精品解析：河北省邯郸市涉县2024-2025学年九年级上学期数学期中考试数学试卷

第一学期九年级学情质量检测（二） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，以为根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据公式法解一元二次方程判断即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B． ，故符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法:公式法，熟记公式是解答本题的关键． 2. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求中位数和众数，掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．根据中位数和众数的定义，即可求解． 【详解】解：∵引体向上做7个的人数最多， ∴众数为：7个， ∵第8个人的引体向上个数是10个， ∴中位数为：10个， 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义可求得，即得出原方程为，再求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． ∵该方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为，即， 解得：，， ∴另一个根是． 故选D． 4. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 6. 某厂家2024年1-5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察统计图，找出该厂家2月及4月的口罩产量，再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 8. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的特点，一组数都加上1后，平均数改变，中位数改变，众数改变，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据的每一个数都加上1，则新数据的平均数改变，中位数改变，众数改变，但是方差不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，一般地设n个数据的平均数为，则方差，掌握平均数，中位数、众数，方差的计算方法是解本题的关键． 9. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 12. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么两地的距离为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图所示，过点作于，由题意得，，，利用三角形内角和定理求出，再求出，，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图所示，过点作于， 由题意得，，， ， ， ， ，， 千米，， （千米）， （千米）， 故选A． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分） 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据a是方程一个根，可以得到，然后即可得到，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 某企业决定招聘广告策划人员，某应聘者的“创新能力”、“综合知识”、“语言表达”三项素质测试的成绩分别为和（单位：分）．如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘者的最终成绩为______分． 【答案】85 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法，掌握加权平均数的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，（分）， 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为___________，的值为___________． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键． 过点A作轴的垂线，交的延长线于点，根据A，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可表示，的长，根据菱形的面积为，求得的长；在中，勾股定理计算的长，列方程即可得出的值． 【详解】解：过点A作轴的垂线，交的延长线于点， 轴， ， ，两点在反比例函数的图象上，且纵坐标分别为，， ，， ，， 菱形的面积为， ，即， ，即菱形的边长为； 在中，， ， ． 故答案为：，12 16. 对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241_______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为_______； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为__________． 【答案】 ①. 不是 ②. 121（答案不唯一） ③. 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可；根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可． 【详解】解：（1），，， 不是“喜鹊数”； ，， 是“喜鹊数”； （2）是方程①的一个根，是方程②的一个根， ，，将两边同除以得，，将，看成是方程的两个根， 是“喜鹊数”， ， 方程有两个相等的实数根， ， . 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，比例中项的定义．根据题意可得，，可求出，，再由比例中项的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段a，b的长度满足， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵线段c是线段a，b的比例中项， ∴， 即． 18. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【解析】 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】（1）是 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程、绝对值的意义和两点之间的距离， （1）利用因式分解法求得方程的根，再结合“伴根方程”得定义和两点之间的距离验证即可； （2）利用因式分解法求得方程的根，再结合“伴根方程”得定义和两点之间的距离求解一元一次方程即可； 【小问1详解】 解：解方程得，，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或． 20. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， （1）求AP的长？ （2）试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 【答案】（1）AP的长为200m （2）此车超过了80/的限制速度 【解析】 【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， 在中， ， ∴， ∴， ， ∴此车超过的限制速度． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 21. 如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出的解集； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，利用函数图像求不等式的解集及三角形的面积，解题的关键是理解待定系数法求函数解析式及利用图像比较函数值的大小． （1）利用待定系数求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图像求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 ， ， 根据图像，得或； 【小问3详解】 把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 22. 如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动．若点沿着移动，点沿着移动，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为？ 【答案】经过4秒或6秒，的面积为 【解析】 【分析】本题考查矩形中的动点问题，解一元二次方程，分点分别在上，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设经过秒，的面积为， 当点在上，即时，， ，即，解得； 当点在上，即时，，， ，解得（不符合题意，舍去）； 当点在上，即时，， 则，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，的面积为． 23. 如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证： ①； ②． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②∵， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）①由，可证，进而可证，然后根据可证； ②由，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． （1）如图①，当点G在边上，且，时，求． （2）如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． （3）如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：延长和延长线相交于点P， E是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分； （3） 证明：过点G作，交的延长线于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质，得到，然后利用直角三角形的性质推得，再根据全等三角形的判定得到，从而求得的长，最后根据勾股定理计算即得答案； （2）延长和延长线相交于点P，先根据正方形的性质，证明，然后证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质，证得，从而得到，即得答案； （3）过点G作，交的延长线于点Q，先证明，得到，，进一步推得，从而可得，继续推理可证明，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期九年级学情质量检测（二） 数学（冀教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，以为根的是（　　） A. B. C. D. 2. 某班名男生引体向上成绩如表，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 个数 人数 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则另一个根是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一组角是对顶角的两个三角形 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在格点上，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 某厂家2024年1-5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 9. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 12. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么两地的距离为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分） 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为__________． 14. 某企业决定招聘广告策划人员，某应聘者的“创新能力”、“综合知识”、“语言表达”三项素质测试的成绩分别为和（单位：分）．如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按的比确定应聘者的最终成绩，则该应聘者的最终成绩为______分． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点纵坐标分别为6，4，反比例函数的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则菱形的边长为___________，的值为___________． 16. 对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241_______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为_______； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度． 18. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 20. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， （1）求AP的长？ （2）试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 21. 如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图像直接写出的解集； （3）求的面积． 22. 如图，在矩形中，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动．若点沿着移动，点沿着移动，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为？ 23. 如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证： ①； ②． 24. 如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． （1）如图①，当点G在边上，且，时，求． （2）如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． （3）如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $