求最小值． 0 0 5 0 0 14．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，与x轴交于点，且平行四边形EDCB的面积为. (1)求函数的解析式 (2)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围 15．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图是函数，的部分图像，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点． (1)求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 相位变换及解析式特征 题型二 上下平移变换及解析式特征 题型三 周期变换及解析式特征 题型四 振幅变换及解析式特征 题型五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程 题型六 求图象变化前（后）的解析式 题型七 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型八 识别正（余）弦型三角函数的图象 题型九 由图象确定正（余）弦型函数解析式 题型十 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 题型十一 正、余弦型三角函数图象的应用 知识点01 形如的函数： （1）几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相； （2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定， （3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 （4）函数的图象与图象间的关系： ①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象； ②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 函数的图象； ③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象； ④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位， （5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。 【经典例题一 相位变换及解析式特征】 【例1】（23-24高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 故选：C． 1．（23-24高一下·上海松江·阶段练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移8个单位长度 B．向左平移8个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移2个单位长度 【答案】D 【分析】利用三角函数图像左右平移变换关系即可选出正确答案. 【详解】设．把函数的图象平移（向左为正数，向右为负数）个单位长度后， 得到的图象． 令， 易知的周期，为了得到函数的图象， 只需令，得， 根据选项可知，， 即把函数的图象向左平移2个单位长度即可得到的图象． 故选：D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）将函数的图象向右平移 个单位长度后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象．    【答案】/ 【分析】结合图象运用五点法求得函数解析式，再运用图象平移变换即可求得结果. 【详解】设图象对应的函数为（）， 根据函数的图象可得，，， 所以， 所以， 将点代入得：，解得：，， 故图象对应的函数为， 故将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数，再进行周期变换可以得到如图所示的图象.. 故答案为：. 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象． (1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式； (3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【答案】(1)3.14 s； (2)s＝4sin，t∈[0，＋∞)； (3) cm. 【分析】(1)根据正弦和余弦型函数的周期性即可由图求解； (2)可以设曲线的解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，根据图像求出参数即可； (3)将t＝0代入(2)中解析式即可求得. 【详解】（1）由题图可知，周期， 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s． （2）可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)， 从题图中可以看出A＝4，．即，即ω＝2， 将t＝，s＝4代入解析式，得，解得φ＝． 所以这条曲线的函数解析式为s＝4sin，t∈[0，＋∞)． （3）当t＝0时，s＝4sin (cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是 cm． 【经典例题二 上下平移变换及解析式特征】 【例2】（23-24高一下·上海宝山·期末）几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换，以下两个函数与，其中可以由通过平移得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移变换判断. 【详解】A.因为， ，所以是由向左平移得到，故正确； B.因为，所以无法由平移得到，故错误； C.因为，所以无法由平移得到，故错误； D. 因为，所以无法由平移得到，故错误； 故选：A 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据三角函数图象的变换得出的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析的条件并求解的值. 【详解】由题意可知，则函数的最大值为，最小值为， 又的最大值为， 所以当有实根时，的最大值点与的最小值点重合， 故应平移个单位，所以， 得，故只有C选项符合. 故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于： （1）得出函数的解析式； （2）分析出时，的最大值点与的最小值点重合. 2．（23-24高一下·上海静安·期中）已知函数，把的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，则的解析式为 ；的递减区间为 . 【答案】 【分析】根据函数图象平移的知识，由得到g（x）的解析式；画出函数的图像即可求单调减区间 【详解】∵函数，f（x）的图象向右平移一个单位，得到y的图象，再向上平移一个单位，得到再向上平移一个单位，得到=的图象；∴函数=,画出函数的图像如图：则的递减区间为 【点睛】本题考查了函数图象平移的知识以及函数图像，考查利用图像求单调区间，是基础题． 3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数： （1）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值； （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 【答案】（1）x时，，最小值为， x时，最大值为2；（2）． 【分析】（1）根据三角函数的单调性的性质； （2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴2x∈[，]， ∴sinx（2x）≤1，即f（x）∈[，2]， 当x时，f（x）取得最小值，最小值为， 当x时，f（x）取得最大值，最大值为2； （2）函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象， 则g（x）＝2sin[2（x）]+1＝2sin（2x）+1， 令g（x）＝2sin（2x）+1＝0，解得xkπ或xkπ，k∈Z， 即g（x）的零点相离间隔依次为或， 故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b﹣a的最小值为109． 【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题． 【经典例题三 周期变换及解析式特征】 【例3】（23-24高一下·上海松江·阶段练习）将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的解析式 【详解】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得， 故选：D. 1．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数的部分图像如图所示，将图像上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图像对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可求出，进而可得，令 结合即可求得的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求的解析式. 【详解】由图知， 所以，可得，解得， 所以， 令，所以， 因为，所以令，可得， 所以， 将图像上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）， 可得， 故选：B 2．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数： . ①为奇函数；②为偶函数；③在上的值域为. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据①②可知是周期为4的周期函数，可根据三角函数的周期关系写出符合题意的函数形式. 【详解】由②可知，由此可知，， 故是周期为4的奇函数，是周期为4的偶函数， 因此不妨假设，则， 由③可知或均可. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）根据表中数据，求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）条件下，求在上的增区间. 【答案】（1）；（2）最小值为；（3），. 【分析】（1）直接利用五点法的应用求出相应的值． （2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式． （3）利用整体思想，求出函数的单调区间． 【详解】（1）由表可知，①，②， 联立①②解得，， 0 0 5 0 -5 0 . （2）∵向左平行移动个单位后可得：， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）可得：， 令，，∴，， ∴当时，此时最小值为； （3）因为， 令，， 所以，， 又，∴或， ∴增区间为，. 【经典例题四 振幅变换及解析式特征】 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）函数的振幅为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用三角函数振幅的定义求解即可. 【详解】因为该函数符合的形式，所以函数的振幅为2， 故选：D. 1．（2024高一下·全国·专题练习）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果. 【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到， 再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 将上所有点向左平移个单位，得到， 故选：A. 2．（23-24高一·全国·课堂例题）函数的振幅是 ，周期是 ，频率是 ，初相是 ，图象最高点的坐标是 ． 【答案】 6 【分析】根据解析式定义分别求振幅，周期，频率，初相及最值点即可. 【详解】由表达式知，振幅是6，，，， 当，即时，函数取得最大值6． 故答案为：， ，  ，  . 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）已知函数相邻两个最高点的距离等于． （1）求的值； （2）求出函数的对称轴，对称中心； （3）把函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数，再把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，不需要过程，直接写出函数的函数关系式. 【答案】（1）2；（2），；（3） 【分析】（1）由题意知最小正周期为，利用即可求得. （2）由（1）可知函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出对称轴及对称中心； （3）根据函数的变换规则求得函数的函数关系式. 【详解】解：（1）由函数相邻两个最高点的距离等于， 知函数的最小正周期为， 且 （2）由（1）知， 令， 解得， 故函数的对称轴为，； 令， 解得， 故函数的对称中心为，； （3） 【点睛】本题主要考查了函数的图象变换，由的部分信息确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 【经典例题五 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 【例5】（23-24高一下·上海青浦·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式的得到，然后根据图象的平移变换判断. 【详解】， 所以的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 1．（23-24高一下·上海杨浦·期末）已知函数，函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【分析】根据函数图象可得解析式，再根据三角函数的左右平移可得解. 【详解】由图象，且，可知， 又，即， 解得，又，则， 所以， 由函数图象过点，即， 解得，， 又，则， 所以， 所以要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位， 故选：A. 2．（23-24高一下·上海·课前预习）图像变化的两种操作思路 思路一： ， 得到， ， 得到， ， 得到. 思路二： ， 得到， ， 得到， ， 得到. 【答案】 （振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍. 【详解】略 3．（23-24高一下·全国·课前预习）如图是与的图象，你能发现什么？ 【答案】答案见解析 【详解】由图象我们可以看到，函数变成，其周期从变成了，即函数的图象拉长了， 对于同一个y值，的图象上的点的横坐标总是等于的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的. 【经典例题六 求图象变化前（后）的解析式】 【例6】（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值. 【详解】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故. 故选：B 1．（23-24高一下·上海崇明·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则的可能取值为 （写出一个满足条件的答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知函数的平移得出的图象即可得，可得答案. 【详解】由题函数的图象向左平移个单位后得到可得的图象， 要得到的图象， 只需，即，故的值可能为 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为，且经过点 (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，再由可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】（1）解：由已知可得，，可得， 所以，，得， 因为，则，故， . （2）解；将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则， 因为，则， ，则，故. 【经典例题七 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 【例7】（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数的部分函数图像如下图，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得；由可知其周期为，结合可求得结果. 【详解】由图象可得：，解得：； 又，，解得：， ，，； ，的周期为， 又，. 故选：C 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式. 【详解】根据题意可设， 因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点， 所以， 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数， 由，得， 又因为， 所以，，， 所以该函数的单调递增区间是，，，. 故选：B 2．（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 3．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求的对称轴方程． 【答案】(1)填表见解析；作图见解析 (2) 【分析】（1）用“五点法”填表并画出在上的图象即可； （2）根据三角函数图象平移规律可得的图象，再求的对称轴可得答案． 【详解】（1）由题意可得表格如下： 0 0 0 可得图象如下图所示： （2）将的图象向上平移1个单位得到的图象，再将横坐标缩短为原来的可得到的图象，再向右平移个单位可得的图象， 即， 令，解得， 所以的对称轴方程是． 【经典例题8 识别正（余）弦型三角函数的图象】 【例8】（23-24高一下·全国·课后作业）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据平移，即可得出A项；根据特殊点的坐标，以及函数的最值，即可判断B、C、D项. 【详解】因为. 对于A项， 作出函数的图象 将该函数图象，向左平移即可得出的图象，故A正确； 对于B项，当时，，故B项错误； 对于C项，当时，，故C项错误； 对于D项，因为函数有最大值为2，故D项错误. 故选：A. 1．（23-24高一下·上海普陀·阶段练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义判断对称性，在趋向时的变化趋势，应用排除法，即可得答案. 【详解】由题设定义域为，且， 所以为偶函数，排除D； 当时，，此时趋向，趋向，排除A、C； 故选：B 2．（2024·上海宝山·三模）如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是 ． 【答案】4 【详解】试题分析：由题意可设，又∠AOB＝，所以 考点：三角函数性质 3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．    (1)求这一天6～14时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 【答案】(1)20℃ (2)， 【分析】（1）图中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可得； （2）由最高最低点可确定、，由周期可确定，由定点可确定. 【详解】（1）图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差， 观察图形得出这段时间的最大温差为℃； （2）由图可知,，， 解得，， ，，， 将代入，得， 即，即，， ，， 可取，故解析式，. 【经典例题九 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 【例9】（23-24高一下·全国·课后作业）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象分别求得两个图象对应的函数分别为，，可得和弦可以表示为，再逐项判断即可. 【详解】设图①和图②所表示的正弦函数分别为， 由图①可得，又函数图象过点，所以， 所以，结合图象可得，所以， 所以， 由图②可得周期为，又，所以，可得， 所以该和弦可以表示为， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误， 故该和弦的一个周期可能为． 故选：C. 1．（2024高一下·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的最大最小值可确定的值，由周期可确定的值，最后代入图像上已知点的坐标即可求出的值. 【详解】由函数的部分图象知，解得， 又，解得，所以， 由于，所以，故函数的解析式为， 又由图像可知，处的函数值为3，所以， 即.