湖南省永州日升高级中学2025届高三下学期3月月考数学试题

日升高级中学2025届高三3月份月考 数学试题 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足：，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 3．已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 5．在直角中，，，，若，则 A． B． C． D． 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．－85 D．－120 7．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 8．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9．已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的极大值点 B．有3个零点 C．点为图象的对称中心 D．当时， 11．已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当最大时，MN与BC所成的角为 C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等 D．若，则点N的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写；④在上为增函数．其中正确的命题的序是： ． 13．如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种. 14．从1，2，3，，这个数中随机抽一个数记为，再从1，2，，中随机抽一个数记为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角所对的边分别为.已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 16．从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示： 年份 2016 2017 2018 2019 时间代号 1 2 3 4 年销量（万包） 462 444 404 385 （1）根据上表，求关于的线性回归方程．用所求回归方程预测2020年（）方便面在该城市的年销量； （2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望． 参考公式：回归方程：，其中，．参考数据：． 17．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，. (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角. 18．已知函数，且在处取得极值，. （1）证明：函数存在唯一的极小值点； （2）若，且当时，恒成立，求的最大值. 19．如图抛物线，过有两条直线与抛物线交于与抛物线交于， (1)若斜率为1，求； (2)是否存在抛物线上定点，使得，若存在，求出点坐标并证明，若不存在，请说明理由； (3)直线与直线相交于两点，证明：为中点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 日升高级中学2025届高三3月份月考 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C A C C C A A BD BCD ACD 1．C 2．C3．A若数列单调递增则，化简得，令在上递增，所以，所以“”是“数列单调递增”的充分不必要条件，故选：A 4．C由，得， 则，而，解得，因此，由，，得或，则， 所以.故选：C 5．C在直角中，，，，，， 若，则 故选C. 6．C设等比数列{an}的公比为q.因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有（－5－S2）2＝S2（21S2＋5），解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）（1＋q2）＝（1＋q2）S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C. 7．A由题意可得焦点，且直线斜率存在，设直线的方程为：，，， 由可得，所以，，由抛物线的定义可得：，，所以， 因为，所以当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故选：A. 8．A由题意如图所示： 由双曲线，知，所以，所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出， 由题知的内切圆的半径相等，且，的内切圆圆心的连线垂直于轴于点，设为，在中，由等面积法得： 由双曲线的定义可知：由，所以， 所以，解得：， 因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为， 在中，由等面积法得：， 所以，所以，所以 ，所以 ，故选：A. 9．BD由已知有，故，. 所以.对于A，取得，取得， 所以，A错误；对于B，对求导得，取得，B正确； 对于C，在中用替换，得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确.故选：BD. 10．BCD选项A：由，得， 令，解得或，令，得或；令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，故A错误．选项B：令，得， 即，解得或或，即有3个零点，故B正确． 选项C：， 根据二项式定理，又， 于是，令，则函数可转化为， 又为奇函数，故其图像关于点对称，可知的图像关于点对称，图像向右平移单位得到图像，所以点是图像的对称中心，故C正确．选项D：当时，， 又函数在上单调递减，所以，因为点是图像的对称中心，所以，所以，故D正确．故选：BCD 11．ACD过中点作与交，作与交，重复上述步骤， 依次作的平行线与分别交于（注意各交点均为各棱上的中点）， 最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形， 因为，面，面，所以面，同理可得面， 因为，面，所以面面， 所以面中直线都平行于面，又面，且平面， 所以面，即面， 根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，且，，，，，， A：由上分析知：面任意一点到面的距离，即为到面的距离， 而，，若为面的一个法向量， 所以，令，则，而， 所以到面的距离，即到面的距离为， 又△为等边三角形，则， 所以三棱锥的体积为定值，正确； B：由图知：当与重合时最大为，且， 所以MN与BC所成的角，即为，错误； C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，又，同理可得， 所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等，正确； D：若，则点N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆， 因为面面，故也是面的法向量，而， 所以到面的距离为，故轨迹圆的半径， 故点N的轨迹长度为，正确.故选：ACD 12．①④解：，则命题①正确；由， 得，由的图象向右平移个单位得到，命题②错误； ，命题③错误；当时，， 在上为增函数，命题④正确． 13．264计算不同涂色方法数有两类办法： 当涂四色时，先涂A，E，D，有种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F， 若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法， 当涂三色时，先涂A，E，D，有种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是得有种涂法，利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：(种)， 所以不同的涂色方法共有264种.故答案为：264 14．依题意，， 由全概率公式可知 ； ；， ； ；所以 .故答案为： 15．（1）由题得， 因为，， 故，，所以. （2）由（1）得，故由和得， 所以，故， 所以的周长为. 16．（1），，， ，，所以. 当时，. （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，的可能值为0，1，2，3， 所以；； ；， 故分布列为： . 17．（1）平面平面，， 平面，平面，又平面， ，又平面平面，又平面； （2）由（1）可知，又， ，底面为菱形，为的中点，是等边三角形， 由（1）知，所以四棱锥的体. ，如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，平面法向量为，设平面法向量为，则令，则 为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为 故平面与平面的夹角为 18．（1），则， 因为在处取得极值，则，可得，所以，， 所以，，则，故. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，且，所以，，使得， 又，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，存在唯一的极小值点； （2） 依题意得，当时，恒成立， 即在时恒成立.令，则， 令，其中，则，故函数在上单调递增，故， 因为，，所以，，使得，即， 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增， ，即，，故的最大值为. 19．（1）解：由题意，直线方程为，即， 联立方程组，可得，可得且， 所以. （2）解：设直线的方程为，联立方程组，整理得， 设，则， 可得， 即，即， 因为，所以，即， 即，即恒成立，解得，即. （3）解：设，则过，所以，所以， 过，所以，所以，， 联立方程组，可得，同理， 所以 =，所以的中点为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$