函数的周期性和对称性讲义-2025届高三数学二轮复习

函数的周期性和对称性 一、专题背景 1．（2022 年全国乙卷）已知函数 ( ), ( )f x g x 的定义域均为 R，且 ( ) (2 ) 5, ( ) ( 4) 7f x g x g x f x      ．若 ( )y g x 的图像关于直线 2x  对称， (2) 4g  ，则   22 1k f k   （ ） A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 2．（2020 年全国Ⅲ卷）已知函数 1( ) sin sin f x x x   ，则（ ） A． ( )f x 的最小值为 2 B． ( )f x 的图象关于 y轴对称 C． ( )f x 的图象关于直线 x  对称 D． ( )f x 的图象关于直线 2 x  对称 3．（2022 年全国Ⅱ卷）已知函数 ( )f x 的定义域为R， ( ) ( ) ( ) ( ), (1) 1f x y f x y f x f y f     ， 则 22 1 ( ) k f k   （ ） A． 3 B． 2 C．0 D．1 4．（2021 年全国Ⅱ卷）已知函数  f x 的定义域为R ，  2f x  为偶函数，  2 1f x  为奇 函数，则（ ） A． 1 0 2 f       B．  1 0f   C．  2 0f  D．  4 0f  5．（2021 年全国甲卷）设函数  f x 的定义域为R，  1f x  为奇函数，  2f x  为偶函数， 当  1,2x 时， 2( )f x ax b  ．若    0 3 6f f  ，则 9 2 f       （ ） A． 9 4  B． 3 2  C． 7 4 D． 5 2 6．（2024 年全国Ⅱ卷）（多选）设函数 3 2( ) 2 3 1f x x ax   ，则（ ） C．存在a b， ，使得 x b 为曲线 ( )y f x 的对称轴 D．存在 a，使得点   1, 1f 为曲线 ( )y f x 的对称中心 7．（2022 年全国Ⅰ卷）（多选）已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R ，记 ( ) ( )g x f x ，若 3 2 2 f x     ， (2 )g x 均为偶函数，则（ ） A． (0) 0f  B． 1 0 2 g       C． ( 1) (4)f f  D． ( 1) (2)g g  8．（2024 年全国Ⅰ卷）已知函数 3( ) ln ( 1) 2 xf x ax b x x      (2)证明：曲线 ( )y f x 是中心对称图形； 9．（2023 年全国乙卷）已知函数 1( ) ln(1 )f x a x x        . (2)是否存在 a b， ，使得曲线 1y f x       关于直线 x b 对称，若存在，求 a b， 的值，若不存 在，说明理由. 二、预备知识 1．周期函数的定义： 对于函数  y f x 定义域内的每一个 x ，都存在一个非零常数 T，使得    f x T f x  恒成立，那么就称函数  y f x 为周期函数，称 T 为这个函数 的周期．如果在周期函数  f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就叫做  f x 的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论：（本质是迭代！） 函数  y f x 满足对定义域内任意一个实数 x（其中 a为常数）： 条件 周期    f x a f x b   T a b   ( )f x a f x   2T a 1( ) ( ) f a x x f   2T a （下述性质可借助三角函数图象加深理解） ( )f x 关于直线 x a 和 x b 对称 2T a b   f x 关于点  ,0a 和点  ,0b 对称 2T a b  ( )f x 关于直线 x a 和点  ,b c 对称 4T a b  （口诀：“一心一轴四倍距，双心双轴双倍距”） 3．函数对称性的常用结论：（从图象去理解！） ①若 ( ) (+ )f x b f a x  ，则函数 ( )f x 关于 2 a bx  对称； ②若 f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数 f(x)关于点(a，b)对称； ③若     cbxfaxf  ，则函数  xf 关于点        2 , 2 cba 对称． 4．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若    f x a f x b    则 ( )f x 具有周期性； ②若    f x a f b x    则 ( )f x 具有对称性． 5．拓展：三次函数拐点理论 任何三次函数 3 2( )f x ax bx cx d    都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点， 对称中心的横坐标是 ( ) 0f x  （二阶导数）的解，即 ,3 3 b bf a a          是三次函数的 对称中心. 三、题型示例 例 1：已知 ( )f x 是定义在 R上的偶函数，且 ( 4) ( 2)f x f x   ．若当 [ 3,0]x  时， ( ) 6 xf x ，则 (919)f  . 例 2：若函数 ( ) 1y f x  是定义在 R上的奇函数，则 ( 1) (0) (1)f f f   等于( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 例 3：已知函数  f x 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 ( 2) ( )f x f x   成立，且函数 ( 1)f x  为偶函数， (1) 2f  ，则 (1) (2) (2024)f f f   L （ ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 例 4：已知函数   3 9 3x f x   ．求证：函数  f x 的图象关于点 1 1, 2 2       对称. 四、方法应用 练 1：已知函数  f x 是定义在 R上的偶函数，且    2 2f x f x   ，若  0, 2x 时，   2 1xf x   ，则  99f （ ） A．3 B． 1 C． 1 2  D．1 练 2：已知函数    π3sin 0 6 f x x        ，对任意的 xR ，都有    3 0f x f x   成 立，则的可能取值是（ ） A． π 4 B． π 2 C． π 6 D． π 3 练 3：已知函数  f x 的定义域为R，   1y f x  为奇函数，  1y f x  为偶函数，若  2025 2f  ，则  3f （ ） A．1 B． 1 C．0 D． 3 练 4：已知函数    31f x x a   与     2 2 02 2 bxg x b x x     具有相同的对称中心，则 a b （ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 练 5：已知函数      1 ln , 1 2 2 xf x g x m x x     . (2)求曲线  y f x 的对称中心； 函数的周期性和对称性 一、专题背景 1．（2022年全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以故选：D 2．（2020年全国Ⅲ卷）已知函数，则（ ） A．的最小值为2 B．的图象关于y轴对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【详解】可以为负，所以A错； 关于原点对称； 故B错； 关于直线对称，故C错，D对 故选：D 3．（2022年全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 4．（2021年全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 5．（2021年全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 6．（2024年全国Ⅱ卷）（多选）设函数，则（    ） C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 【详解】C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 7．（2022年全国Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 8．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数 (2)证明：曲线是中心对称图形； 【详解】（2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 9．（2023年全国乙卷）已知函数. (2)是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【详解】（2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. 二、预备知识 1．周期函数的定义： 对于函数定义域内的每一个，都存在一个非零常数T，使得恒成立，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论：（本质是迭代！） 函数满足对定义域内任意一个实数（其中为常数）： 条件 周期 （下述性质可借助三角函数图象加深理解） 关于直线和对称 关于点和点对称 关于直线和点对称 （口诀：“一心一轴四倍距，双心双轴双倍距”） 3．函数对称性的常用结论：（从图象去理解！） ①若，则函数关于对称； ②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称； ③若，则函数关于点对称． 4．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若则具有周期性； ②若则具有对称性． 5． 拓展：三次函数拐点理论 任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是（二阶导数）的解，即是三次函数的对称中心. 三、题型示例 例1：已知是定义在R上的偶函数，且．若当时，，则 . 【详解】由可知,是周期函数,且,所以 . 例2：若函数是定义在R上的奇函数，则等于(　　) A.3 B.2 C.-2 D.-3 【详解】设，则，即， 即，所以. 因为，所以， 所以. 例3：已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A． -1 B．0 C．1012 D．2024 【详解】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知， 所以， 显然， 所以. 故选：B 例4：已知函数．求证：函数的图象关于点对称. 【详解】因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. 四、方法应用 练1：已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 练2：已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，即，可得， 可知函数的最小正周期， 且，即，解得. 故选：D. 