2025年数学中考冲刺4月优选题02

2025年数学中考冲刺4月优选题02 一．选择题（共20小题） 1．如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° 2．若a＝3.2×10﹣5，b＝7.5×10﹣5，c＝6.3×10﹣6，则a、b、c三数的大小关系为何？（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 3．下列何者为多项式5x（5x﹣2）﹣4（5x﹣2）2的因式分解？（　　） A．（5x﹣2）（25x﹣8） B．（5x﹣2）（5x﹣4） C．（5x﹣2）（﹣15x+8） D．（5x﹣2）（﹣20x+4） 4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（　　） A． B． C． D． 5．一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　） A．n＞﹣1 B．n＞2 C．﹣1＜n＜1 D．1＜n＜2 6．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 7．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 8．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 10．若二元一次联立方程式的解为，则a+b之值为何？（　　） A．﹣28 B．﹣14 C．﹣4 D．14 11．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 12．如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 13．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　） A． B． C． D．5 14．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 15．下列运算结果正确的是（　　） A．3a﹣2a＝1 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a）4＝﹣a4 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 16．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法： ①满足条件的整式M中有5个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　） A．28° B．34° C．56° D．62° 18．估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c＞0； ③a＜1； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共7小题） 21．计算：　 　． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 　 　． 23．龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 　 　cm2（结果保留π）． 24．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　　；DF的长度是 　　． 25．反比例函数y的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　 　象限． 26．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当时，S△DEF＝1﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣3； … 直接写出，当时，S△DEF＝　　． 27．如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ．其中正确结论是 　 　（填序号）． 三．解答题（共15小题） 28．计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|． 29．计算：sin45°+|1|（）﹣1． 30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　 　，BD＝　 　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　 　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 31．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：1.41，1.73，2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？ 32．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 33．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）如表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数y位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标． 35．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 36．先化简：（1），再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC． （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CNBD； （3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 38．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　88　，b＝ 　87　，m＝ 　40　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？ 39．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 40．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 41．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 42．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标； （2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长； （3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论． 2025年数学中考冲刺4月优选题02答案 一．选择题（共20小题） 1．如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．125° 解答过程：解：如图， ∵∠1+∠3＝180°，∠1＝125°， ∴∠3＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝55°， 答案为：C． 2．若a＝3.2×10﹣5，b＝7.5×10﹣5，c＝6.3×10﹣6，则a、b、c三数的大小关系为何？（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解答过程：解：∵a＝3.2×10﹣5＝0.000032，b＝7.5×10﹣5＝0.000075，c＝6.3×10﹣6＝0.0000063，0.0000063＜0.000032＜0.000075， ∴c＜a＜b． 答案为：C． 3．下列何者为多项式5x（5x﹣2）﹣4（5x﹣2）2的因式分解？（　　） A．（5x﹣2）（25x﹣8） B．（5x﹣2）（5x﹣4） C．（5x﹣2）（﹣15x+8） D．（5x﹣2）（﹣20x+4） 解答过程：解：5x（5x﹣2）﹣4（5x﹣2）2 ＝（5x﹣2）[5x﹣4（5x﹣2）] ＝（5x﹣2）（﹣15x+8）． 答案为：C． 4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（　　） A． B． C． D． 解答过程：解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项A不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意 正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C符合题意； 棱台的主视图是梯形，俯视图是正方形，故D不符合题意； 答案为：C． 5．一次函数y＝x﹣2n+4，二次函数y＝x2+（n﹣1）x﹣3，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　） A．n＞﹣1 B．n＞2 C．﹣1＜n＜1 D．1＜n＜2 解答过程：解：根据题意得， 解得﹣1＜n＜1， ∴n的取值范围是﹣1＜n＜1， 答案为：C． 6．古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 解答过程：解：如图所示的几何体的主视图如下： ． 答案为：A． 7．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 解答过程：解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°， 解得：n＝8， 则360°÷8＝45°， 即这个正多边形的每个外角为45°， 答案为：C． 8．关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解答过程：解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 答案为：A． 9．分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 解答过程：解：去分母得：2＝x﹣1﹣m， 解得：x＝m+3， 由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1， 则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2． 答案为：B． 10．若二元一次联立方程式的解为，则a+b之值为何？（　　） A．﹣28 B．﹣14 C．﹣4 D．14 解答过程：解：把代入得：， 把②代入①得：5a﹣3×（﹣3a）＝28， 5a+9a＝28， 14a＝28， a＝2， 把a＝2代入②得：b＝﹣6， ∴a+b＝2+（﹣6）＝﹣4， 答案为：C． 11．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交∠A两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，AM的长为半径画弧，两弧交于点B，连接MB，NB．若∠A＝40°，则∠MBN＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．140° 解答过程：解：由作图可知AM＝AN＝MB＝NB， ∴四边形AMBN是菱形， ∴∠MBN＝∠A＝40°． 答案为：A． 12．如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 解答过程：解：∵D（4，﹣2）， ∴OC＝4，CD＝2， ∵旋转， ∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2， ∴B（2，4）， 答案为：A． 13．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　） A． B． C． D．5 解答过程：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴AG， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠FAC， ∵EF∥AB， ∴∠BAF＝∠AFG， ∴∠GAF＝∠GFA， ∴FG＝AG， ∵CF， ∵BF：CF＝AG：CG＝1：3， ∴BFCF． 答案为：A． 14．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　） A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m 解答过程：解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6， ∴CD， ∵∠BED＝60°， ∴DE，BE＝AE， ∴减少用钢为（AB+AC+BC+CD）﹣（AE+BE+AB+DE）＝AC+BC+CD﹣AE﹣BE﹣DE＝24（cm）， 答案为：D． 15．下列运算结果正确的是（　　） A．3a﹣2a＝1 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a）4＝﹣a4 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 解答过程：解：3a﹣2a＝a，故A选项错误； a2•a3＝a5，故B选项错误； （﹣a）4＝a4，故C选项错误； （a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故D选项正确； 答案为：D． 16．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法： ①满足条件的整式M中有5个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解答过程：解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5， ∴0≤n≤4， 当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5， ∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0， 满足条件的整式有x4， 当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5， ∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）， 满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1， 当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5， ∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1）， 满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1； 当n＝1时，则1+a1+a0＝5， ∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2）， 满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2； 当n＝0时，0+a0＝5， 满足条件的整式有：5； ∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意； 答案为：D． 17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　） A．28° B．34° C．56° D．62° 解答过程：解：∵∠D＝28°， ∴∠BOC＝2∠D＝56°． ∵OC⊥AB， ∴点C为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC＝56°， ∴∠AOB＝2×56°＝112°． ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． 答案为：B． 18．估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 解答过程：解： ， ∵5.76＜6＜6.25， ∴， ∴2.42.5， ∴10.811， 答案为：C． 19．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 解答过程：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 答案为：D． 20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c＞0； ③a＜1； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 解答过程：解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线x＝﹣1＜0，a、b同号， ∴b＞0， ∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜c＜﹣2＜0， ∴abc＜0， 故①不正确； ∵对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， ∴与x轴交于另一点（﹣3，0）， ∵x＝﹣3，y＝9a﹣3b+c＝0， 故②不正确； 由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝﹣3， 又∵x1•x2，即c＝﹣3a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， 因此a＜1， 故③正确； 若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则直线y＝x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∵直线y＝x+1过一、二、三象限，且过点（﹣1，0）， ∴直线y＝x+1与抛物线的交点在第一、第三象限， 由图象可知﹣3＜m＜1＜n． 故④正确； 综上所述，正确的结论有③④， 答案为：B． 二．填空题（共7小题） 21．计算：　1　． 解答过程：解： ＝1， 答案为：1． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 　2　． 解答过程：解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， 又∵∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC＝2， ∵∠A＝36°，∠ABD＝36°， ∴∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD＝2， 答案为：2． 23．龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB长30cm，扇面的BD边长为18cm，则扇面面积为 　252π　cm2（结果保留π）． 解答过程：解：扇面面积＝扇形BAC的面积﹣扇形DAE的面积 ＝252π（cm2）， 答案为：252π． 24．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　　；DF的长度是 　　． 解答过程：解：∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD4， ∵BC切圆于B， ∴直径AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°， ∴△CDB∽△CBA， ∴DB：BA＝CD：CB， ∴4：AB＝3：5， ∴AB， ∵AF∥BE， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE， ∴∠F＝∠BAF， ∴BF＝AB， ∴FD＝BF﹣BD4． 答案为：，． 25．反比例函数y的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　四　象限． 解答过程：解：因为反比例函数y的图象在第一、三象限， 所以k﹣1＞0， 解得k＞1， 所以点（k，﹣3）在第四象限． 答案为：四． 26．在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当时，S△DEF＝1﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣3； … 直接写出，当时，S△DEF＝　　． 解答过程：解：如图①当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； … 当时，S△DEF＝1﹣3； 故当时，S△DEF＝1﹣3． 27．如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ．其中正确结论是 　①②③　（填序号）． 解答过程：解：∵E是AB边的中点， ∴EA＝EB， ∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处， ∴EB＝EP， ∴EA＝EP， 即△AEP为等腰三角形，故①正确； ∵EA＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处， ∴∠BEC＝∠PEC， ∵∠BEP＝∠EAP+∠EPA， ∴∠BEC＝∠EAP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝∠ADF，AB∥CD，BC＝AD， ∴∠EAP＝∠DFA， ∴∠BEC＝∠DFA， ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴DF＝BE， ∴DFABCD， 即F为CD的中点，故②正确； 过点P作PM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AF于点N， ∵∠BEC＝∠EAP， ∴EC∥AF， ∴EN＝PM， 设AE＝BE＝EP＝DF＝CF＝a，则BC＝AD＝PC＝2a， ∴EC＝AFa， ∵S△PECEC•PMPE•PC， ∴PM， ∴EN， ∴PN， ∴AP＝2PN， PF＝AF﹣AP， ∴AP：PF：2：3，故③正确； ∵∠EAP＝∠EPA，∠EAD＝∠EPQ＝90°， ∴∠QAP＝∠QPA， ∴AQ＝PQ， ∵正方形的边长为2a， ∴AD＝CD＝CP＝2a，QD＝2a﹣AQ，CQ＝2a+PQ＝2a+AQ， 在Rt△CDQ中， 由勾股定理，得CD2+QD2＝CQ2， 即（2a）2+（2a﹣AQ）2＝（2a+AQ）2， 解得AQa， ∴DQ＝2aaa， ∴CQ＝2aaa， ∴cos∠DCQ．故④不正确． 答案为：①②③． 三．解答题（共15小题） 28．计算：（tan45°﹣2）0+|2﹣3|． 解答过程：解：（tan45°﹣2）0+|2﹣3| ＝1+1﹣3 ＝﹣1． 29．计算：sin45°+|1|（）﹣1． 解答过程：解：原式12+2021＝2024． 30．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． （1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　AD　，BD＝　BE　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　1　； （2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线． 解答过程：（1）解：连接OE，OF，如图： 由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE， ∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形， 设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD， ∵BD+AD＝AB5， ∴4﹣x+3﹣x＝5， 解得x＝1， ∴OE＝1，即⊙O半径长为1； 答案为：AD，BE，1； （2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图： ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC（AAS）， ∴AN＝AC， ∵AD＝AF， ∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF， 同（1）可知，CF＝OE， ∴DN＝OE， ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形OHND是矩形， ∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径， ∵OH⊥MN， ∴MN是⊙O的切线． 31．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：1.41，1.73，2.45） （1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）； （2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？ 