精品解析：广西壮族自治区北海市七中2024—2025学年第一高三上学期12月考试数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高三12月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合，利用交集的定义可求. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法计算化简，然后利用虚部概念求解即可. 【详解】， 的虚部是 故选：C 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数概念，求出分位数，也求出平均值，构造方程计算即可． 【详解】因为该组数据共7个，且，所以这组数据的分位数为从小到大第4个数，即6， 又组数据的平均数为，则，解得. 故选：C. 4. 若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得是直角三角形，且，即可得到答案。 【详解】由题得是直角三角形，且． 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得，． 故选：A 5. 设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性确定函数周期即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点中心对称，则. 因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称. 由，得，所以①， 则， 则，， 又由①知，则， 故选：A. 7. 如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦、余弦公式结合正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以在中， 因为， ， 由正弦定理可得：，则， 解得：， 在中，所以， 所以在，由余弦定理可得： ， 所以. 故选：A. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案. 【详解】如图， 由，得，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，由梯形的高为，得， 在中，，则有，， 在中，设，则，， 即，解得， 在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 在区间有两个极值点 C. 的图象关于点中心对称 D. 直线是函数的切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,B两项，只需将看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C，只需将代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断. 【详解】对于A，令，由可得，， 因在上单调递增，故在区间单调递增，即A正确； 对于B，令，由可得， 因在上有一个极小值点， 所以在区间有一个极小值点，故B错误； 对于C，当时，，因， 故的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D，由求导得， 令，解得或，， 则，又， 故曲线在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四棱锥的体积平分，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与直线异面 C. 正四棱锥外接球表面积为 D. 截面不可能为等边三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由得四点共面，且根据线面平行的判定可得平面，判断A正确、B不正确；通过勾股定理计算得及外接球的半径，进而得球的表面积即可判断C；通过求截面最大的顶角可判断D. 【详解】对于A，∵分别是中点，∴，又平面，平面，故直线平面，故A正确； 对于B，由得四点共面，所以，直线与直线不异面，故B不正确； 对于C，设是正四棱锥底面的中心，正四棱锥外接球的球心为，半径为，根据对称性，在上，因为底面边长为1，侧棱长为，则， 由得，解得，外接球表面积，故C正确； 对于D，∵过点的截面将四棱锥的体积平分，所以截面必过，且截面为等腰三角形，设其顶角为.当截面过时，截面的顶角最大，且，，故，所以截面不可能为等边三角形，故D不正确. 故选：AC. 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点的最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线的方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项. 【详解】解：对于A项，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得， ， ，即， 又因为，所以上式可化简整理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则， 所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线， 因为且，所以， 若，则， 所以直线直线； 同理可知当也可判断直线直线， 所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图， 为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为抛物线的焦点，若上的点到焦点距离为3，则的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径公式求出的值，求出抛物线方程，即可求出准线方程. 【详解】抛物线上一点到焦点距离为3， 即，解得，所以抛物线方程，焦点， 所以的准线方程为. 故答案为： 13. 已知，且，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，由此可得，又，据此可得答案. 【详解】因， 则， 得.则 故答案为： 14. 设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，分，两种情况讨论，当时，不存在两个零点，当时，有两个零点时，需，进而求解即可. 【详解】由题， 所以， 当时，对恒成立， 则在单调递增，故不存在两个零点， 当时，若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 要使函数有两个零点，则的最小值， 所以即， 因为，所以，令， 显然在上为增函数，且，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以满足条件的最小正整数， 又当时，，， 所以时，有两个零点， 综上所述，满足条件的最小正整数的值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：利用导数的运算法则即可得出，并对分类讨论得出函数的单调性，再结合根的存在性原理得，进而将问题转化为求的最小正整数的值即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程； （2）利用导数研究函数单调性，求最大值. 【小问1详解】 因为，故， 即切点坐标为， ， 故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为. 【小问2详解】 易得 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时，， 又时恒成立， 所以的最大值为. 16. 平面四边形中，， （1）求的值； （2）和面积分别为和，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在两个三角形和中，利用公共边列出余弦定理方程即可； （2）利用三角形的面积公式表示出，然后结合上一问条件求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理：. 在中，由余弦定理：， 所以，即.. 【小问2详解】 依题意，. 所以 当时取等号（此时，该四边形符合题意），即的最大值为. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 3 6 ，【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得，，再由条件概率公式计算； （2）确定的所有可能取值为，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望． 【小问1详解】 甲、乙、丙答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件， ， ， 所以． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为，0，3，6， 则， ， ， ． 所以的分布列为 0 3 6 故． 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为. （1）求的标准方程； （2）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的内接四边形叫做椭圆的内接矩形，设四边形是椭圆的一个内接矩形，求矩形的周长的最大值； （3）过点的动直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）.点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面积和离心率得和，即可求解； （2）设，，所以矩形的周长为，其中，利用三角函数的性质得到矩形的周长最大值； （3）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，根据三点共线可得，即，化简可得为定点，即可利用三角形面积关系得表达式，结合基本不等式求解最值. 【小问1详解】 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由已知，，即，又，所以， 由可得：，所以， 因为的焦点在轴上，所以的标准方程是； 【小问2详解】 如图，设，， 由对称性可知，， 所以矩形的周长为， 其中， 故当时，矩形的周长取得最大值，最大值为. 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程，得， 即.设点， 则. 因为点关于轴对称，则.设点， 因为三点共线，则，即， 即，即， 得 所以点为定点，， . 令，则. 当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024—2025学年第一学期高三12月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 7. 如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 在区间有两个极值点 C. 的图象关于点中心对称 D. 直线是函数的切线 10. 已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四棱锥的体积平分，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线与直线异面 C. 正四棱锥外接球表面积为 D. 截面不可能为等边三角形 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点的最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为抛物线的焦点，若上的点到焦点距离为3，则的准线方程为______. 13. 已知，且，则____________. 14. 设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最大值. 16. 平面四边形中，， （1）求的值； （2）和面积分别为和，求的最大值. 17. 甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为，，，且他们答对与否互不影响． （1）已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率； （2）若答对题目得2分，答错题目扣1分，用表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求的分布列与数学期望． 18. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为. （1）求的标准方程； （2）我们把各边与椭圆的对称轴垂直或平行的内接四边形叫做椭圆的内接矩形，设四边形是椭圆的一个内接矩形，求矩形的周长的最大值； （3）过点的动直线与椭圆交于两点（不与椭圆的顶点重合）.点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $