精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高一下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若为第四象限角，且，则值是（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 腰与底不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 7. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 若与共线，则为或 D. 存在，使得 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最小值为-1 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 不是奇函数 11. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知复数，那么_________． 13. 在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____. 14. 函数是定义在上的偶函数，并且当时，，那么__________. 四、解答题 15. 已知单位向量. （1）若，求的夹角； （2）若，求值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求角B： （2）若的面积为，求c． 17. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案： 方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上． 方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上． 请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值． 18. 已知，函数是上的奇函数. （1）求的值： （2）判断的单调性并用定义证明： （3）若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围. 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高一下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，由虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到，从而求出交集. 【详解】因为，，所以 故选： A. 3. 在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先由平面向量的线性运算分解向量，进而结合平面向量基本定理得到和的取值，计算得到结果. 【详解】如图，由题意可得 ， 因为， 所以由平面向量基本定理可得：， 所以. 故选：B. 4. 若为第四象限角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系计算得出. 【详解】①， 因为， 又因为为第四象限角，由可知， 所以①， 故选：A 5. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可. 【详解】由题意，则. 故选：C 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 腰与底不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，然后求出的关系可判断． 【详解】因为，由正弦定理得，所以，化简得，所以，，即，是等边三角形． 故选：D． 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，然后可得答案. 【详解】由可得，然后可得 因为由可以推出，反之不成立 所以“”是“”的充分不必要条件 故选：A 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再根据单调性解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴函数在上单调递减， ∵， ∴， ∴，或， 解得，或， ∴原不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性解不等式，属于基础题． 二、多选题 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 C. 若与共线，则为或 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项. 【详解】对于A，若，则有，即，A正确； 对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确； 对于C，若与共线，设，所以有，解得， 因为，，∴，所以，C不正确； 对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有， 则，与矛盾，故D不正确． 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最小值为-1 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 不是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】易知，故A正确； ，则， ，故B错误； 当时，则，由正弦函数的对称轴为，故C正确； 对于D，不是奇函数，故D正确． 故选：ACD． 11. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可. 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故A正确； 对于B选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为奇函数，故B错误； 对于C选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，故D正确， 故选：AD. 三、填空题 12. 已知复数，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算可得结果. 【详解】∵， ∴， 故答案为： 13. 在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理解得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积. 【详解】 中，由余弦定理可得， 即，解得AD=2， 再由正弦定理得，显然是锐角， 则， ∴， 又是锐角，所以， 故， 由正弦定理得， 所以， 故答案为： 14. 函数是定义在上的偶函数，并且当时，，那么__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算，以及，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，且时，， 又由. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知为单位向量. （1）若，求的夹角； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，两边同时平方得到，从而求解的夹角即可； （2）由得，求，先平方再开方即可求解. 【小问1详解】 由于，所以， 两边平方得，又为单位向量， 所以，设的夹角为，则， 所以，故的夹角为. 【小问2详解】 因为，所以， 由，故， 所以 故. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为，，．已知，． （1）求角B： （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2）． 【解析】 分析】（1）由已知可得，结合余弦定理可得，结合已知可得，进而求得； （2）由（1）可求得，进而由正弦定理可得，，从而由面积可求得. 【小问1详解】 因为，所以 由余弦定理， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即，且，所以． 【小问2详解】 由（1）可得，，， 从而，， 而， 由正弦定理有， 从而，， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以． 17. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案： 方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上． 方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上． 请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论 方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解． 【详解】解：选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 由，可得， 当，即时， 平方米 所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米． 选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 过点作的垂线分别交，于， 由对称性可知，平分， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 ， 由，可得， 当，即时，平方米， 因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米． 18. 已知，函数是上的奇函数. （1）求的值： （2）判断的单调性并用定义证明： （3）若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2）单调递增，证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，求出，验证后得到答案； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； （3）求出，结合（2）中函数单调性得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，所以， 即，解得，经验证，满足要求； 【小问2详解】 在R上单调递增，证明如下： 任意，且， 则， 因为在R上单调递增，所以， ，即， 故在R上单调递增； 【小问3详解】 在R上单调递增，， ， 由于在R上单调递增，故，解得， 实数的取值范围是. 19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 【答案】（1）具有性质 （2）4 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义判断即可； （2）在中取，根据数量积坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可； （3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，. 【小问1详解】 具有性质. 因为， 所以， 若对任意，存在使得， 所以具有性质 小问2详解】 因为，且具有性质， 所以可取， 又中与垂直的元素必有形式中的一个， 当时，由，可得，不符合题意； 当时，由，可得，符合题意； 当时，由，可得，不符合题意； 所以. 小问3详解】 证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为1， 所以， 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，显然矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$