解答过程：解：（1）过B作BE⊥AC于E，如图： 根据已知得∠DAB＝90°， ∵∠DAC＝30°， ∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°， ∴AEAB＝1（千米），BEAE（千米）， ∵C在B的北偏西15°方向， ∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°， ∴△EBC是等腰直角三角形， ∴CE＝BE（千米），BCBE2.5（千米）， ∴BC的长度约为2.5千米； （2）过C作CF⊥AD于F，如图： 由（1）知AE＝1千米，CE千米， ∴AC＝AE+CE＝（1）千米， 在Rt△ACF中，CFAC（千米），AFCF（千米）， ∵D在C的北偏西60°方向， ∴∠DCF＝30°， ∴DF（千米），CD＝2DF（千米）， ∴AD+AB25.15（千米）； CD+BC4.03（千米）， ∴CD+BC＜AD+AB； ∴甲选择的路线比较近． 32．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C． （1）求证：∠BDF＝∠A； （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状． 解答过程：（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED， ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A； （2）解：∵∠A＝45°， ∴∠BDF＝45°， ∵DF平分∠BDE， ∴∠BDE＝2∠BDF＝90°， ∵DE∥BC， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 33．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）如表中a＝　3%　，b＝　20　，c＝　45%　； （2）请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 解答过程：解：（1）这次调查的人数为：32÷32%＝100（人）， a100%＝3%，b＝100×20%＝20，c100%＝45%， 答案为：3%，20，45%； （2）补全条形统计图如下： 600×（45%+32%）＝462（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种， ∴所抽取的两人均为“良好”的概率为． 34．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）点Q在反比例函数y位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出Q点坐标． 解答过程：解：（1）把A（﹣6，1）代入y得：1， ∴m＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（1，n）代入y得：n＝﹣6， ∴B（1，﹣6）， 把A（﹣6，1），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣5； （2）设直线x＝﹣2交直线AB于H，如图： 在y＝﹣x﹣5中，令x＝﹣2得y＝﹣3， ∴N（﹣2，﹣3）， ∵△PAB的面积为21， ∴PH•|xB﹣xA|＝21，即PH×（1+6）＝21， ∴PH＝6， ∵﹣3+6＝3，﹣3﹣6＝﹣9， ∴P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣9）； （3）过Q作QM∥x轴交直线AB于M，如图： 设Q（t，）， 在y＝﹣x﹣5中，令y得x5， ∴M（5，）， ∴MQ＝|5﹣t|， ∵△QAB的面积为21， ∴MQ•|yA﹣yB|＝21， 即|5﹣t|×7＝21， ∴5﹣t＝6或5﹣t＝﹣6， 解得t或t＝﹣2或t＝3， 经检验，t，t＝3符合题意， ∴Q的坐标为（，）或（3，﹣2）． 35．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 　11.3　m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.8m，DG＝1.5m．将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m．求雕塑高度（结果精确到1m）． 解答过程：解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 答案为：11.3； （2）如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴，即， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米； （3）如图： ∵∠CDG＝∠ADB，∠CGD＝90°＝∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， ∴， 设AB＝x m，BD＝y m，则， ∴yx， 同理可得， ∴， ∴， 解得x＝28.8； 经检验，x＝28.8是原方程的解， 故AB≈29m， ∴雕塑高度AB约为29m． 36．先化简：（1），再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 解答过程：解：（1） ＝x﹣1， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠1，x≠2， 当x＝3时，原式＝2． 37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC． （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CNBD； （3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 解答过程：证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC， ∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠ACD+∠CAE＝90°， ∵∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD， 又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°， ∴△ACE≌△CBD（ASA）， ∴BD＝CE， ∵点E是BC的中点， ∴BC＝2CE＝2BD， ∴AC＝2BD； 证明：（2）过点G作GH⊥AB于H，连接HF， ∵BD∥AC， ∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF， ∴△AGF≌△DBF（AAS）， ∴AG＝BD，BF＝GF， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵GH⊥AH， ∴△AHG是等腰直角三角形， ∴， ∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF， ∴， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC， ∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°， ∵FM⊥BG， ∴∠BFM＝90°， ∴∠HFM＝∠CFN， 设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x， ∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x， ∵CN平分∠ACB， ∴， ∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x， ∴∠HMF＝∠CNF， ∴△HFM≌△CFN（AAS）， ∴HM＝CN， ∵AM＝AH+HM， ∴； （3）解：过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH， ∵BD∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝∠CBD＝90°， ∵DH⊥AC， ∴四边形BCHD是矩形， ∴BC＝DH＝AC， ∵点F是AD的中点，且AF＝AC， ∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF， ∴△FDH是等边三角形， ∴∠DFH＝∠FDH＝60°， ∴∠BDA＝∠DAH＝30°， ∴∠FHA＝∠FAH＝30°， 