练3：已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【详解】由为奇函数有， 为偶函数有， 所以有，即， 所以函数的周期为，所以， 又， 故选：C. 练4：已知函数与具有相同的对称中心，则（   ） A． -2 B．-1 C．1 D．2 【详解】易知的图象关于点对称， 因为， 所以的图象关于点对称， 由题意可得，即. 经检验符合题意． 故选：C． 练5：已知函数. (2)求曲线的对称中心； 【详解】（2）的定义域为， 其定义域关于对称， 则， 所以曲线的对称中心是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的周期性和对称性 一、专题背景 1．（2022年全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020年全国Ⅲ卷）已知函数，则（ ） A．的最小值为2 B．的图象关于y轴对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 3．（2022年全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为R，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2021年全国Ⅱ卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021年全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年全国Ⅱ卷）（多选）设函数，则（    ） C．存在，使得为曲线的对称轴 D．存在，使得点为曲线的对称中心 7．（2022年全国Ⅰ卷）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数 (2)证明：曲线是中心对称图形； 9．（2023年全国乙卷）已知函数. (2)是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 二、预备知识 1．周期函数的定义： 对于函数定义域内的每一个，都存在一个非零常数T，使得恒成立，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论：（本质是迭代！） 函数满足对定义域内任意一个实数（其中为常数）： 条件 周期 （下述性质可借助三角函数图象加深理解） 关于直线和对称 关于点和点对称 关于直线和点对称 （口诀：“一心一轴四倍距，双心双轴双倍距”） 3．函数对称性的常用结论：（从图象去理解！） ①若，则函数关于对称； ②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称； ③若，则函数关于点对称． 4．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若则具有周期性； ②若则具有对称性． 5． 拓展：三次函数拐点理论 任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是（二阶导数）的解，即是三次函数的对称中心. 三、题型示例 例1：已知是定义在R上的偶函数，且．若当时，，则 . 例2：若函数是定义在R上的奇函数，则等于(　　) A.3 B.2 C.-2 D.-3 例3：已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 例4：已知函数．求证：函数的图象关于点对称. 四、方法应用 练1：已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 练2：已知函数，对任意的，都有成立，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 练3：已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．1 B． C．0 D． 练4：已知函数与具有相同的对称中心，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 练5：已知函数. (2)求曲线的对称中心； 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的周期性和对称性 一、专题背景 1．（2022 年全国乙卷）已知函数 ( ), ( )f x g x 的定义域均为 R，且 ( ) (2 ) 5, ( ) ( 4) 7f x g x g x f x      ．若 ( )y g x 的图像关于直线 2x  对称， (2) 4g  ，则   22 1k f k   （ ） A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 【详解】因为 ( )y g x 的图像关于直线 2x  对称， 所以    2 2g x g x   ， 因为 ( ) ( 4) 7g x f x   ，所以 ( 2) ( 2) 7g x f x    ，即 ( 2) 7 ( 2)g x f x    ， 因为 ( ) (2 ) 5f x g x   ，所以 ( ) ( 2) 5f x g x   ， 代入得  ( ) 7 ( 2) 5f x f x    ，即 ( ) ( 2) 2f x f x    ， 所以        3 5 21 2 5 10f f f        ，        4 6 22 2 5 10f f f        . 因为 ( ) (2 ) 5f x g x   ，所以 (0) (2) 5f g  ，即  0 1f  ，所以  (2) 2 0 3f f     . 因为 ( ) ( 4) 7g x f x   ，所以 ( 4) ( ) 7g x f x   ，又因为 ( ) (2 ) 5f x g x   ， 联立得，    2 4 12g x g x    ， 所以 ( )y g x 的图像关于点  3,6 中心对称，因为函数 ( )g x 的定义域为 R， 所以  3 6g  因为 ( ) ( 2) 5f x g x   ，所以    1 5 3 1f g    . 所以                 22 1 1 2 3 5 21 4 6 22 1 3 10 10 24( ) k f f f f f f f ff k                          故选：D 2．（2020 年全国Ⅲ卷）已知函数 1( ) sin sin f x x x   ，则（ ） A． ( )f x 的最小值为 2 B． ( )f x 的图象关于 y轴对称 C． ( )f x 的图象关于直线 x  对称 D． ( )f x 的图象关于直线 2 x  对称 【详解】 sin x 可以为负，所以 A 错； 1sin 0 ( ) ( ) sin ( ) sin x x k k Z f x x f x x           Q Q ( )f x 关于原点对称； 1 1(2 ) sin ( ), ( ) sin ( ), sin sin f x x f x f x x f x x x          Q 故 B 错； ( )f x 关于直线 2 x  对称，故 C 错，D 对 故选：D 3．（2022 年全国Ⅱ卷）已知函数 ( )f x 的定义域为R， ( ) ( ) ( ) ( ), (1) 1f x y f x y f x f y f     ， 则 22 1 ( ) k f k   （ ） A． 3 B． 2 C．0 D．1 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为        f x y f x y f x f y    ，令 1, 0x y  可得，      2 1 1 0f f f ，所以  0 2f  ， 令 0x  可得，      2f y f y f y   ，即    f y f y  ，所以函数  f x 为偶函数，令 1y  得，          1 1 1f x f x f x f f x     ，即有      2 1f x f x f x    ，从而可知    2 1f x f x    ，    1 4f x f x    ，故    2 4f x f x   ，即    6f x f x  ， 所以函数  f x 的一个周期为 6．因为      2 1 0 1 2 1f f f      ，      3 2 1 1 1 2f f f       ，      4 2 2 1f f f     ，      5 1 1 1f f f    ，    6 0 2f f  ，所以 一个周期内的      1 2 6 0f f f    ．由于 22 除以 6 余 4， 所以           22 1 1 2 3 4 1 1 2 1 3 k f k f f f f            ．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由        f x y f x y f x f y    ，联想到余弦函数和差化积公式    cos cos 2cos cosx y x y x y    ，可设   cosf x a x ，则由方法一中    0 2, 1 1f f  知 2, cos 1a a   ，解得 1cos 2   ，取 3   ， 所以   2cos 3 f x x ，则        2cos 2cos 4cos cos 3 3 3 3 3 3 f x y f x y x y x y x y f x f y                        ，所以   2cos 3 f x x 符合条件，因此 ( )f x 的周期 2 6 3 T     ，    0 2, 1 1f f  ，且          2 1, 3 2, 4 1, 5 1, 6 2f f f f f        ，所以 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0f f f f f f      ， 由于 22 除以 6 余 4， 所以           22 1 1 2 3 4 1 1 2 1 3 k f k f f f f            ．故选：A． 4．（2021 年全国Ⅱ卷）已知函数  f x 的定义域为R，  2f x  为偶函数，  2 1f x  为奇 函数，则（ ） A． 1 0 2 f       B．  1 0f   C．  2 0f  D．  4 0f  【详解】因为函数  2f x  为偶函数，则    2 2f x f x   ，可得    3 1f x f x   ， 因为函数  2 1f x  为奇函数，则    1 2 2 1f x f x    ，所以，    1 1f x f x    ， 所以，      3 1 1f x f x f x      ，即    4f x f x  ， 故函数  f x 是以 4为周期的周期函数， 因为函数    2 1F x f x  为奇函数，则    0 1 0F f  ， 故    1 1 0f f    ，其它三个选项未知. 故选：B. 5．（2021 年全国甲卷）设函数  f x 的定义域为R，  1f x  为奇函数，  2f x  为偶函数， 当  1,2x 时， 2( )f x ax b  ．若    0 3 6f f  ，则 9 2 f       （ ） A． 9 4  B． 3 2  C． 7 4 D． 5 2 【详解】[方法一]： 因为  1f x  是奇函数，所以    1 1f x f x     ①； 因为  2f x  是偶函数，所以    2 2f x f x    ②． 令 1x  ，由①得：      0 2 4f f a b     ，由②得：    3 1f f a b   ， 因为    0 3 6f f  ，所以  4 6 2a b a b a        ， 令 0x  ，由①得：      1 1 1 0 2f f f b      ，所以   22 2f x x   ． 思路一：从定义入手． 9 5 5 12 2 2 2 2 2 f f f f                             1 3 3 51 1 2 2 2 2 f f f f                               5 1 1 32 2 = 2 2 2 2 f f f f                               所以 9 3 5 2 2 2 f f             ． [方法二]： 因为  1f x  是奇函数，所以    1 1f x f x     ①； 因为  2f x  是偶函数，所以    2 2f x f x    ②． 令 1x  ，由①得：      0 2 4f f a b     ，由②得：    3 1f f a b   ， 因为    0 3 6f f  ，所以  4 6 2a b a b a        ， 令 0x  ，由①得：      1 1 1 0 2f f f b      ，所以   22 2f x x   ． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数  f x 的周期 4T  ． 所以 9 1 3 5 2 2 2 2 f f f                    ． 故选：D． 6．（2024 年全国Ⅱ卷）（多选）设函数 3 2( ) 2 3 1f x x ax   ，则（ ） C．存在a b， ，使得 x b 为曲线 ( )y f x 的对称轴 D．存在 a，使得点   1, 1f 为曲线 ( )y f x 的对称中心 【详解】C 选项，假设存在这样的 ,a b，使得 x b 为 ( )f x 的对称轴， 即存在这样的 ,a b使得 ( ) (2 )f x f b x  ， 即 3 2 3 22 3 1 2(2 ) 3 (2 ) 1x ax b x a b x       ， 根据二项式定理，等式右边 3(2 )b x 展开式含有 3x 的项为 3 0 3 332C (2 ) ( ) 2b x x   ， 于是等式左右两边 3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的 ,a b，使得 x b 为 ( )f x 的对称轴，C 选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 (1) 3 3f a  ，若存在这样的 a，使得 (1,3 3 )a 为 ( )f x 的对称中心， 则 ( ) (2 ) 6 6f x f x a    ，事实上， 3 2 3 2 2( ) (2 ) 2 3 1 2(2 ) 3 (2 ) 1 (12 6 ) (12 24) 18 12f x f x x ax x a x a x a x a                ， 于是 26 6 (12 6 ) (12 24) 18 12a a x a x a       即 12 6 0 12 24 0 18 12 6 6 a a a a          ，解得 2a  ，即存在 2a  使得 (1, (1))f 是 ( )f x 的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， 3 2( ) 2 3 1f x x ax   ， 2( ) 6 6f x x ax   ， ( ) 12 6f x x a   ， 由 ( ) 0 2 af x x    ，于是该三次函数的对称中心为 , 2 2 a af        ， 由题意 (1, (1))f 也是对称中心，故 1 2 2 a a   ， 即存在 2a  使得 (1, (1))f 是 ( )f x 的对称中心，D 选项正确. 7．（2022 年全国Ⅰ卷）（多选）已知函数 ( )f x 及其导函数 ( )f x 的定义域均为R，记 ( ) ( )g x f x ，若 3 2 2 f x     ， (2 )g x 均为偶函数，则（ ） A． (0) 0f  B． 1 0 2 g       C． ( 1) (4)f f  D． ( 1) (2)g g  【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于 ( )f x ，因为 3 2 2 f x     为偶函数，所以 3 32 2 2 2 f x f x             即 3 3 2 2 f x f x             ①， 所以    3f x f x  ，所以 ( )f x 关于 3 2 x  对称，则 ( 1) (4)f f  ，故 C 正确； 对于 ( )g x ，因为 (2 )g x 为偶函数， (2 ) (2 )g x g x   ， (4 ) ( )g x g x  ，所以 ( )g x 关于 2x  对称，由①求导，和 ( ) ( )g x f x ，得 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 f x f x f x f x g x g x                                                          ，所以    3 0g x g x   ，所以 ( )g x 关于 3( ,0) 2 对称，因为其定义域为 R，所以 3 0 2 g       ，结合 ( )g x 关于 2x  对称，从而周期 34 2 2 2 T         ，所以 1 3 0 2 2 g g             ，      1 1 2g g g    ， 故 B 正确，D 错误； 若函数 ( )f x 满足题设条件，则函数 ( )f x C （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定 ( )f x 的函数值，故 A 错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知 ( )g x 周期为 2，关于 2x  对称，故可设    cos πg x x ，则    1 sin π π f x x c  ， 显然 A，D错误，选 BC. 