所以可得，解得， 又，所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数在一个周期内的图象如下图所示，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象可得最值与对称性，可得函数解析式中的值与周期性，利用周期公式可得的值，代入最高点的坐标，可得答案. 【详解】由图象可知，最小正周期，所以，故， 将点代入得，所以，即， 又，所以，则. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知函数（，，）的图像与y轴的交点为，并已知其在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．求此函数的表达式． 【答案】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出函数的解析式. 【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又因为，且，则， 所以， 又函数图象过点，则，可得， 由，且点在单调递增区间之内，解得， 所以. 【经典例题十 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 【例10】（2024·上海普陀·二模）设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题设得且，结合已知可得且，分类讨论求范围，即可得答案. 【详解】由题意知：且，则，， 又且，则，即，， 所以且， (或n为其它大于1的整数)不满足；时；时， 所以满足要求，其它不符合. 故选：D 1．（2024·天津西青·模拟预测）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数（，，），的图像，图像的最高点为，曲线段上的入口D到海岸线的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路的长为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．3千米 【答案】C 【分析】结合图像中的数据求出函数的解析式，由此可求的坐标，再求的长. 【详解】由图像可得函数的最大值为2，周期 所以，，又函数的图像经过点， 所以，又，所以， 所以， 因为D到海岸线的距离为千米，可设的坐标为， 所以，又， 所以， 所以景观路的长为（千米）， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的范围，由正弦函数的图像性质可得解. 【详解】由，可得， 因为函数，，恰有2个零点，由正弦函数图像性质可得 ，从而解得. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 【经典例题十一 正、余弦型三角函数图象的应用】 【例11】（23-24高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 【答案】C 【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，即可得出正确选项. 【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，则， 函数与函数的最小正周期相等，则， 当，时，由于，则， 由于，此时，； 当，时，， 则，得，，此时，； 当，时，， 则，得，，则； 当，时，， 则，得，，则. 因此，满足条件的有序实数组的组数为组. 故选：C． 1．（2024·上海虹口·二模）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】，， 因为函数在上恰好有两个零点，所以， 解得. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 【答案】（2）（3） 【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可. 【详解】由，即， 所以， 由，即， 所以， 综上，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，该周期内的区间为， 故恒有，（1）错，（2）对； 当，时，； 当时，； 当时，； 综上，任意，恒成立，（3）对. 故答案为：（2）（3） 3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”． (1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围； (2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或或. 【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围； （2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案. 【详解】（1）由已知得存在实数，使得， ∴， ∴实数m的取值范围是. （2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于： 对是任意实数，关于的方程都有解， 则对于时有解，即,∴； 反之，当时，,等价于 ，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解. 综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件； （3）由已知得，， 化简得，的最小正周期为； 根据函数在上的图象可知： ①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”； ②当时，在有个“跃点”，此时； ③当或时，在上有个“跃点”，故； 综上：或或. 【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决. 1．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，的图象可以看做是把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，则为(　　) A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数y＝cos ωx，x∈R (其中ω>0，ω≠1)的图像， 是由余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的. 所以，解得， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海杨浦·阶段练习）若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一条对称轴方程可能为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的图象求得其解析式，再判断即可. 【详解】由题意得，， 即， 把点代入方程可得， 所以，，即，， 因为，所以， ， 因为， 经检验，其他选项都不满足，所以函数的一条对称轴方程为， 故选：A． 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可解得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以. 又，所以，则函数，， 当时，， 因为在上恰有2个零点，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 4．（2024高一下·上海嘉定·阶段练习）函数的部分图像如图中实线所示，图中圆与的图像交于两点，且在轴上，则下列说法中不正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递减 C．函数的图像向左平移个单位后关于直线对称 D．若圆半径为，则函数的解析式为 【答案】B 【分析】由中心对称得到周期，从而得，由可得，从而可判断A，B，D，结合平移后的解析式可判断C. 【详解】对于A，根据中心对称，可知点的横坐标为， 所以的最小正周期，故A正确； 对于B，由周期可得，又，即，，且， 所以，因此，由，可得， 所以函数在上不单调，故B错误； 对于C，函数的图像向左平移个单位后，得到函数， 对称轴为，即，故关于直线对称，故C正确； 对于D，若圆半径为，则，所以，函数解析式为，故D正确． 故选:B 5．（2024·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的解析式，在同一坐标系内作出图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时，的面积，根据规律，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 在同一坐标系内作出图像，如下图所示 令，解得， 不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B， 所以 若C点位于时，的面积，故C正确 当C点位于时，的面积， 当C点位于时，的面积，故B正确， 因为，此时为面积的2倍， 以此类推，当C位于不同位置时，的面积应为的整数倍，故A正确，D错误， 故选：D 6．（23-24高一下·全国·课堂例题）φ对函数的图象的影响 一般地，函数的定义域为______，值域为______，周期是______． 【答案】左；右；； R ；；2π. 【分析】略 【详解】略 7．（23-24高一下·全国·随堂练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换即可求解. 【详解】由题意，将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的图象如图所示，则 . 【答案】/ 【分析】依据图象求得函数解析式，代入即可求得结果. 【详解】根据图象可知， 且，所以，解得， 又图象过点，所以， 即，解得， 又，所以，可得； 因此. 故答案为： 9．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知函数的图象与直线在区间上恰有4个交点，从左向右依次为，，，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用周期性来研究交点得到的线段长，再与总区间长度进行比较分析即可得到范围，再利用与直线的交点坐标可解得. 【详解】 由题意得，又， 所以，， 所以，且， 解得， 又因为，此时，所以， 解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 10．（2024·上海崇明·模拟预测）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面 .米 【答案】 【分析】利用三角函数的应用建立距离水平地面的高度关于的关系式，再代入即可得解. 【详解】依题意，设距离水平地面的高度， 所以，，则， 所以， 则， 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海长宁·阶段练习）已知函数. (1)求的最大值及取得最大值时对应的的取值集合； (2)用“五点法”画出在上的图象. 【答案】(1)4； (2)答案见解析 【分析】（1）根据正弦函数的性质，即可求解； （2）首先列表，再根据“五点法”作图，即可画出图象. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则的最大值为4. 此时， 解得. 故当取得最大值时，对应的的取值集合为. （2）列表如下： 4 1 -2 1    12．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数的两个相邻零点之间的距离为，__________；从以下三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定的解析式. 条件①：的一条对称轴为； 条件②：的一个对称中心为； 条件③：为偶函数. 【答案】答案见解析 【分析】选①②③时，均可根据整体法求出，结合周期可求解析式； 【详解】因为两个相邻零点之间的距离为，故，故. 选①，因为函数的一条对称轴，则， 解得，所以，故； 选②，因为函数的一个对称中心，则， 解得，所以，故； 选③，函数为偶函数， 为偶函数， 得，解得， ，所以，故. 13．（23-24高一下·上海长宁·期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求最小值． 【答案】（1）填表见解析；；（2）． 【分析】（1）根据五点法，计算即可填表，写出解析式； （2）先写出的解析式，用代入法求出的最小值． 【详解】解：（1） 0 0 5 0 0 依题可得，，，所以函数； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度， 得到 又图象的一个对称中心为， 所以 所以，，又 所以，且 所以时取到最小值是． 14．（23-24高一下·上海徐汇·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，与x轴交于点，且平行四边形EDCB的面积为. (1)求函数的解析式 (2)若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，由平行四边形的面积为得，由得，由此即可得函数表达式； （2）结合三角函数、复合函数单调性可列不等式组求解. 【详解】（1）由图可知，又因为平行四边形的面积为， 所以，解得， 所以， 又的图象过点， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以. （2）若，则， 若函数在区间上单调递增， 则由复合函数单调性可知， 所以，解得. 15．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）如图是函数，的部分图像，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点． (1)求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点是线段DM的中点，得到，，从而得到，然后将点D坐标代入求解； （2）根据，得到，再将函数有两个零点，转化为方程有两个不等实数根求解. 【详解】（1）解：因为点是线段DM的中点， 所以，， 则，， 又因为，则， 所以， 由， 故，， 所以，， 又因为，则． 所以， （2）因为， 则， 所以， 即， 因为函数有两个零点，则方程有两个不等实数根， 即函数的图象与有两个交点. 又因为函数在单调递增，在单调递减，且，， 所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$