精品解析：山东省济南市济阳区五校2024-2025学年九年级下学期3月联考数学试题

九年级数学阶段性质量监测 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 5. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ） A B. C. D. 9. 已知在正方形中，长为6，分别以A，B为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于两点，作直线，交于点E，再分别以A，E为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与，交于点F、G，那么四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数” ．例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3型闭函数” ．已知二次函数，当时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11 因式分解：__________． 12. 东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3，若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为 ________． 13. 如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则______度． 14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 15. 如图，在矩形中的边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为_______． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 18. 如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高(结果精确到)． 20. 如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 《全唐诗》是清代康熙年间编校的一本唐诗合集，收录二千二百余名诗人的诗作．“春”“夏”“秋”“冬”哪个字最入诗呢？以前有人熟读全书，但却不能归类分析，现在我们用大数据分析《全唐诗》，发现这四个字出现的次数由多到少依次为：春、秋、夏、冬，其中，“夏”、“冬”两字出现的次数大约占和． （1）《全唐诗》中“夏”字约出现了___________次，“秋”字约出现了___________次，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是___________度； （3）《全宋词》荟萃了宋代三百年间的词作，若其中“春”“夏”“秋”“冬”四字共出现了20000次，依据唐朝诗人对四季的爱好，请你估计《全宋词》中“春”字大约出现了多少次． 22. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元． （1）求柏树和杉树单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． （1）求a、k的值； （2）直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 24. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. “相似”是初中几何学习过程中研究的一种重要图形关系．下图是我们研究三角形相似时常见的一类图形．如图1，在中，为上一点，，又因为是和的公共角，可得． 【初步应用】： （1）如图2，在中，，，垂足为．若，，则的长为________． 【变式练习】： （2）如图3，在中，，，点在上，点在上，且，，求的长． 【操作思考】： （3）如图4，已知直线，点线段上．请利用无刻度直尺和圆规，在上作一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 【综合拓展】： （4）如图5，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性质量监测 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，解题的关键是掌握乘积为1的两个数互为倒数． 根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：B． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 3. 数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．且n比原来的整数位数少1． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：654万. 故选：B. 4. 一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式．掌握边形的内角和为是解题关键，根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形是正边形， 则， 解得：， 这个正多边形是正六边形， 故选：B 5. 如图，已知，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程判别式．根据题意利用判别式“”来判断本题即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：C． 8. 把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：三张图片上、中、下三段分边表示为A、a、1；B、b、2；C、c、3． 画树状图： 共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3， 所以这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率． 故选：C． 9. 已知在正方形中，长为6，分别以A，B为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于两点，作直线，交于点E，再分别以A，E为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与，交于点F、G，那么四边形的面积为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，易得四边形为平行四边形，根据作图可知垂直平分，垂直平分，证明，得到，根据，求出长，进而求出的长，利用梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵正方形， ∴， 由作图可知：垂直平分，垂直平分交于点，则：四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数” ．例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3型闭函数” ．已知二次函数，当时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论． 【详解】解：二次函数y=−3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a， ∵当−1⩽x⩽1时，y是“k型闭函数”， ∴当x=−1时，y=a2−4a−3， 当x=1时，y=a2+8a−3， 当x=a时，y=4a2+2a， ①如图1，当a⩽−1时， 当x=−1时，有ymax=a2−4a−3， 当x=1时，有ymin=a2+8a−3 ∴(a2−4a−3)−(a2+8a−3)=2k， ∴k=−6a， ∴k⩾6； ②如图2，当−1<a⩽0时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=1时，有ymin=a2+8a−3， ∴(4a2+2a)−(a2+8a−3)=2k， ∴， ∴； ③如图3，当0<a⩽1时， 当x=a时，有ymax=4a2+2a， 当x=−1时，有ymin=a2−4a−3， ∴(4a2+2a)−(a2−4a−3)=2k， ∴， ∴， ④如图4，当a>11时， 当x=1时，有ymax=a2+8a−3， 当x=−1时，有ymin=a2−4a−3， ∴(a2+8a−3)−(a2−4a−3)=2k， ∴k=−6a， ∴k>6， 综上，k的取值范围为． 故选：B． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，二次函数的性质，采用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 12. 东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3，若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】针尖落在阴影区域的概率就是一个直角三角形的面积与大正方形面积的比． 【详解】解：设两直角边分别是，，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为， 所以，，， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 13. 如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则______度． 【答案】24 【解析】 【分析】先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：24． 【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键． 14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，观察函数图象，再把代入，解得，令时，解得，即可作答． 【详解】解：设线段的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴ 即一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为： 15. 