由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH， ∴∠DFQ＝∠HFP， ∴△DFQ≌△HFP（SAS）， ∴∠FDQ＝∠FHP＝30°， ∴点Q在直线DQ上运动， 设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，， ∴∠BDQ＝60°， 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， ∴∠DBQ＝30°， 设AC＝DH＝6a，则， ∴， ∴， ∴， 在Rt△DFK中，， ∴， ∴QK＝DK﹣DQ＝3a， 在Rt△FQK中，由勾股定理得， ∵△DFQ≌△HFP， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得：， ∵FT≤FQ+TQ， ∴， ∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 38．数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　88　，b＝ 　87　，m＝ 　40　； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？ 解答过程：解：（1）由题意可知，八年级C组有：10×20%＝2（人）， 把被抽取八年级10名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为88，88，故中位数a88， 在被抽取的七年级10名学生的数学竞赛成绩中，8（7分）出现的次数最多，故众数b＝87， m%＝1﹣20%100%＝40%，故m＝40； 答案为：88，87，40； （2）八年级学生数学文化知识较好， 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好； （3）500400×40%＝310（人）， 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人． 39．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 解答过程：解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×3＝3， 所以反比例函数解析式为y． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝﹣3， 所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+2． （2）由函数图象可知， 当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M， 将y＝0代入y＝x+2得， x＝﹣2， 所以点M的坐标为（﹣2，0）， 所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM． 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， 所以点B和点C关于点O成中心对称， 所以BO＝CO， 所以S△ABC＝2S△AOB＝8． 40．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 解答过程：（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC于点I， ∵DN⊥AB于点E， ∴∠OED＝∠OIA＝90°， ∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD， ∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF， ∴∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF． （2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG， ∴∠ADB＝90°， ∴AD垂直平分GM， ∴AM＝AG， ∴∠MAD＝∠CAD， ∵， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠MAD＝∠B， ∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA， ∴AM是⊙O的切线． ②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD， ∴∠FDG＝∠FGD， ∴GF＝DF＝AF＝5， ∴AG＝2AF＝10， ∵DG＝6， ∴AD8， ∵∠AID＝∠ADG＝90°， ∴cos∠DAG， ∴AI， ∴DI， ∵∠OIA＝90°，OI＝ODOA， ∴OI2+AI2＝OA2， ∴（OA）2+（）2＝OA2， 解得OA， ∴⊙O的半径长为． 41．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 解答过程：解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 抛物线的对称轴为直线x＝1， 则点P、C关于抛物线对称轴对称， 则点P（2，﹣3）， 设Q（m，m2﹣2m﹣3）， ∵∠OPQ＝90°， ∴OP2+PQ2＝OQ2， ∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]＝[m2+（m2﹣2m﹣3）2] 整理得：3m2﹣8m+4＝0， 解得：m1，m2＝2（舍去）， ∴m， ∴Q（，）； （3）存在，理由： 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3， 令y＝0， 则xm， 则OHm， 则S＝S△OHP﹣S△OHQOH×（yQ﹣yP）（m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]（m2+m+3）（m）2， 即S存在最小值为． 42．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式及P点坐标； （2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长； （3）过点P的直线y＝kx+n分别与抛物线、直线x＝﹣1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H．请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论． 解答过程：解：（1）∵抛物线 与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2x﹣2， 而， ∴抛物线顶点P的坐标为（，）； （2）如图： 在yx2x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2， ∴点C（0，﹣2）， ∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴tan∠ACO，tan∠CBO， ∴∠ACO＝∠CBO， ∵∠CBO+∠OCB＝90°， ∴∠ACO+∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°， ∴AB是经过点A、B、C的圆的直径， ∵AB⊥CD，AB经过圆心， ∴CD＝2CO＝4； （3）H在直线NQ上，证明如下： 如图： 将 代入y＝kx+n得：， ∴nk， ∴直线MN解析式为y＝kxk， 联立， 解得或， ∴M（2k，2k2）， ∵MH⊥x轴于点H， ∴H（2k，0）， 在y＝kxk中，令x＝﹣1得y＝﹣kkk， ∴N（﹣1，k）， ∵GE⊥x轴，AN⊥x轴， ∴GE∥AN，点G为AB中点， ∴， ∴点E为BN中点， ∵N（﹣1，k），B（4，0）， ∴E（，k）， ∵P，Q关于E对称，即E为PQ中点， ∴Q（，k）， 由N（﹣1，k），Q（，k）可得直线NQ解析式为yxk， 在yxk中，令y＝0得x＝2k， ∴直线NQ与x轴交于（2k，0），即直线NQ与x轴交于点H， ∴H在直线NQ上． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$