故选：BC. [方法三]： 因为 3 2 2 f x     ， (2 )g x 均为偶函数， 所以 3 32 2 2 2 f x f x             即 3 3 2 2 f x f x             ， (2 ) (2 )g x g x   ， 所以    3f x f x  ， (4 ) ( )g x g x  ，则 ( 1) (4)f f  ，故 C 正确； 函数 ( )f x ， ( )g x 的图象分别关于直线 3 , 2 2 x x  对称， 又 ( ) ( )g x f x ，且函数 ( )f x 可导， 所以    3 0, 3 2 g g x g x         ， 所以  (4 ) ( ) 3g x g x g x     ，所以  ( 2) ( 1)g x g x g x     ， 所以 1 3 0 2 2 g g             ，      1 1 2g g g    ，故 B 正确，D 错误； 若函数 ( )f x 满足题设条件，则函数 ( )f x C （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 ( )f x 的函数值，故 A 错误. 故选：BC. 8．（2024 年全国Ⅰ卷）已知函数 3( ) ln ( 1) 2 xf x ax b x x      (2)证明：曲线 ( )y f x 是中心对称图形； 【详解】（2）    3ln 1 2 xf x ax b x x      的定义域为  0,2 ， 设  ,P m n 为  y f x 图象上任意一点，  ,P m n 关于  1,a 的对称点为  2 ,2Q m a n  ， 因为  ,P m n 在  y f x 图象上，故  3ln 1 2 mn am b m m      ， 而        3 322 ln 2 2 1 ln 1 2 2 m mf m a m b m am b m a m m                  ， 2n a   ， 所以  2 ,2Q m a n  也在  y f x 图象上， 由 P的任意性可得  y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为  1,a . 9．（2023 年全国乙卷）已知函数 1( ) ln(1 )f x a x x        . (2)是否存在 a b， ，使得曲线 1y f x       关于直线 x b 对称，若存在，求 a b， 的值，若不存 在，说明理由. 【详解】（2）令    1 1ln 1g x f x a x x               ， 函数的定义域满足 1 11 0x x x     ，即函数的定义域为    , 1 0,    ， 定义域关于直线 1 2 x   对称，由题意可得 1 2 b   ， 由对称性可知 1 1 1 2 2 2 g m g m m                   ， 取 3 2 m  可得    1 2g g  ， 即     11 ln 2 2 ln 2 a a   ，则 1 2a a   ，解得 1 2 a  ， 经检验 1 1, 2 2 a b   满足题意，故 1 1, 2 2 a b   . 即存在 1 1, 2 2 a b   满足题意. 二、预备知识 1．周期函数的定义： 对于函数  y f x 定义域内的每一个 x ，都存在一个非零常数 T，使得    f x T f x  恒成立，那么就称函数  y f x 为周期函数，称 T 为这个函数 的周期．如果在周期函数  f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就叫做  f x 的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论：（本质是迭代！） 函数  y f x 满足对定义域内任意一个实数 x（其中 a为常数）： 条件 周期    f x a f x b   T a b   ( )f x a f x   2T a 1( ) ( ) f a x x f   2T a （下述性质可借助三角函数图象加深理解） ( )f x 关于直线 x a 和 x b 对称 2T a b   f x 关于点  ,0a 和点  ,0b 对称 2T a b  ( )f x 关于直线 x a 和点  ,b c 对称 4T a b  （口诀：“一心一轴四倍距，双心双轴双倍距”） 3．函数对称性的常用结论：（从图象去理解！） ①若 ( ) (+ )f x b f a x  ，则函数 ( )f x 关于 2 a bx  对称； ②若 f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数 f(x)关于点(a，b)对称； ③若     cbxfaxf  ，则函数  xf 关于点        2 , 2 cba 对称． 4．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若    f x a f x b    则 ( )f x 具有周期性； ②若    f x a f b x    则 ( )f x 具有对称性． 5．拓展：三次函数拐点理论 任何三次函数 3 2( )f x ax bx cx d    都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点， 对称中心的横坐标是 ( ) 0f x  （二阶导数）的解，即 ,3 3 b bf a a          是三次函数的 对称中心. 三、题型示例 例 1：已知 ( )f x 是定义在 R上的偶函数，且 ( 4) ( 2)f x f x   ．若当 [ 3,0]x  时， ( ) 6 xf x ，则 (919)f  . 【详解】由 ( 4) ( 2)f x f x   可知,  f x 是周期函数,且 6T  ,所以      919 6 153 1 1f f f     1 6f   . 例 2：若函数 ( ) 1y f x  是定义在 R上的奇函数，则 ( 1) (0) (1)f f f   等于( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 【详解】设 ( ) ( ) 1F x f x  ，则 ( ) ( ) 0F x F x   ，即 ( ) 1 ( ) 1 0f x f x     ， 即 ( ) ( ) 2f x f x   ，所以 (1) ( 1) 2f f   . 因为 (0) (0) 1 0F f   ，所以 (0) 1f  ， 所以 ( 1) (0) (1) 2 1 3f f f      . 例 3：已知函数  f x 的定义域为 R，对任意实数 x 都有 ( 2) ( )f x f x   成立，且函数 ( 1)f x  为偶函数， (1) 2f  ，则 (1) (2) (2024)f f f   L （ ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 【详解】由      ( 2) ( ) 4 2f x f x f x f x f x         ，即  f x 的一个周期为 4， 由 ( 1)f x  为偶函数可知  f x 关于 1x  轴对称，即    2 0f f ， 又 ( 2) ( )f x f x   可知    2 0f f  ， 所以    2 0 0f f  ， 显然        3 1 2, 4 0 0f f f f      ， 所以        2024(1) (2) (2024) 1 2 3 4 0 4 f f f f f f f           . 故选：B 例 4：已知函数   3 9 3x f x   ．求证：函数  f x 的图象关于点 1 1, 2 2       对称. 【详解】因为   3 9 3x f x   ，所以   1 3 3 9 91 9 3 9 3 9 9 3 x x x x xf x           ， 所以    1 1f x f x   ，即函数  f x 的图象关于点 1 1, 2 2       对称. 四、方法应用 练 1：已知函数  f x 是定义在 R上的偶函数，且    2 2f x f x   ，若  0, 2x 时，   2 1xf x   ，则  99f （ ） A．3 B． 1 C． 1 2  D．1 【详解】由    2 2f x f x   可得    4f x f x  ， 故  f x 为周期函数，且 4 是函数  f x 的一个周期，       199 1 1 2 1 1f f f      . 故选：D 练 2：已知函数    π3sin 0 6 f x x        ，对任意的 xR ，都有    3 0f x f x   成 立，则的可能取值是（ ） A． π 4 B． π 2 C． π 6 D． π 3 【详解】因为    3 0f x f x   ，即    6 3 0f x f x    ，可得    6f x f x  ， 可知函数  f x 的最小正周期 6T  ， 且 0  ，即 2π 6   ，解得 π 3   . 故选：D. 练 3：已知函数  f x 的定义域为R，   1y f x  为奇函数，  1y f x  为偶函数，若  2025 2f  ，则  3f （ ） A．1 B． 1 C．0 D． 3 【详解】由   1y f x  为奇函数有     2f x f x   ，  1y f x  为偶函数有    1 1f x f x      2f x f x   ， 所以有    2 2f x f x    ，即    2 2f x f x      2 4 2f x f x     ， 所以    4f x f x  函数  f x 的周期为 4T  ，所以      2025 = 4 506 1 1 2f f f    ， 又      1 3 2 3 0f f f    ， 故选：C. 练 4：已知函数    31f x x a   与     2 2 02 2 bxg x b x x     具有相同的对称中心，则 a b （ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【详解】易知    31f x x a   的图象关于点  1,a 对称， 因为            2 22 22 2 2 4 42 2 2 2 2 2 22 2 2 2 b x xb xbxg x g x b x x x xx x                ， 所以  g x 的图象关于点  1,b 对称， 由题意可得 a b ，即 1 a b  . 经检验 a b 符合题意． 故选：C． 练 5：已知函数      1 ln , 1 2 2 xf x g x m x x     . (2)求曲线  y f x 的对称中心； 【详解】（2）   1 ln 2 2 xf x x   的定义域为  0,2 ， 其定义域关于 1x  对称， 则     1 2 12 ln ln ln1 0 2 2 2 x xf x f x x x          ， 所以曲线  y f x 的对称中心是  1,0 .