如图，在矩形中边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分三种情况进行讨论：若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若为等腰三角形，且时，如图1， ∵是由折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， 则， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 过点G作于点M， ∵，， ∴， 又∵， 设，， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴； ②若为等腰三角形，且时，如图2， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴， 与题意不符， ∴此种情况不可能； ③若为等腰三角形，且时，如图3， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 连接， 由①知， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M为的黄金分割点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，分情况讨论，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算． 【详解】解：， ， ． 17. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为；不等式组的所有整数解为 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，先分别解出各个一元一次不等式，再结合“大取大、小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”取不等式组解集，最后写出其所有整数解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，即，解得； 由②得，即，解得； 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、理解并灵活运用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求不等式组的解集是解决问题的关键． 18. 如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得BC = CD，AB∥DC，再根据两直线平行，同位角相等可得B＝DCF，然后利用“边角边”证明BCECDF，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】证明：四边形ABCD是菱形 AB//DC，BC＝CD B＝DCF 在BCE和CDF中： BCECDF CE＝DF． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高(结果精确到)． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设设，在中，利用锐角三角函数定义表示出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义表示出，根据列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， 米； 答：屋顶到横梁的距离约为米； 【小问2详解】 过作于， 设， 在中，，， ， =， 在中，，， ， =， 米， ， 解得：(米)， (米)， 答：房屋的高约为米． 20. 如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理： （1）由切线的性质得到，再由圆周角定理证明，进一步证明，则，即． （2）先求出，再推出．解直角三角形得到，则半径． 【小问1详解】 证明：连接OC， 是的切线， ， ， ， ∵ ， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：如图所示，连接AD， 是的直径， ， ， ， ． 在中，， ， 半径． 21. 《全唐诗》是清代康熙年间编校的一本唐诗合集，收录二千二百余名诗人的诗作．“春”“夏”“秋”“冬”哪个字最入诗呢？以前有人熟读全书，但却不能归类分析，现在我们用大数据分析《全唐诗》，发现这四个字出现的次数由多到少依次为：春、秋、夏、冬，其中，“夏”、“冬”两字出现的次数大约占和． （1）《全唐诗》中“夏”字约出现了___________次，“秋”字约出现了___________次，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是___________度； （3）《全宋词》荟萃了宋代三百年间的词作，若其中“春”“夏”“秋”“冬”四字共出现了20000次，依据唐朝诗人对四季的爱好，请你估计《全宋词》中“春”字大约出现了多少次． 【答案】（1）2600；15200；统计图见解析 （2） （3）10500次 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用“冬”出现的次数除以其占比求出总次数，进而求出“夏”和“秋”的次数，最后补全统计图即可； （2）用360度乘以“秋”字的占比即可得到答案； （3）用20000乘以《全唐诗》中“春”字的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（次）， （次）， （次）， ∴《全唐诗》中“夏”字约出现了2600次，“秋”字约出现了15200次， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（次）， ∴估计《全宋词》中“春”字大约出现了10500次． 22. “绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【答案】（1）柏树每棵元，杉树每棵元；（2）柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元，根据两种购买方式建立方程组，然后解方程组即可得； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，从而可得购买杉树的棵树为棵，先根据“柏树的棵数不少于杉树的倍”建立不等式求出a的取值范围，再根据（1）的结论得出关于a的表达式，然后利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）设柏树每棵元，杉树每棵元 根据题意得： 解得 答：柏树每棵元，杉树每棵元； （2）设购买柏树棵时，购树的总费用为元，则购买杉树的棵树为棵 由题意得：，解得 结合（1）的结论得： 随的增大而增大 又为整数 当时，取得最小值，最小值为 此时， 即柏树购买棵，杉树购买棵时，购树费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，依据题意，正确建立方程组和得出一次函数的表达式是解题关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q． （1）求a、k的值； （2）直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接． ①求的面积； ②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标． 【答案】（1）， （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可； （3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解． 【小问1详解】 解：（1）把点代入解得，， 把代入解得，； 【小问2详解】 ∵， ∴反比例函数解析式为． ①设B的坐标，点A的坐标为， ∵，， ∴，把代入得：， ∴点， ∵一次函数的图象与y轴交于点Q． ∴Q的坐标为， 过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标， ∴， ∴， ②设点，， ∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形； 当和为对角线时，如下图： 点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图： 故点的纵坐标为点纵坐标加：， 即， M的坐标为； 当和为对角线时， 如下图： 点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图： 故点的纵坐标为，， ， 故此时点坐标为：； 综上，点的坐标为：，， 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． 24. 如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2），时，有最大值，最大值是； （3）存在，点坐标为或或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 25. “相似”是初中几何学习过程中研究一种重要图形关系．下图是我们研究三角形相似时常见的一类图形．如图1，在中，为上一点，，又因为是和的公共角，可得． 【初步应用】： （1）如图2，在中，，，垂足为．若，，则的长为________． 【变式练习】： （2）如图3，在中，，，点在上，点在上，且，，求的长． 【操作思考】： （3）如图4，已知直线，点在线段上．请利用无刻度直尺和圆规，在上作一点，使得（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 【综合拓展】： （4）如图5，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值________． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，可得，再在利用勾股定理即可求出的长； （2）过点作交于点，先证明得到，，设，表示出、的长，再通过证明得到，解方程求出的值，结合题意即可求出的长； （3）根据作图要求需作，则需要作出，利用尺规作垂线的方法作出交以为直径的圆于点，则有，由相似三角形的性质可得，最后利用圆规作出交直线于点，即可解答； （4）以为边构造等边，与交于点，连接，则，，通过证明，得到，得到点在以为直径的上运动，则，过点作，交的延长线于点，通过解得到，则，通过证明四边形是平行四边形，得到，再利用三角函数的知识求出的最大值，结合即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又， ， ，即， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，（负值舍去）， 的长为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 的长为． 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求： 【小问4详解】 解：以为边构造等边，与交于点，连接， 则，， ， ， ，即， ， ， ， ， 点在以为直径的上运动， ； 过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ，， ，， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， 过点作于点， 则， ， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $