精品解析：2025年陕西省咸阳市永寿县蒿店中学九年级中考一模数学试题

2025年初中学业水平监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔；分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 3 … … 7 0 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象的顶点在第四象限 D. 当时， 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：______． 10. 如图，在正六边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 11. 中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为________． 12. 已知反比例函数，当时，的最小值为，则的值为________． 13. 如图，在正方形中，，点为边上的一点，连接交于点，且，点是对角线上的一点，连接，．若，则的面积为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 解方程：． 17. 如图，点在射线上，请用尺规作图法，求作一个等腰，使得顶点在射线上．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 19. 某商店有两种节能灯，每个型节能灯比每个型节能灯的进价少25元，而它们的售后所获利润相同，其中，每个型节能灯的利润率为，每个型节能灯的利润率为，求两种节能灯的单个进价． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，将卡片的北面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？请用树状图或列表等方法说明理由． 21. 时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 22. 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下，发现最大心率（次/分）与年龄（周岁）符合一次函数关系． 年龄/周岁 最大心率/（次/分） 问题解决： （1）求关于的函数关系式； （2）已知不同运动效果时的心率如下表，周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围内？ 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 23. 某校在3月份开展了“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的主题活动，要求每人植棵树，并分为四种类型，A：棵；B：棵；C：棵；D：棵．学校分别从七、八年级各抽取名学生每人的植树量整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均数（单位：棵） 中位数（单位：棵） 众数（单位：棵） 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级本次活动的整体植树量较好？请说明理由（理由不少于两条）． （3）若该校七年级有人，八年级有人参加本次活动，学校决定将植树棵数不低于棵的学生被评为植树标兵，估计这次被评为植树标兵的学生人数． 24. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 25. 周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 26. 【问题提出】 （1）如图①，的半径为3，是的内接三角形，． ①的长为________； ②求面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图②，某公园中有一块三角形空地，经测量，，米．计划对该空地进行重新规划利用，在线段，，上分别取点，，，沿，修两条具有观赏价值的休闲通道（通道的宽度忽略不计），其余空地种植花草．根据设计要求，，，要保证施工的安全性，需要将点，用围栏围起来，形成一个封闭的施工场地四边形，采购部现要购买围栏，为了节约成本，要使围栏的长度尽可能短，求满足要求的围栏长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔；分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，观察所给平面展开图即可选择． 【详解】解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形和一个圆组成， 由圆锥的侧面展开图是扇形，地面是一个圆， 可知该几何体是圆锥． 故选：A． 3. 如图，已知直线，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，再由即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 首先移项，合并同类项，然后系数化成1，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可． 【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：C． 6. 如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．根据等腰直角三角形的性质就可以得出，，再由勾股定理就可以求出结论． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得． 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … 0 1 3 … … 7 0 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象的顶点在第四象限 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向上，故选项A正确，不符合题意； 图象的对称轴是直线， 当时，随的增大而增大， ∴当时，y的值随x的值增大先减小再增大，故选项B错误，符合题意； 顶点坐标为，在第四象限，故选项C正确，不符合题意； ∵图象的对称轴是直线，且过点，则与x轴的另外一个交点为， ∴当时，，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 如图，在正六边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形内角的问题和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握是解答本题的关键．根据正六边形得出，，由等边对等角得出，，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ，， 在中，， 故答案为：． 11. 中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12. 已知反比例函数，当时，的最小值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，结合，函数y的最小值之为，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数 ∴反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大 ∵当时，函数y的最小值之为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，，点为边上的一点，连接交于点，且，点是对角线上的一点，连接，．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质求得点F为中点，过点F作于M，连接交于点O，先利用勾股定理求出，则，再求出；证明是等腰直角三角形，得到，则，设，则，证明，得到，解方程求出；再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即点F为中点， 如图所示，过点F作于M，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； ∴； ∴的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查实数的混合运算，利用二次根式的性质，零指数幂的法则，绝对值的意义，进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘法法则进行化简． 先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后把m，n的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当代入求值， ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．由解分式方程的步骤进行即可． 【详解】解：方程两边同时乘得，， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 17. 如图，点在射线上，请用尺规作图法，求作一个等腰，使得顶点在射线上．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图，线段的作法，垂直平分线的作法及性质．以点B为圆心为半径画弧交以点Q，或作的垂直平分线交以点，或以点P为圆心为半径画弧交以点，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】略 18. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 根据菱形的性质可得，进而得到，再通过证明即可得到结论． 【详解】略 19. 某商店有两种节能灯，每个型节能灯比每个型节能灯的进价少25元，而它们的售后所获利润相同，其中，每个型节能灯的利润率为，每个型节能灯的利润率为，求两种节能灯的单个进价． 【答案】每个型节能灯的进价为50元，每个型节能灯的进价为75元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每个型节能灯的进价为元，则每个型节能灯的进价为元，根据利润进价盈利率，再结合两种节能灯的售后利润额相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每个型节能灯的进价为元，则每个型节能灯的进价为元， 依题意得：， 解得：， 则． 答：每个型节能灯的进价为50元，每个型节能灯的进价为75元． 20. 4张相同的卡片上分别写有数字，将卡片的北面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？请用树状图或列表等方法说明理由． 【答案】公平， 理由如下： 列表如下： 0 1 -2 3 0 1 -2 3 1 -1 -3 2 -2 2 3 5 3 -3 -2 -5 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果， ∴甲获胜的概率乙获胜的概率， ∴小敏设计的游戏规则公平． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法求概率，利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案，熟练掌握求列表法求概率是解决此题的关键． 【详解】小敏设计的游戏规则公平，理由如下： 列表如下： 0 1 -2 3 0 1 -2 3 1 -1 -3 2 -2 2 3 5 3 -3 -2 -5 由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果， ∴甲获胜的概率乙获胜的概率， ∴小敏设计的游戏规则公平． 21. 时刻保持网络畅通，通信塔是必不可少的，某移动公司在一处坡角为的坡地新安装了一架通信塔，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架通信塔的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得通信塔的塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方78米的点处测得点的俯角为，求该通信塔的塔杆的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】该通信塔的塔杆的高度约为56.3米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数是解题关键．延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，在中，求出的长，设米，则（米），再分别求出、的长，然后根据列式求出的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，米，， 在中，，米， （米）， 设米，则（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， ， ， 解得：， （米）， 该通信塔的塔杆的高度约为56.3米． 22. 项目主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下，发现最大心率（次/分）与年龄（周岁）符合一次函数关系． 年龄/周岁 最大心率/（次/分） 问题解决： （1）求关于的函数关系式； （2）已知不同运动效果时的心率如下表，周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在什么范围内？ 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 【答案】（1） （2）次分次分 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入关于的函数关系式，求出对应的值，即小李的最大心率，再由提升耐力时运动心率占最大心率的百分比分别计算运动心率的最小值与最大值即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴关于的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴小李的最大心率是次/分． （次/分），（次/分）， ∴他的运动心率应该控制在次分次分． 23. 某校在3月份开展了“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的主题活动，要求每人植棵树，并分为四种类型，A：棵；B：棵；C：棵；D：棵．学校分别从七、八年级各抽取名学生每人的植树量整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均数（单位：棵） 中位数（单位：棵） 众数（单位：棵） 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级本次活动的整体植树量较好？请说明理由（理由不少于两条）． （3）若该校七年级有人，八年级有人参加本次活动，学校决定将植树棵数不低于棵的学生被评为植树标兵，估计这次被评为植树标兵的学生人数． 【答案】（1）棵，棵 （2） 七年级本次活动的整体植树量较好，理由： 七年级植树的中位数大于八年级，方差小于八年级， 所以七年级大部分人种植数量多于八年级，且植树数量稳定； （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识； （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数和方差的意义求解即可； （3）总人数乘以对应百分比即可． 【小问1详解】 解：七年级的中位数为棵，八年级的众数为棵， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这次被评为植树标兵的学生人数约为人． 24. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接,可得是的直径，推出；根据，可得，进而得，即可求证； （2）设与交于点F，可推出，得到，，证得即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点F， 由（1）知：， ∵， ， ，， 在中，， 是直径， ， ， 25. 周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离． 【答案】（1） （2）米或米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将代入解得，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得， 解得，， 当时，（米）， 当时，（米）， ∴吊床上该处离右边树的距离为米或米． 26. 【问题提出】 （1）如图①，的半径为3，是的内接三角形，． ①的长为________； ②求面积的最大值； 【问题解决】 （2）如图②，某公园中有一块三角形空地，经测量，，米．计划对该空地进行重新规划利用，在线段，，上分别取点，，，沿，修两条具有观赏价值的休闲通道（通道的宽度忽略不计），其余空地种植花草．根据设计要求，，，要保证施工的安全性，需要将点，用围栏围起来，形成一个封闭的施工场地四边形，采购部现要购买围栏，为了节约成本，要使围栏的长度尽可能短，求满足要求的围栏长度的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）米 【解析】 【分析】（1） ①根据题意作的外接圆，由圆周角定理可得是等边三角形，则有；②如图所示，过点O作于点M，延长交于点N，连接，当点C在点N处，即点C在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大，由等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理可得，结合三角形面积的计算公式即可求解； （2）先证明点四点共圆，设圆心为点P，半径为r，连接，过点P作于点S，根据垂径定 理和勾股定理得出米，根据题意当r最小时，长度的最小，而是直径，进而转化为当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，即可得出米，进而即可求解. 【详解】（1）解：①连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ②在①基础上，过点O作于点M，延长交于点N，连接， ∴， ∵线段是定值， ∴当点C在点N处，即点C在垂直于的直径上时，中边上的高最大， 此时的面积等于的面积，且面积最大， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最大面积为； （2）在中， ∴ 在四边形中， ∴， ∴点四点共圆， 如图，设圆心为点P，半径为r，连接，过点P作于点S， ∵， ∴是直径， ∵， ∴， 又∵，则， ∴米，则米， ∴米， 要使得最小，即r最小，而是直径， ∴当时，取得最小值，此时最小， 此时，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵米， ∴米， ∴米， ∴米， 故围栏长度的最小值为米． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理与垂径定理解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $